中考數(shù)學備考專題復習 因式分解（含解析）

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1、中考數(shù)學備考專題復習 因式分解（含解析） 一、單選題 1、（xx?梧州）分解因式：2x2﹣2=（? ） A、2（x2﹣1） B、2（x2+1） C、2（x﹣1）2 D、2（x+1）（x﹣1） 2、把多項式-8a2b3c+16a2b2c2-24a3bc3分解因式，應提的公因式是（　?。? A、-8a2bc B、2a2b2c3 C、-4abc D、24a3b3c3 3、下列各式能用完全平方公式進行分解因式的是（ ?? ) A、x2+1 B、x2+2x－1 C、x2＋x＋1 D、x2＋4x＋4 4、已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足

2、a2c2-b2c2=a4-b4 ， 則它的形狀為?（???） A、等邊三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形 5、將多項式a（x-y）+2by-2bx分解因式，正確的結果是（ ） A、（x-y）（-a+2b） B、（x-y）（a+2b） C、（x-y）（a-2b） D、-（x-y）（a+2b） 6、下列等式由左邊至右邊的變形中，屬于因式分解的是（　?。? A、x2+5x-1=x（x+5）-1 B、x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x C、x2-9=（x+3）（x-3） D、（x+2）（x-2）=x2

3、-4 7、下列多項式中能用提公因式法分解的是（　?。? A、x2+y2 B、x2-y2 C、x2+2x+1 D、x2+2x 8、多項式x2y2-y2-x2+1因式分解的結果是（　?。? A、（x2+1）（y2+1） B、（x-1）（x+1）（y2+1） C、（x2+1）（y+1）（y-1） D、（x+1）（x-1）（y+1）（y-1） 9、（xx?貴港）下列因式分解錯誤的是（　　） A、2a﹣2b=2（a﹣b） B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3） C、a2+4a﹣4=（a+2）2 D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2

4、） 10、多項式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是（　?。? A、2xy B、24x2y3?? C、﹣2x D、以上都不對 11、（xx?自貢）把a2﹣4a多項式分解因式，結果正確的是（ ） A、a（a﹣4） B、（a+2）（a﹣2） C、a（a+2）（a﹣2） D、（a﹣2）2﹣4 12、下列說法正確的是（　　） A、有意義，則x≥4 B、2x2﹣7在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解 C、方程x2+1=0無解 D、方程x2=2x的解為 13、分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（　?。? A、（x+m+2n）（x﹣

5、m+2n） B、（x+m﹣2n）（x﹣m+2n） C、（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n） D、（x+m+2n）（x+m﹣2n） 14、（xx?賀州）n是整數(shù)，式子 ?[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）計算的結果（　　） A、是0 B、總是奇數(shù) C、總是偶數(shù) D、可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù) 15、（xx?杭州）設a，b是實數(shù)，定義@的一種運算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ， 則下列結論： ①若a@b=0，則a=0或b=0 ②a@（b+c）=a@b+a@c ③不存在實數(shù)a，b，滿足a@b=a2+5b2 ④設a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則

6、當a=b時，a@b最大． 其中正確的是（? ） A、②③④ B、①③④ C、①②④ D、①②③ 二、填空題 16、（xx?大連）因式分解：x2﹣3x=________． 17、（xx?福州）若x+y=10，xy=1，則x3y+xy3的值是________． 18、把式子x2﹣y2+5x+3y+4分解因式的結果是________ ． 19、如果x﹣3是多項式2x2﹣5x+m的一個因式，則m=________?． 20、已知實數(shù)x，y滿足xy=5，x+y=7，則代數(shù)式x2y+xy2的值是　________?． 三、計算題 21、（x

