2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(I)

2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(I)本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題），共4頁(yè)，全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷上的相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)1. 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知集合，則為（ ）A B C D 3. 下列敘述中正確的是（ ） A. 若，則“ax2+bx+c0”的充分條件是“” B. 若，則“”的充要條件是“” C. 命題“對(duì)任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20” D是一條直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，若，則 4. 一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列an，若a38，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）A13，12 B12，13 C13，13 D13，145. 已知一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積為（ ）A. B. 3 C. D. 6. 已知A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，O是的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的（ ）A.AB邊中線(xiàn)的中點(diǎn) B. AB邊的中點(diǎn)第5題圖C.重心 D. AB邊中線(xiàn)的三等分點(diǎn)(非重心)7. 已知函數(shù)且，若 則（ ） A1 B2 C3 D58. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2.5，則輸出的P值為（ ）A6 B7 C8 D9第8題圖9. 設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組，若為整數(shù)，則的最小值為（ ）A13 B14 C16 D17 10. 已知的三邊長(zhǎng)成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（ ）A B C D11. 以O(shè)為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿(mǎn)足，則該橢圓的離心率為()A.B. C. D.12. 設(shè)函數(shù), 若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解, 且, 則的取值范圍是 ()A B C D 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。第13題圖13. 圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是_ cm. 14. 若直線(xiàn)xay10與2x4y30垂直，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中x的系數(shù)為_(kāi).15. 設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是_16. 若數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，則_.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17. （本小題滿(mǎn)分12分）已知向量，函數(shù)(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)圖像可以由經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到？(3)求在上的值域。18. （本小題滿(mǎn)分12分）在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB，AA12，D為AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，CO側(cè)面ABB1A1.(1)證明：CDAB1；第18題圖(2)若OCOA，求直線(xiàn)C1D與平面ABC所成角的正弦值19. （本小題滿(mǎn)分12分）對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率10，15)100.2515，20)25n20，25)mp25，30)20.05合計(jì)M1第19題圖(1)求出表中M、p及圖中a的值；(2)試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)；(3)在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間20，25)內(nèi)的概率20. （本小題滿(mǎn)分12分） 設(shè)橢圓1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若直線(xiàn)AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；(2)若|AP|OA|，證明直線(xiàn)OP的斜率k滿(mǎn)足|k|.21. （本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù) (a為常數(shù)) （）討論函數(shù)的單調(diào)性;（）若對(duì)任意的，都存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.EDCBA請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答 22. （本小題滿(mǎn)分10分） 如圖，在ABC中,AB=AC,D是ABC外接圓(圓心為O)的劣弧上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合），延長(zhǎng)BD至E. (1)求證：AD的延長(zhǎng)線(xiàn)平分CDE (2)若BAC=30,ABC中BC邊上的高為2+,第22題圖求ABC外接圓的面積.23. （本小題滿(mǎn)分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的方程為xy40， 曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,)，判斷點(diǎn)P與直線(xiàn)l的位置關(guān)系；(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)l的距離的最小值24. （本小題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若, 且當(dāng)時(shí)，不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.xx屆高三年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)試題(理科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：DBDCC DABCA BD二、填空題： 13. 