2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 1 離散型隨機(jī)變量及其分布列教學(xué)案 北師大版選修2-3

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1、 §1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 離散型隨機(jī)變量 (1)擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)． (2)在一塊地里種下10顆樹苗，成活的棵數(shù)． (3)一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，所含紅球的個(gè)數(shù)． 問題1：上述現(xiàn)象有何特點(diǎn)？ 提示：各現(xiàn)象的結(jié)果都可以用數(shù)表示． 問題2：現(xiàn)象(3)中紅球的個(gè)數(shù)x取什么值？ 提示：x＝0,1,2,3,4. 問題3：擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上，反面向上，其結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？ 提示：可以，如用數(shù)1和0分別表示正面向上和反面向上． 1．隨機(jī)變量 將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè))的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于

2、一個(gè)數(shù)，這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量，通常用大寫的英文字母X，Y來表示． 2．離散型隨機(jī)變量 如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量. 離散型隨機(jī)變量的分布列 1．拋擲一枚均勻的骰子，用X表示骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)． 問題1：X的可能取值是什么？ 提示：X＝1,2,3,4,5,6. 問題2：X取不同值時(shí)，其概率分別是多少？ 提示：都等于. 問題3：試用表格表示X和P的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 提示： X 1 2 3 4 5 6 P 問題4：試求概率和． 提示：其和等于1. 1．離散型隨機(jī)變量

3、的分布列的定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1，a2…，隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i＝1,2，…)，記作： P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，(1) 或把上式列成表 X＝ai a1 a2 … P(X＝ai) p1 p2 … 上表或(1)式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列． 2．離散型隨機(jī)變量的性質(zhì) (1)pi＞0；(2)p1＋p2＋p3＋…＝1. 1．隨機(jī)試驗(yàn)中，確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)確定的數(shù)字表示，這些數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，稱為隨機(jī)變量． 2．判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量關(guān)鍵是看隨機(jī)變量的所有可能取值能否一一列

4、出． 3．求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵是搞清隨機(jī)變量所取的所有可能值，以及對(duì)應(yīng)的概率． 隨機(jī)變量的概念 [例1]　寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果： (1)從一個(gè)裝有編號(hào)為1號(hào)到10號(hào)的10個(gè)球的袋中，任取1球，被取出的球的編號(hào)為X； (2)一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X； (3)投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X. [思路點(diǎn)撥]　把隨機(jī)變量的取值一一列舉出來，再說明每一取值與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系． [精解詳析]　(1)X的可能取值為1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，

5、…，10)表示取出第k號(hào)球． (2)X的可能取值為0,1,2,3,4.X＝k表示取出k個(gè)紅球，(4－k)個(gè)白球，其中k＝0,1,2,3,4. (3)X的可能取值為2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投擲甲、乙兩枚骰子后，骰子甲得i點(diǎn)，且骰子乙得j點(diǎn)，則X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)． [一點(diǎn)通]　解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量所有可能的取值，以及取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，即隨機(jī)變量的一個(gè)取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，解答過程不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果． 1．下列變量中屬于離散型

6、隨機(jī)變量的有________． ①在2 014張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到2 014號(hào))中任取一張，被取出的編號(hào)數(shù)為X； ②連續(xù)不斷射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X； ③從2 014張已編號(hào)的卡片(從1號(hào)到2 014號(hào))中任取3張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)和X； ④某工廠加工的某種鋼管，外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X； ⑤投擲一枚骰子，六面都刻有數(shù)字6，所得的點(diǎn)數(shù)X. 解析：①②③中變量X的所有可能取值是可以一一列舉出來的，是離散型隨機(jī)變量．④中X的取值為某一范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)，無法全部列出，不是離散型隨機(jī)變量．⑤中X的取值確定，是6，不是隨機(jī)變量． 答案：①②③ 2．在8件產(chǎn)品中，有3件次品，

7、5件正品，從中任取一件，取到次品就停止，設(shè)抽取次數(shù)為X，則X＝3表示的試驗(yàn)結(jié)果是________． 解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品 3．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為X，試求X的集合，并說明“X>4”表示的試驗(yàn)結(jié)果． 解：設(shè)第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為x，第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6. 依題意得X＝x－y. 則－5≤X≤5， 即X的集合為{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}． 則X＞4?X＝5，表示x＝6，y＝1， 即第一枚骰子

8、擲出6點(diǎn)，第二枚骰子擲出1點(diǎn)． 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) [例2]　已知隨機(jī)變量X的分布列： X＝i 1 2 3 4 5 P(X＝i) a (1)求a； (2)求P(X≥4)，P(2≤X＜5)． [思路點(diǎn)撥]　(1)利用分布列中所有概率和為1的性質(zhì)求解． (2)借助互斥事件概率求法求解． [精解詳析]　(1)由＋＋a＋＋＝1， 得a＝. (2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝， P(2≤X＜5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝＋＋ ＝. [一點(diǎn)通]　利用分布列的性質(zhì)解題時(shí)要注意以下兩個(gè)問題：

9、(1)X的各個(gè)取值表示的事件是互斥的． (2)p1＋p2＋…＝1，且pi＞0，i＝1,2，…. 4．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝a·i，i＝1,2,3，則a的值為(　　) A．1　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由分布列的性質(zhì)，知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝a·＋a·2＋a·3＝a＝1.∴a＝. 答案：D 5．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4.求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P. 解：∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4， (1)P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝. (2)

