2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布4完整講義（學(xué)生版）

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布4完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1． 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母表示． 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量． ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型

2、隨機(jī)變量的分布列． 2．幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點分布． 二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點分布． 兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量，它取值為時的概率為 ，為和中較小的一

3、個． 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列． ⑶二項分布 1．獨立重復(fù)試驗 如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜?fù)試驗．次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … …

4、 … 由于表中的第二行恰好是二項展開式 各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項分布， 記作． 二項分布的均值與方差： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一

5、個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之

6、內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）． 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機(jī)變量的平均取值水平． 2．離散型隨機(jī)變量的方差 一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…，，這

7、些值對應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個離散型隨機(jī)變量的方差． 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對于期望的平均波動的大小（離散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機(jī)變量波動大小的量． 3．為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為． ⑵二項分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率

8、沒有影響，即， 這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件． 如果事件，，…，相互獨立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 正態(tài)曲線（正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度曲線） 【例1】 下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【例2】 若正態(tài)分布密度函數(shù)，下列判斷正確

9、的是（ ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但沒最小值 C．有最大值，但沒最大值 D．無最大值和最小值 【例3】 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，下列說法不正確的是（ ） A．為偶函數(shù) B．最大值為 C．在時是單調(diào)減函數(shù)，在時是單調(diào)增函數(shù) D．關(guān)于對稱 【例4】 設(shè)的概率密度函數(shù)為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A． 　　　　　　　　　B． C．的漸近線是　　　　　　　 D． 【例5】 設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，． ⑴求；⑵求及的值． 【例6】 某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計

10、的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題中不正確的是（ ） A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)榉? B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同 C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同 D．該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為 正態(tài)分布的性質(zhì)及概率計算 【例7】 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是． ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【例8】 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（ ） A． B． C． D． 【例9】 在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為

11、，則在內(nèi)取值的概率為 ． 【例10】 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（ ） A． B． C． D． 【例11】 已知，若，則（ ） A． B． C． D．無法計算 【例12】 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則． 【例13】 設(shè)，且，則的值是（用表示）． 【例14】 正態(tài)變量，為常數(shù)，，若，求的值． 【例15】 某種零件的尺寸服從正態(tài)分布，則不屬于區(qū)間這

12、個尺寸范圍的零件約占總數(shù)的 ． 【例16】 某校高中二年級期末考試的物理成績服從正態(tài)分布． ⑴若參加考試的學(xué)生有人，學(xué)生甲得分為分，求學(xué)生甲的物理成績排名； ⑵若及格（分及其以上）的學(xué)生有人，求第名的物理成績． 已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表． 【例17】 在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布．已知成績在分以上（含分）的學(xué)生有名． ⑴試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？ ⑵若該校計劃獎勵競賽成績排在前名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線

13、約為多少分？ 附：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表． 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望及方差 【例18】 如果隨機(jī)變量，求的值． 正態(tài)分布的原則 【例19】 燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命（單位：），已知，要使燈泡的平均壽命為的概率為，則燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在小時以上． 【例20】 一批電池（一節(jié)）用于手電筒的壽命服從均值為小時、標(biāo)準(zhǔn)差為小時的正態(tài)分布，隨機(jī)從這批電池中任意取一節(jié)，問這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于小時的概率是多少？ 【例21】 某班有名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成

14、績服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為，理論上說在分到分的人數(shù)是． 雜題（拓展相關(guān)：概率密度，分布函數(shù)及其他） 【例22】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)， ⑴求常數(shù)的值；⑵求． 【例23】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，求的值及． 【例24】 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度，求的值及． 【例25】 美軍轟炸機(jī)向巴格達(dá)某鐵路控制樞紐投彈，炸彈落彈點與鐵路控制樞紐的距離的密度函數(shù)為，若炸彈落在目標(biāo)40米以內(nèi)時，將導(dǎo)致該鐵路樞紐破壞，已知投彈顆，求巴格達(dá)鐵路控制樞紐被破壞的概率． 【例26】 以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則概率等于（ ） A． B． C． D． 【例27】 某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時間（單位為分）服從正態(tài)分布；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態(tài)分布 ⑴若只有分鐘可用，問應(yīng)走哪條路線？ ⑵若只有65分鐘可用，又應(yīng)走哪條路線？