4 14. 15. 8 16. 三、解答題17. 【解】(1)f(x)sin2cos2x1sin2xcos2xcos2xsin2xcos2xsin (3分)令，得，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 向左平移個(gè)單位即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (6分) (2)由 (9分) (3)因?yàn)椋?，?值域?yàn)?(12分) 18. 解：(1)證明：由題意可知，在RtABD中，tanABD，在RtABB1中，tanAB1B.又因?yàn)?<ABD，AB1B，所以ABDAB1B，所以ABDBAB1AB1BBAB1，所以AB1BD.又CO側(cè)面ABB1A1，且AB1側(cè)面ABB1A1，AB1CO.又BD與CO交于點(diǎn)O，所以AB1平面CBD.又因?yàn)锽C平面CBD，所以BCAB1. (6分)(2)如圖所示，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B（，0，0），C（0，0，），B1（0，0），D（，0，0）.又因?yàn)?，所以C1（，）.所以（，0），（0，），（，）。設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則由得令y，則z，x1，故n(1，)是平面ABC的一個(gè)法向量設(shè)直線(xiàn)C1D與平面ABC所成的角為，則sin . (12分)19. 【解】(1)由題可知0.25，n，p，0.05.又1025m2M，解得M40，n0.625，m3，p0.075.則15，20)組的頻率與組距之比a為0.125. (4分)(2)參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)為：次 (8分)(3)在樣本中，處于20，25)內(nèi)的人數(shù)為3，可分別記為A，B，C，處于25，30內(nèi)的人數(shù)為2，可分別記為a，b.從該5名學(xué)生中取出2人的取法有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共10種；至少1人在20，25)內(nèi)的情況有共9種，所以至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間20，25)內(nèi)的概率為. (12分)20.解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)由題意，有1.由A(a，0)，B(a，0)，得kAP，kBP.由kAP·kBP，可得xa24y，代入并整理得(a24b2)y0.由于y00，故a24b2， 于是e2，所以橢圓的離心率 (6分)(2)證明：依題意，直線(xiàn)OP的方程為ykx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)由條件得消去y0并整理得x.由|AP|OA|，A(a，0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k24.由a>b>0，故(1k2)2>4k24，即k21>4，因此k2>3，所以|k|>. (12分) 21.解:()= (x0), 設(shè) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?x0, 所以10，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?，函數(shù)在（0，+） 上單調(diào)遞增 當(dāng)a時(shí), 由解得x(), 所以函數(shù)在()上單調(diào)遞減, (0,),(,+) 上單調(diào)遞增. (6分) （）由()可知當(dāng)a（1，）時(shí)，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x（0,1 時(shí), 函數(shù)的最大值是=2-2a, 對(duì)任意a（1，），都存在x(0,1)使得不等式+ln am(a - a )成立， 等價(jià)于對(duì)任意a（1，），不等式都成立, 即對(duì)任意a（1，），不等式都成立, 記，則 (a)=+2ma-(m+2)= 因?yàn)閍（1，）, 所以2 a -10 當(dāng)m1時(shí), 對(duì)任意a（1，）,ma-10, 所以( a) 0, 即h(a) 在（1，）上單調(diào)遞增, h(a) h(1)=0成立,; 當(dāng)m1時(shí), 存在a（1，）, 使得當(dāng)a（1，a）時(shí), ma-10, (a) 0, h(a) 單調(diào)遞減, h(a) h(1)=0, 所以h(a) 0不恒成立， 綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是1, +). (12分)HFEDCBAO 22. 解:(1) 如圖,設(shè)F為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn), A,B,C,D四點(diǎn)共圓,CDE=ABC,AB=AC, ABC=ACB, ADB=ACB, ADB=CDE, 又EDF=ADB, 故EDF=CDF, 即AD的延長(zhǎng)線(xiàn)平分CDE (5分) (2)連接AO并延長(zhǎng)BC交于點(diǎn)H,則AHBC,連接OC, 由題意得OAC=OCA=15,ACB=75, OCH=60, 設(shè)ABC外接圓的半徑為r，則r+r=2+,解得r=2ABC外接圓的面積為4. (10分)23. 解(1)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)P(2,)化為直角坐標(biāo)，得P(-2, 2)因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(-2，2)滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程xy40，所以點(diǎn)P在直線(xiàn)l上 (5分)(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線(xiàn)C上，故可設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(cos ，sin )，從而點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離為d，由此得，當(dāng)cos1時(shí)，d取得最小值，且最小值為. (10分)24. 解; (1) 當(dāng)a=2時(shí), =x-1+x-2= (2分)于是g(x)等價(jià)于或 或g(x)解集為x0x4 (6分)(2) 因?yàn)閍-1, x-a,1，則=1-x+x+a=a+1, 不等式=a+1g(x)有解等價(jià)于a+1 （x+3）=，所以a,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍(, . (10分)