7、x?大慶）已知a+b=3，ab=2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值． 四、解答題 22、已知關于x的多項式3x2+x+m因式分解以后有一個因式為（3x﹣2），試求m的值并將多項式因式分解． 23、若z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y） （1）若x，y均為整數(shù)，求證：當x是3的倍數(shù)時，z能被9整除； （2）若y=x+1，求z的最小值． 24、有一個圓形的花園，其半徑為4米，現(xiàn)要擴大花園，將其半徑增加2米，這樣花園的面積將增加多少平方米？ 25、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3x2﹣2xy﹣4y2 ． 五、綜合題 26、常用的分解因式的

8、方法有提取公因式法、公式法及到了高中還要學習的十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了．過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問題： (1)分解因式：a2﹣4a﹣b2+4； (2)△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判斷△ABC的形狀．

9、答案解析部分 一、單選題 1、【答案】 D 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用 【解析】【解答】解：原式=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1）， 故選D 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵． 2、【答案】A 【考點】公因式 【解析】 【解答】-8a2b3c+16a2b2c2-24a3bc3 ， =-8a2bc（ab2-2bc+3ac2)， 公因式是-8a2bc． 故選A． 【分析】本題主要考查公因

10、式的確定，找公因式的要點是：（1)公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)； （2)字母取各項都含有的相同字母；（3)相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的． 3、【答案】D 【考點】因式分解-運用公式法 【解析】【解答】根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b)2可得， 選項A、B、C都不能用完全平方公式進行分解因式， D、x2+4x+4=（x+2)2 ． 故選D 【分析】完全平方公式是：a2±2ab+b2=（a±b）2由此可見選項A、B、C都不能用完全平方公式進行分解因式，只有D選項可以．

11、 4、【答案】D 【考點】因式分解-運用公式法，等腰三角形的判定，勾股定理 【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4 ， ∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0， ∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0， ∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0， ∵a+b≠0， ∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形． 故選D． 【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4變形化簡后判定則可．如果三角形有兩邊的平方

12、和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果沒有這種關系，這個就不是直角三角形． 5、【答案】 C 【考點】因式分解-提公因式法 【解析】【解答】a（x-y)+2by-2bx= a（x-y)-2b（x-y)=（x-y)（a-2b)， 故選C. 【分析】把（x-y)看作一個整體，提取公因式（x-y)即可。解題的關鍵是準確掌握公因式的定義以及公因式的確定方法，同時注意一個多項式有公因式首先提取公因式，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止。 6、【答案】C 【考點】因式分解的意義 【解析】【解答

13、】A.右邊不是積的形式，故A錯誤；B.右邊不是積的形式，故B錯誤； C.x2-9=（x+3）（x-3），故C正確． D.是整式的乘法，不是因式分解 選C 【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解 7、【答案】D 【考點】因式分解-提公因式法 【解析】【解答】A.x2+y2 ， 無法分解因式，故此選項錯誤； B.x2-y2=（x+y）（x-y），故此選項錯誤； C.x2+2x+1 =（x+1）2 ， 故此選項錯誤； D.x2+2x ，

14、正確 選：D． 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分別分解因式判斷 8、【答案】D 【考點】因式分解-分組分解法 【解析】【解答】x2y2-y2-x2+1=y2（x2-1）-（x2-1） =（y2-1）（x-1）（x+1） =（y-1）（y+1）（x-1）（x+1） 選：D． 【分析】直接將前兩項提取公因式分解因式，進而利用平方差公式分解因式 9、【答案】C 【考點】因式分解-提公因式法，因式分解-運用公式法，因式分解-十字相乘法

15、 【解析】【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正確； B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正確； C、a2+4a﹣4不能因式分解，錯誤； D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正確； 故選C． 【分析】根據(jù)公式法分解因式的特點判斷，然后利用排除法求解． 10、【答案】C 【考點】公因式 【解析】【解答】解：多項式﹣2x2﹣12xy2+8xy3各項的公因式是：﹣2x． 故選：C． 【分析】根據(jù)公因式的定義，找出數(shù)字的最大公約數(shù)，找出相同字母的最低次數(shù)，直接找出每一項中公共

