2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理答案

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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理答案 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿(mǎn)分150分,時(shí)間120分鐘 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求. ADCCD ABABC AB 第Ⅱ卷(非選擇題 共90分) 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填寫(xiě)在題中的橫線上. (13) (14) (15)(16) 三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. (17) (本小題滿(mǎn)分10分)函數(shù)定義域?yàn)椋? (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)指出函數(shù)的極值點(diǎn)并求

2、對(duì)應(yīng)的極值. 解:(1) 得或,解得或 得或,解得或 所以單調(diào)增區(qū)間為和;單調(diào)減區(qū)間為和…………5分 (2)由(1)可知,極大值點(diǎn)為從而和;極小值點(diǎn)為,從而………………………………………………10分 (18)(本小題滿(mǎn)分12分) 已知為實(shí)數(shù). (1)若,求; (2)若,求的值. 【答案】解:(1)因?yàn)? …………………………………………………………6分 (2)由條件,得, 即,, ,解得……………………………………12分 (19)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),對(duì)于正數(shù),記,如圖,由點(diǎn)構(gòu)成的矩形的周長(zhǎng)為(),都滿(mǎn)足. (Ⅰ)求; (Ⅱ)猜想的表達(dá)式用表示,并

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【答案】(Ⅰ)解:由題意知,,又因?yàn)?,所以.令,得,又,且,故.令,得,故;令,得,故;………………?分 (Ⅱ)解:由上述過(guò)程猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)時(shí),,命題成立; ②假設(shè)時(shí)命題成立,即, 則當(dāng)時(shí),,又,故,由,代入得,.即當(dāng)時(shí)命題成立.綜上所述,對(duì)任意自然數(shù)n,都有成立.………………………………………………………………………………12分 (20) (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),其中,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)若,求在處切線的方程; (Ⅱ)若對(duì)任意均有兩個(gè)極值點(diǎn),一個(gè)在區(qū)間內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間外,求的取值范圍. 【答案】解:(1),

4、又切線方程為 ……………………………………4分 (2), 設(shè),它的圖象是開(kāi)口向下的拋物線,由題意對(duì)任意有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且,,則對(duì)任意,即,有, 又任意關(guān)于遞增,,故,所以…………12分 (21) (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),. (Ⅰ) 討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù); (Ⅱ) 設(shè),當(dāng)時(shí),試用反證法證明:與中至少有一個(gè)大于0. 解(1)由題可得,令.設(shè),令,得;令,得.故在上遞減,在上遞增. . 當(dāng)或時(shí),無(wú)零點(diǎn). 當(dāng)或時(shí),有1個(gè)零點(diǎn); 當(dāng)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn).…………………………6分 (2)(反證法)假設(shè)都不大于0,即 又 設(shè),,所以 , 所以,因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)取到最小值,從而,與矛盾。所以假設(shè)不成立,所以,在與中至少有一個(gè)大于0.……………………12分 (22)(本小題滿(mǎn)分12分) 已知函數(shù). (1)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求的取值范圍; (2)若對(duì),恒有成立,求實(shí)數(shù)的最大值. 解:(1) ,只要的最小值為負(fù)即可,從而 . 由基本不等式,從而…………………………4分 (2)由題意問(wèn)題等價(jià)于恒成立,所以必有,從而解得. 從而當(dāng)時(shí),;時(shí),. 令,,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)時(shí)恒成立;當(dāng)時(shí)恒成立. 由,設(shè),, 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),. 因?yàn)楹愠闪?,所以,解得? 同理可得,當(dāng)時(shí),也成立。所以實(shí)數(shù)的最大值為2……………………12分

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