10、P ＝P(X＝1或X＝2或X＝3) ＝1－P(X＝4)＝1－＝＝. 離散型隨機(jī)變量的分布列 [例3]　(10分)袋中裝有編號(hào)為1～6的同樣大小的6個(gè)球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，設(shè)X表示取出3個(gè)球中的最大號(hào)碼，求X的分布列． [思路點(diǎn)撥]　先確定X的所有可能取值，然后分別求出X取各值時(shí)的概率即可． [精解詳析]　根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為3,4,5,6. X＝3，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為3，其他2個(gè)球的號(hào)碼為1,2.所以，P(X＝3)＝＝；(2分) X＝4，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為4，其他2個(gè)球只能在號(hào)碼為1,2,3的3個(gè)球中?。? 所以，P(X＝4)＝＝；

11、 (4分) X＝5，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為5，其他2個(gè)球只能在號(hào)碼為1,2,3,4的4個(gè)球中?。? 所以，P(X＝5)＝＝； (6分) X＝6，即取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼為6，其他2個(gè)球只能在號(hào)碼為1,2,3,4,5的5個(gè)球中取． 所以，P＝(X＝6)＝＝. (8分) 所以，隨機(jī)變量X的分布列為 X＝xi 3 4 5 6 P(X＝xi) (10分) [一點(diǎn)通]　(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵是搞清離散型隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，然后利用排列組合知識(shí)求出X取每個(gè)值的概率，最后列出

12、分布列． (2)求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：首先確定X的所有可能的取值；其次，求相應(yīng)的概率P(X＝xi)＝pi；最后列成表格的形式． 6．在射擊的試驗(yàn)中，令X＝如果射中的概率為0.8，求隨機(jī)變量X的分布列． 解：由P(X＝1)＝0.8，得P(X＝0)＝0.2.所以X的分布列為： X＝xi 1　　0 P(X＝xi) 0.8　　0.2 7．(天津高考改編)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2,3,4；白色卡片3張， 編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的

13、概率； (2)在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X, 求隨機(jī)變量X的分布列． 解：(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件A，則P(A)＝＝. 所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 8．(湖南高考改編)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示： 一次購物量

14、1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)求x，y的值； (2)將頻率視為概率，求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列． 解： (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.

15、5)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝， P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P 1．隨機(jī)變量X是關(guān)于試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)，即每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)；隨機(jī)變量X的線性組合Y＝aX＋b(a，b是常數(shù))也是隨機(jī)變量． 2．離散型隨機(jī)變量X的分布列實(shí)質(zhì)上就是隨機(jī)變量X與這一變量所對(duì)應(yīng)的概率P的分布表，它從整體上反映了隨機(jī)變量取各個(gè)值的可能性的大小，反映了隨機(jī)變量取值的規(guī)律． 1．一個(gè)袋子中有質(zhì)量相等的紅、黃、綠、白四種小球各若干個(gè)，一次倒出三個(gè)小球，下列變量是離散型隨機(jī)變量的是(　　)

16、 A．小球滾出的最大距離 B．倒出小球所需的時(shí)間 C．倒出的三個(gè)小球的質(zhì)量之和 D．倒出的三個(gè)小球的顏色種數(shù) 解析：A，B不能一一列舉，不是離散型隨機(jī)變量，而C是常量，是個(gè)確定值，D可能取1,2,3，是離散型隨機(jī)變量． 答案：D 2．袋中有大小相同的5個(gè)鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼．在有放回地抽取條件下依次取出2個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X所有可能值的個(gè)數(shù)是(　　) A．25　　　　　　　　　　 B．10 C．9 D．5 解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一個(gè)，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一個(gè)，兩次的號(hào)碼和可能為2

17、,3,4,5,6,7,8,9,10. 答案：C 3．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，則n＝(　　) A．3 B．4 C．10 D．不確定 解析：∵X等可能取1,2,3，…，n， ∴X的每個(gè)值的概率均為. 由題意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3， ∴n＝10. 答案：C 4．設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又設(shè)隨機(jī)變量Y＝2X－1，P(Y<6)的值為 (　　) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 解析：Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，

18、P＝. 答案：A 5．隨機(jī)變量Y的分布列如下： Y＝y(tǒng)i 1 2 3 4 5 6 P(Y＝y(tǒng)i) 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2 則(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________； (3)P(1＜Y≤4)＝________. 解析：(1)由i＝1，∴x＝0.1. (2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1　(2)0.45　(3)0.

19、55 6．隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3，其中C為常數(shù)，則P(X≥2)＝________. 解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，∴C＝. P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 答案： 7．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為： X＝xi 0 1 P(X＝xi) 9a2－a 3－8a ，求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列． 解：由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)得 解得a＝，或a＝(舍)． 所以隨機(jī)變量X的分布列為： X＝xi 0 1 P(X＝xi) 8．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈

20、S. (1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件； (2)設(shè)X＝m2，求X的分布列． 解：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以X＝m2的所有不同取值為0,1,4,9， 且有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝. 故X的分布列為 X＝i 0 1 4 9 P(X＝i) 11