16、部分即可． 11、【答案】 A 【考點】因式分解-提公因式法 【解析】【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4）， 故選：A． 【分析】直接提取公因式a即可．此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是掌握找公因式的方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的． 12、【答案】C 【考點】實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，二次根式有意義的條件 【解析】【解答】解：A、有意義，則4﹣x≥0，即x≤4；故本選項錯誤；

17、 B、2x2﹣7=（x+）（x﹣），故本選項錯誤； C、∵x2+1=0， ∴x2=﹣1， ∴方程x2+1=0無實數(shù)根， 故本選項正確； D、∵x2=2x， ∴x2﹣2x=0， ∴x（x﹣2）=0， 解得：x1=0，x2=2， 故本選項錯誤． 故選C． 【分析】由二次根式有意義的條件，可得4﹣x≥0；由平方差公式可將2x2﹣7在實數(shù)范圍內(nèi)分解；由一元二次方程的解法，可求得答案． 13、【答案】B 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用，因式分解-分組分解法 【解析】【解答】解：x2﹣m2+

18、4mn﹣4n2 =x2﹣（m2﹣4mn+4n2） =x2﹣（m﹣2n）2 =（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）． 故選：B． 【分析】首先將后三項利用完全平方公式分解因式，進而結合平方差公式分解因式． 14、【答案】C 【考點】因式分解的應用 【解析】【解答】解：當n是偶數(shù)時，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0， 當n是奇數(shù)時， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= ×（1+1）（n+1）（n﹣1）= ， 設n=2k﹣1（k為整數(shù)）， 則 = =k（k﹣1）， ∵0或k

19、（k﹣1）（k為整數(shù)）都是偶數(shù)， 故選C． 【分析】根據(jù)題意，可以利用分類討論的數(shù)學思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）計算的結果等于什么，從而可以得到哪個選項是正確的．本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學思想解答問題． 15、【答案】C 【考點】整式的混合運算，因式分解的應用，二次函數(shù)的最值 【解析】【解答】解：①根據(jù)題意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0， 整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，

20、解得：a=0或b=0，正確； ②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4ac a@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac， ∴a@（b+c）=a@b+a@c正確； ③a@b=a2+5b2 ， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ， 令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ， 解得，a=0，b=0，故錯誤； ④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab， （a﹣b）2≥0，則a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab， ∴a2+b2+2ab≥4ab， ∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此

21、時a2+b2+2ab=4ab， 解得，a=b， ∴a@b最大時，a=b，故④正確， 故選C． 【分析】根據(jù)新定義可以計算出啊各個小題中的結論是否成立，從而可以判斷各個小題中的說法是否正確，從而可以得到哪個選項是正確的．本題考查因式分解的應用、整式的混合運算、二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 二、填空題 16、【答案】 x（x﹣3） 【考點】因式分解-提公因式法 【解析】【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）． 故答案為：x（x﹣3） 【分析】確定公因式是x，然后提取公因式即可．本題考查因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．一般來

22、說，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否還能分解． 17、【答案】98 【考點】代數(shù)式求值，因式分解-提公因式法 【解析】【解答】解：x3y+xy3 =xy（x2+y2） =xy[（x+y）2﹣2xy] =1×（102﹣2×1） =98． 故答案為：98． 【分析】可將該多項式分解為xy（x2+y2），又因為x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后將x+y與xy的值代入即可．本題考查了因式分解和代數(shù)式變形．解決本類問題的一般方法：若已知x+y與xy的值，則x2+y2=（x+y）2﹣2xy，

23、再將x+y與xy的值代入即可． 18、【答案】 （x﹣y+4）（x+y+1） 【考點】因式分解-分組分解法 【解析】【解答】把原式變形成，（x2+4x+4）﹣（y2﹣4y+4）+x﹣y+4，前兩部分可以寫成完全平方的形式，利用平方差公式分解，然后利用提公因式法即可分解． x2﹣y2+5x+3y+4 =（x2+4x+4）﹣（y2﹣4y+4）+x﹣y+4 =（x+2）2﹣（y﹣2）2+x﹣y+4 =（x+y）（x﹣y+4）+（x﹣y+4） =（x﹣y+4）（x+y+1）． 故答案是：（x﹣y+4）（x+y+1）． 【分析】本題考查了分組分解法分解因式，正確進行分組是關鍵

