2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次段考試題 理(II)

2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次段考試題 理(II)一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部為 （C ） A. B. C. D. 2設(shè)函數(shù)，則 (D)A為的極大值點(diǎn) B為 的極小值點(diǎn)C為的極大值點(diǎn) D為的極小值點(diǎn)3已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則與 的夾角為(C)A30° B45° C60°D90°4. 如圖，函數(shù)與相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是( B )A.1B. C. D.25用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)時(shí)，從“nk到nk1”左邊需增乘的代數(shù)式為(B)A2k1 B2(2k1) C D6. 已知空間中三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)，.若k與k2互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值為（ C ）A B C 或 D或7. 下列積分值等于1的是（D）A B C D8(1t,1t，t)，(2，t，t)，則|的最小值是(C)A.B. C.D. 9. 給出下列四個(gè)命題： 是增函數(shù)，無極值.在上沒有最大值由曲線所圍成圖形的面積是 函數(shù)存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是其中正確命題的個(gè)數(shù)為（A）A1 B2 C3 D410設(shè)點(diǎn)是曲線：（為實(shí)常數(shù)）上任意一點(diǎn)，點(diǎn)處切線的傾斜角為，則的取值范圍是（ D ） A B C0， D0，)11設(shè)的三邊長分別為的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則.類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則（ C ）A. B . C . D .12. 若函數(shù)對任意的都有恒成立，則（ C ）A B C D與的大小不確定二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 在四面體OABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則_ (用，表示)14. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個(gè)命題：p1：|z|2, p2：z22i， p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1i, p4：z的虛部為1，其中真命題的個(gè)數(shù)為 .2 p2，p415.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_. 16. 已知函數(shù)，如果成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值； 解析(1)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x±1，當(dāng)1<x<1時(shí)，f (x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<1或x>1時(shí)，f (x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(，1)和(1，)；遞減區(qū)間為(1,1)因此，f(x)在x1處取得極大值，且極大值為f(1)2.18. （本題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足. （1）求； （2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解析：（1）a=1, a=3, a=7, a=15（2）猜想 =2-1證明： n=1時(shí)成立 假設(shè)n=k時(shí)成立，即=2-1則n=k+1時(shí)，S=2,又S=2兩式相減得：由假設(shè)及上式得：即：所以；n=k+1時(shí)也成立由知=2-1，nN時(shí)成立19. （本題滿分12分）如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值解(1)記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|，即AC1的長為.(2)bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.20（本小題滿分10分）直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D、E分別為AB、BB的中點(diǎn)(1)求證：；(2)求證：平面解(1)證明設(shè)a，b，c，根據(jù)題意，|a|b|c|，且a·bb·cc·a0，bc，cba.·c2b20.，即CEAD.(2)證明：（ab），bc cba. ·c2b20. · a 2b20. , 即 CEAD.， 又 故 平面21（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2alnx(a>0)(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若f(x)0在區(qū)間1，e上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)a1，f(x)x24x2lnx，f (x)(x>0)，f(1)3，f (1)0，所以切線方程為y3.(2)f (x)(x>0)，令f (x)0得x1a，x21，當(dāng)0<a<1時(shí)，在x(0，a)或x(1，)時(shí)，f (x)>0，在x(a,1)時(shí)，f (x)<0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)和(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1)；當(dāng)a1時(shí)，f (x)0，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a>1時(shí)，在x(0,1)或x(a，)時(shí)，f (x)>0，在x(1，a)時(shí)，f (x)<0，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，a)(3)由(2)可知，f(x)在區(qū)間1，e上只可能有極小值點(diǎn)，f(x)在區(qū)間1，e上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)取到，f(1)12(a1)0且f(e)e22(a1)e2a0，解得a.22（小題滿分12分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為（）求實(shí)數(shù)的值；（）證明：函數(shù)的圖象恒在直線的下方（點(diǎn)除外）；（）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率恒大于，試求實(shí)數(shù)的取值范圍（）因?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，所以； （）因?yàn)椋?，所以的方程為：，令，則，又因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以，即函數(shù)的圖象恒在其切線的下方（切點(diǎn)除外）；（）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即，. 令，所以在單調(diào)遞增，所以在恒成立，所以在恒成立，所以.