2022年高三數(shù)學(xué) 排列、組合和和概率 二項(xiàng)式定理教案同步教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué) 排列、組合和和概率 二項(xiàng)式定理教案同步教案 新人教A版 學(xué)習(xí)指導(dǎo)： 1．有關(guān)二項(xiàng)式定理，要記住公式，弄清與其相關(guān)的概念：二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)、項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)等，從而正確運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解一些應(yīng)用題。重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、難點(diǎn)是對通項(xiàng)的理解。 2．二項(xiàng)式定理：。右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，共有項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示。 3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。 （2）增減性與最大值 當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的， 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式

2、系數(shù)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值。 （3）的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即 （4）的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即 。 例題選講 例1．求展開式中的常數(shù)項(xiàng)。 解：展開式的通項(xiàng)為。令得 展開式的常數(shù)項(xiàng)為。 注：若把上題改為“求展開式中的有理項(xiàng)”，由 知為6的倍數(shù)，又； 展開式中的有理項(xiàng)為，，。 例2．在的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和等于1024，試求它的中間項(xiàng)。 解：展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和，即，，展開式共有12項(xiàng)，其中第6、7項(xiàng)為中間項(xiàng)。 例3．已知的展開式中項(xiàng)的

3、系數(shù)與的展開式中項(xiàng)的系數(shù)相等，求的值。 解：的展開式中的通項(xiàng)為，，即項(xiàng)的系數(shù)為。 的展開式中的通項(xiàng)為，，即項(xiàng)的系數(shù)為。 由，即，解之得中，舍去。 。 例4．在的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。 解：因?yàn)榍叭?xiàng)系數(shù)分別為1、、，它們成等差數(shù)列，所以。即解之得或。 當(dāng)時(shí)，的展開式中不含有理項(xiàng)，所以不合，應(yīng)舍去。 當(dāng)時(shí)，的展開式的通項(xiàng)為 ，應(yīng)是4的倍數(shù)， 必須是4的倍數(shù)，又，。 展開式中各有理項(xiàng)為，，。 注：求二項(xiàng)展開式中有關(guān)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等特殊項(xiàng)的問題，可緊緊抓住二項(xiàng)展開項(xiàng)的通項(xiàng)，通過對通項(xiàng)的分析，去找到原問題的解。 例5．求

4、中的系數(shù)。 解法一，原式 原題即轉(zhuǎn)化為求的展開式中的的系數(shù)，， 的系數(shù)為286。 解法二：項(xiàng)只存在于后四個(gè)項(xiàng)中，且都是四個(gè)展開式的第10項(xiàng)。系數(shù)之和為 解法三：原式中的系數(shù)與式中的的系數(shù)相同，后者 所以展開式中的的系數(shù)為 例6．求展開式中的系數(shù)。 解：因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，其中時(shí)，系數(shù)為。 的展開式通項(xiàng)為，其中時(shí)系數(shù)為。 的展開式通項(xiàng)為，其中時(shí)系數(shù)為。 所以展開式中的系數(shù)為。 例7．求展開式中的系數(shù)。 解：原式 第三項(xiàng)起沒有的項(xiàng)。 所以的系數(shù)為。 注：求的展開式中的系數(shù)。 原式 只有第3項(xiàng)有，其系數(shù)為 或者由原式 從四個(gè)因式中任取2個(gè)a，其余再從余

5、下的兩個(gè)式子中任取1個(gè)b，最后一個(gè)因式中取1個(gè)c。得的系數(shù)為。 一般地，展開式中的系數(shù)可表示為 例8．求的展開式中的系數(shù)。 解法一、原式，其通項(xiàng)為，又的通項(xiàng) 令，可得或 當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為； 當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為； 所以符合條件的的系數(shù)為。 解法二、原式，其通項(xiàng)為 當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為； 當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為 所以展開式中的系數(shù)為。 解法三、原式 出現(xiàn)有兩種情況，一種是三個(gè)因式均提供，另一種是一個(gè)提供，另兩個(gè)中有一個(gè)提供，一個(gè)提供，因而的系數(shù)為。 例9．求展開式中的最大項(xiàng)。 解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間的項(xiàng)，但雖然的第26項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，但因其，但卻隨的增大而增大，因此

6、第26項(xiàng)不一定最大，但當(dāng)時(shí)，的值顯然大于1，所以只要討論時(shí)，小于1。 ， 即展開式中的最大項(xiàng)為。 例10．?dāng)?shù)的未尾連續(xù)的零的個(gè)數(shù)是 個(gè)。 解法一、因?yàn)? 令 同為M的未位數(shù)是0，N的未位數(shù)是6。所以的未尾連續(xù)零的個(gè)數(shù)是3個(gè)。 解法二、因?yàn)?，，? ， 當(dāng)時(shí)，末尾有四個(gè)以上的0，所以，m為正整數(shù)。 所以的未尾有3個(gè)連續(xù)的零。 例11．在的展開式中，求： （1） 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； （2） 系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)； （3） 系數(shù)最大的項(xiàng) 解：（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 （2）設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng)，則

7、 即 得， 所以當(dāng)時(shí)，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為 （3）因系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，故可設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則 得 即系數(shù)最大。 例12．設(shè)，求： （1）； （2） 解：（1）令得 令得 （2）令得① 令得② 由①＋②得 例13．求除以100的余數(shù) 解法一： 觀察各項(xiàng)，只有最后兩項(xiàng)不能被100 又 故知除以100的余數(shù)為81。 解法二： 顯然僅最后一項(xiàng)不能被100整除，以下轉(zhuǎn)化為求被100除的余數(shù)。 此式中僅最后兩項(xiàng)不能被100整除，而， 所求余數(shù)為81。 例14．證明：， 證明：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 又

8、 注：證明還可以有如下的證法： 例15、當(dāng)，求證： 證明：因?yàn)? 其中 所以 鞏固與練習(xí) 一、 選擇題 1．二項(xiàng)式展開式中的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ） A． B． C． D． 2．被4除所得的系數(shù)為（ ?。? A．0 B．1 C．2 D．3 3．，，展開式按a的降冪排列后第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，則a的取值范圍是（

9、 ） A． B． C． D． 4．展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為（ ） A． B． C． D． 二、填空題 5．設(shè)，則 ； ； 。 6．在的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng)，若實(shí)數(shù)，則 。 7．被22除所得的余數(shù)為 。 8．已知展開式中的余數(shù)是56，則實(shí)數(shù)的值是

10、 。 三、解答題 9．求展開式中的系數(shù)。 10．已知，（1）若展開式中第五項(xiàng)、第六項(xiàng)、第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；（2）若展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。 11．設(shè)，若其展開式中關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)的和為11，試問m、n為何值時(shí)，含項(xiàng)的系數(shù)和最小，這個(gè)最小值是多少？ 12．求展開式中含x一次冪的項(xiàng)。 參考答案 1．D 2．A 3．D 4．B 5．；；； 6． 7．1 8．或 9． 10．（1）當(dāng)時(shí)，第五項(xiàng)系數(shù)為和第五項(xiàng)系數(shù)；當(dāng)時(shí)，第8項(xiàng)系數(shù)為3432 （2） 11．當(dāng)或時(shí)，取最小值為30。 12．45x