2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用練習(xí)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用練習(xí) 一、選擇題(6×5分＝30分) 1．(xx·天津高考)設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為(　　) A．8　　　　　　　　 B．4 C．1 D. 解析：由題意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1. 因?yàn)閍>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 答案：B 2．(xx·開(kāi)封模擬)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，則＋的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：因?yàn)閤>0，y>0

2、，且lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，于是有＋＝(x＋3y)(＋)＝2＋(＋)≥4. 答案：C 3．函數(shù)f(x)＝的最大值為(　　) A. B. C. D．1 解析：顯然x≥0.x＝0時(shí)，f(x)＝0； 當(dāng)x>0時(shí)，x＋1≥2，∴f(x)≤， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，取等號(hào)，f(x)max＝. 答案：B 4．(xx·重慶高考)已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 解析：＋＋2≥＋2≥2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即a＝b＝1，不等式取最小值4. 答案：C 5．已知不等式(x＋y)(＋)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，

3、y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a ≥a＋1＋2 ＝a＋2＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)a·＝等號(hào)成立， 所以()2＋2＋1≥9， 即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)， 所以a≥4，即a的最小值為4. 答案：C 6．(xx·長(zhǎng)春質(zhì)檢)某學(xué)生用一不準(zhǔn)確的天平(兩臂不等長(zhǎng))稱10 g藥品，他先將5 g的砝碼放在左盤，將藥品放在右盤使之平衡；然后又將5 g的砝碼放在右盤，將藥品放在左盤使之平衡，則此學(xué)生實(shí)際所得藥品(　　) A．小于10 g B．大于10 g C．大于等于10 g D．小于等于10

4、g 解析：設(shè)左、右臂長(zhǎng)分別為t1、t2，第一次稱的藥品為x1，第二次稱的藥品為x2，則有5t1＝x1t2，x2t1＝5t2，所以x1＋x2＝5(＋)>5×2＝10，即大于10 g. 答案：B 二、填空題(3×5分＝15分) 7．(xx·濟(jì)寧模擬)函數(shù)y＝(x>－1)的圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)是________． 解析：y＝(x＋1)＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號(hào)． 答案：(0,2) 8．函數(shù)y＝ax－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象上，其中m，n>0，則＋的最小值為_(kāi)_______． 解析：由題知A(1,1)，∴m＋n＝1，m，n>0. ∴

5、＋＝＋＝2＋＋≥4. 答案：4 9．(xx·忻州模擬)設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值是________． 解析：由x－2y＋3z＝0得y＝， 代入得≥＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時(shí)取“＝”． 答案：3 三、解答題(共37分) 10．(12分)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度v(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝(v>0)． (1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/小時(shí))； (2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在

6、什么范圍內(nèi)？ 解析：(1)依題意， y＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝40時(shí)，上式等號(hào)成立． 所以ymax＝≈11.1(千輛/小時(shí))． 所以當(dāng)v＝40千米/小時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時(shí)． (2)由條件得>10， 整理得v2－89v＋1 600<0，即(v－25)(v－64)<0， 解得25

7、f(x)＝＋，x∈(0，)的最小值，指出取最小值時(shí)x的值． (1)證明：∵a，b，x，y都是正數(shù)， ∴(＋)(x＋y)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即bx＝ay時(shí)取“＝”． ∴＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)bx＝ay時(shí)等號(hào)成立． (2)∵0－1，求函數(shù)y＝的最小值． (2)求y＝x(a－2x)(0－1， ∴y＝

8、 ＝ ＝(x＋1)＋＋5 ≥2 ＋5＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)． ∴函數(shù)的最小值為9. (2)∵00， ∴y＝x(a－2x)＝·2x(a－2x) ≤·()2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝a－2x，即x＝時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)的最大值為. 12．(13分)(xx·南通模擬)某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD，公園由長(zhǎng)方形的休閑區(qū)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成．已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米，人行道的寬分別為4米和10米(如圖)． (1)若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬的比＝x，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式； (2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)？ 解析：(1)設(shè)休閑區(qū)的寬B1C1為a米， 則其長(zhǎng)A1B1為ax米， ∴a2x＝4 000?a＝， ∴S＝(a＋8)(ax＋20) ＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4 000＋(8x＋20)·＋160 ＝80(2＋)＋4 160(x>1)． (2)S≥1 600＋4 160＝5 760 (當(dāng)且僅當(dāng)2＝?x＝2.5)， 即當(dāng)x＝2.5時(shí)，公園所占面積最?。? 此時(shí)a＝40，ax＝100，即休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)為100米，寬為40米．