24、． 19、【答案】-3 【考點】因式分解的意義，解一元一次方程 【解析】【解答】解：把x=3代入方程2x2﹣5x+m=0中得18﹣15+m=0， 解得：m=﹣3． 故答案為：﹣3． 【分析】x﹣3是多項式2x2﹣5x+m的一個因式，即方程2x2﹣5x+m=0的一個解是3，代入方程求出m的值． 20、【答案】35 【考點】公因式，因式分解-提公因式法，因式分解的應用 【解析】【解答】解：∵xy=5，x+y=7， ∴原式=xy（

25、x+y）=35． 故答案為：35． 【分析】原式提取公因式，把x+y與xy的值代入計算即可求出值． 三、計算題 21、【答案】解：a3b+2a2b2+ab3 =ab（a2+2ab+b2） =ab（a+b）2 ， 將a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18． 故代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值是18 【考點】代數(shù)式求值，提公因式法與公式法的綜合運用 【解析】【分析】先提取公因式ab，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．本題考查了用提公因式法和公

26、式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止． 四、解答題 22、【答案】解：∵x的多項式3x2+x+m分解因式后有一個因式是3x﹣2， ?當x=時多項式的值為0， 即3×+m=0， ∴2+m=0， ∴m=﹣2； ∴3x2+x+m=3x2+x﹣2=（x+1）（3x﹣2）； 故答案為：m=﹣2，（x+1）（3x﹣2）． 【考點】因式分解的意義，因式分解-十字相乘法 【解析】【分析】由于x的多項式3x2+x+m分解因式后有一個

27、因式是3x﹣2，所以當x=時多項式的值為0，由此得到關于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m進行因式分解，即可求出答案． 23、【答案】解：（1）證明： z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y） =9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2） =9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2 =﹣7x2+9y2 ∵x是3的倍數(shù)時， ∴z能被9整除． （2）當y=x+1時， 則z=﹣7x2+9（x+1）2 =2x2+18x+9 =2（x+）2﹣ ∵2（x+）2≥0 ∴z的最小值是﹣． 【考點】提公

28、因式法與公式法的綜合運用，二次函數(shù)的最值 【解析】【分析】（1）首先利用整式的乘法計算方法計算，進一步合并求證得出答案即可； （2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題． 24、【答案】解：由題意得：R=4+2=6（米）， 則S增=π（R2﹣r2）=3.14×（62﹣42）=62.8（平方米）． 【考點】因式分解-運用公式法，因式分解的應用 【解析】【分析】根據(jù)題意表示出增加后的半徑，求出圓環(huán)的面積即為增加的面積． 25、【答案】 解：當3x

29、2﹣2xy﹣4y2=0 解得：x1=y，x2=y， 則3x2﹣2xy﹣4y2 =3（x﹣y）（x﹣y）． 【考點】實數(shù)范圍內(nèi)分解因式 【解析】【分析】首先解關于x的方程，進而分解因式得出即可． 五、綜合題 26、【答案】（1）解：a2﹣4a﹣b2+4 =a2﹣4a+4﹣b2 =（a﹣2）2﹣b2 =（a+b﹣2）（a﹣b﹣2） （2）解：a2﹣ab﹣ac+bc=0， ∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）=0， ∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0， ∴（a﹣b）（a﹣c）=0， ∴a﹣b=0，或者a﹣c=0， 即：a=b，或者a=c ∴△ABC是等腰三角形 【考點】因式分解的應用，因式分解-分組分解法 【解析】【分析】（1）首先將a2﹣4a+4三項組合，利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先將前兩項以及后兩項組合，進而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關系，判斷三角形形狀即可．