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1、2022年高三5月模擬數(shù)學(xué)理試題 含答案(II)
考生注意: 1.答卷前,考生務(wù)必在答題紙寫上姓名、考號(hào).
2.本試卷共有23道題,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.
一.填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題,考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得4分,否則一律得零分.
1. 全集,集合,則 .
2.已知,且為第二象限角,則的值為 .
3.若極限,則實(shí)數(shù) .
4. 已知,,,則 .
5.二項(xiàng)式展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,則 .
6. 已知地球半徑約為6371千米.上海的位
2、置約為東經(jīng),北緯,臺(tái)北的位置約為東經(jīng),北緯,則這兩個(gè)城市之間的球面距離約為 千米(結(jié)果保留到1千米).
7. 已知函數(shù)有反函數(shù),若,則=__ _.
8. 將一個(gè)總體分為、?、三層,其個(gè)體數(shù)之比為.若用分層抽樣方法抽取容量為100的樣本,則應(yīng)從中抽取 個(gè)個(gè)體.
9. 在極坐標(biāo)系中,直線與直線的夾角大小為 .
10. 如果隨機(jī)變量的概率分布律由下表給出: 則= .
11.已知虛數(shù)、滿足和 (其中),若,則 .
12. 在由數(shù)字0、1、2、3、4、5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中任取一個(gè)數(shù),該數(shù)
3、能被5 整除的概率是 .
13. 已知是雙曲線右支上的一點(diǎn),、分別是圓和上的點(diǎn),則的最大值等于 .
14.已知集合,對(duì)于它的非空子集,將中每個(gè)元素都乘以后再求和,稱為的非常元素和,比如的非常元素和為.那么集合的所有非空子集的非常元素和的總和等于 .
二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題有且只有一個(gè)正確答案,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,填上正確的答案,選對(duì)得5分,否則一律得零分.
15.“”是“”的 ( )
充分非必要條件
4、 必要非充分條件
充要條件 既非充分又非必要條件
16.若,則一定是 ( )
等腰三角形 直角三角形 銳角三角形 鈍角三角形
17.函數(shù)的圖像大致為 ( )
18. 正方體的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)、在棱上.動(dòng)點(diǎn)、分別在棱、上,若,,, (大于零),則四面體的體積
5、 ( )
與都有關(guān) 與有關(guān),與無關(guān)
與有關(guān),與無關(guān) 與有關(guān),與無關(guān)
三、解答題(本大題滿分74分)本大題共5題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 .
19.(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分6分 .
已知三棱錐中,, ,,為上一點(diǎn),,、分別為、的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求與平面所成角的大小.
?
?
?
?20.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分 .
函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的
6、圖像如圖所示,為圖像的最高點(diǎn),、為圖像與軸的交點(diǎn),
且為正三角形.
(1)求的值;
(2)若,且,求的值.
?
?
?
?
21.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分 .
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)、,是動(dòng)點(diǎn),且直線與 的斜率之積等于.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與分別與直線相交于點(diǎn)、,試問:是否存在點(diǎn)使得 與的面積相等?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
?
?
?
?
?22.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
已知數(shù)列的前項(xiàng)和().
(1
7、)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列(寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式)滿足:對(duì)任意的正整數(shù)都有,且,并說明理由;
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中,所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù).令(),求數(shù)列的變號(hào)數(shù).
?
??
?
23.(本題滿分18分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題①滿分7分,②滿分7分.
若函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù),均有,則稱函數(shù)具有性質(zhì).
(1)判斷函數(shù)是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)若函數(shù)具有性質(zhì),且 .
①求證:對(duì)任意,都有;
②是否對(duì)任意,均有?若成立,請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)給出反例并加以說明.
?
?
一.填空題
1
8、. 2. 3.
4. 5.(文)672 (理)8 6.673
7.(文)2 (理)1 8.20 9.(文) (理)
10.(文) (理) 11. 12.
13.(文) (理)10 14.2560
二.選擇題
15.B
9、 16.A 17.D 18.D
三.解答題
19.解:(理)設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn),射線AB,AC,AP分別為x,y,z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:
則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)…4分
(1),
因?yàn)椋?
所以CM⊥SN ………6分
(2), 設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量,
則,令,得 ……9分
因?yàn)?
所以SN與片面CMN所成角為45°。
10、 ……12分
20.解:(1)由已知可得:
……3分
又因正三角形ABC的高為2,則BC=4
所以,函數(shù) ……6分
(2)因?yàn)?1)有
……8分
由x0
所以, ……10分
(理)故
……14分
21.解:(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意得 ……3分
化簡(jiǎn)得 .
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ……6分
(2)解法一:設(shè)點(diǎn)的坐
11、標(biāo)為,點(diǎn),得坐標(biāo)分別為,.
則直線的方程為,直線的方程為
令得,.
于是的面積 ……8分
又直線的方程為,,
點(diǎn)到直線的距離.
于是的面積 ……10分
當(dāng)時(shí),得
又,所以=, ……12分
解得,因?yàn)椋?
故存在點(diǎn)使得與的面積相等,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.…14分
解法二:若存在點(diǎn)使得與的面積相等,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
則.
因?yàn)?
所以 ……8分
所以
12、 即 , ……12分
解得 ,因?yàn)?,所?
故存在點(diǎn)使得與的面積相等,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為…14分
22.解:(1), ……4分
(2)要使,可構(gòu)造數(shù)列,∵對(duì)任意的正整數(shù)都有,
∴當(dāng)時(shí),恒成立,即恒成立,即,
又,∴,∴,等等。 ……10分
(3)解法一:由題設(shè),
∵時(shí),,
∴時(shí),數(shù)列遞增,
∵,由,可知,即時(shí),有且只有 個(gè)變號(hào)數(shù); ……1
13、3分
又∵,即,∴此處變號(hào)數(shù)有個(gè)。
綜上得數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為。 ……16分
解法二:由題設(shè),
當(dāng) 時(shí),
;…14分
又∵,∴時(shí)也有。
綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為。 ……16分
23.解:(理)(1)函數(shù)不具有性質(zhì).
例如,當(dāng)時(shí),,
又,
所以,,此函數(shù)不具有性質(zhì). ……4分
(2)①假設(shè)為中第一個(gè)大于的值
則, ……6分
因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì),
所以,對(duì)于任意,均有
即,
則, …8分
與矛盾
所以,對(duì)任意的有. ……11分
②不成立.
例如 ……13分
證明:當(dāng)為有理數(shù)時(shí),均為有理數(shù),
,
當(dāng)為無理數(shù)時(shí),均為無理數(shù),
所以,函數(shù)對(duì)任意的,均有,
即函數(shù)具有性質(zhì).
當(dāng)且為無理數(shù)時(shí),.
所以“對(duì)任意均有”不成立. ……18分
(其他反例仿此給分).
如,,等.