2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 文（含解析）新人教A版 　 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 1．若集合A={x|y=2x}，集合，則A∩B=（　　） 　 A．（0，+∞） B． （1，+∞） C． [0，+∞） D． （﹣∞，+∞） 考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法；交集及其運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 求出集合A中函數(shù)的定義域確定出A，求出集合B中函數(shù)的定義域確定出B，求出A與B的交集即可． 解答： 解：集合A中的函數(shù)y=2x，x∈R，即A=R， 集合B中的函數(shù)y=，x≥0，即B=[0，+∞）， 則A∩B=[0，+∞）．

2、故選C 點(diǎn)評(píng)： 此題屬于以函數(shù)的定義域?yàn)槠脚_(tái)，考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 　 2．設(shè)a∈R，則“a=1”是“直線y=a2x+1與直線y=x﹣1平行”的（　?。? 　 A．充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C．充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 直線與圓． 分析： 結(jié)合直線平行的條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷． 解答： 解：若直線y=a2x+1與直線y=x﹣1平行，則a2=1，解得a=1或a=﹣1． 所以“a=1”是“直線y=a2x+1與直線y=x﹣1平行”的充分不必要條件．

3、 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，要求熟練掌握直線平行的條件． 　 3．已知復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=25，則z=（　?。? 　 A．﹣3﹣4i B． ﹣3+4i C． 3﹣4i D． 3+4i 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)相等的充要條件． 專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析： 由題意利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算求得結(jié)果． 解答： 解：∵滿足（3﹣4i）z=25，則z===3+4i， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 　 4．下列命題正確的是（　　） 　 A． 若兩條直線

4、和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行 　 B． 若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行 　 C． 若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行 　 D． 若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 專題： 證明題． 分析： 利用直線與平面所成的角的定義，可排除A；利用面面平行的位置關(guān)系與點(diǎn)到平面的距離關(guān)系可排除B；利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷C正確；利用面面垂直的性質(zhì)可排除D 解答： 解：A，若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行、相交或異面；

5、排除A； B，若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，排除B； C，設(shè)平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由線面平行的性質(zhì)定理，在平面α內(nèi)存在直線b∥l，在平面β內(nèi)存在直線c∥l，所以由平行公理知b∥c，從而由線面平行的判定定理可證明b∥β，進(jìn)而由線面平行的性質(zhì)定理證明得b∥a，從而l∥a；故C正確； D，若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，排除D； 故選 C 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了空間線面平行和垂直的位置關(guān)系，線面平行的判定和性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)和判定，空間想象能力，屬基礎(chǔ)題 　 5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若8a2+a5=

6、0，則下列式子中數(shù)值不能確定的是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)已知的等式變形，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比q的值，然后分別根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，即可找出四個(gè)選項(xiàng)中數(shù)值不能確定的選項(xiàng)． 解答： 解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8，故選項(xiàng)A正確； 解得：q=﹣2，則=q=﹣2，故選項(xiàng)C正確； 則==，故選項(xiàng)B正確； 而==，所以數(shù)值不能確定的是選項(xiàng)D． 故選D 點(diǎn)評(píng)： 此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題． 　 6．若P（2，

7、﹣1）為圓（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（　　） 　 A． x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0 考點(diǎn)： 直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓相交的性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由圓心為O（1，0），由點(diǎn)P為弦的中點(diǎn)，則該點(diǎn)與圓心的連線垂直于直線AB求解其斜率，再由點(diǎn)斜式求得其方程． 解答： 解：已知圓心為O（1，0） 根據(jù)題意：Kop= kABkOP=﹣1 kAB=1，又直線AB過(guò)點(diǎn)P（2，﹣1）， ∴直線AB的方程是x﹣y﹣3=0 故選A 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，主

8、要涉及了弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在的直線垂直． 　 7．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，則m等于（　?。? 　 A． 4 B． 6 C． 16 D． 18 考點(diǎn)： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出． 解答： 解：∵焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8， ∴2=8，解得m=16． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在[50，60）的汽車(chē)大約有（　?。? 　 A． 30輛 B． 40輛 C．

9、 60輛 D． 80輛 考點(diǎn)： 頻率分布直方圖． 專題： 計(jì)算題． 分析： 首先要做出事件發(fā)生的頻率，在頻率分步直方圖中小長(zhǎng)方形的面積為頻率，用長(zhǎng)乘以寬，得到頻率，用頻率乘以總體個(gè)數(shù)，得到這個(gè)范圍中的個(gè)體數(shù)． 解答： 解：在頻率分步直方圖中小長(zhǎng)方形的面積為頻率， 在[50，60）的頻率為0.03×10=0.3， ∴大約有200×0.3=60輛． 故選C 點(diǎn)評(píng)： 本題考查頻率分步直方圖，考查頻率分步直方圖中小長(zhǎng)方形的面積等于頻率，本題考查頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系，這三個(gè)量可以做到知二求一． 　 9．函數(shù)：①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x

10、?2x的圖象（部）如圖所示，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是（　?。? 　 A．④①②③ B． ①④③② C． ①④②③ D． ③④②① 考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的圖象；余弦函數(shù)的圖象． 專題： 數(shù)形結(jié)合． 分析： 依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的圖象對(duì)應(yīng)來(lái)確定函數(shù)與圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)函數(shù)的解析式研究發(fā)現(xiàn)，四個(gè)函數(shù)中有一個(gè)是偶函數(shù)，有兩個(gè)是奇函數(shù)，還有一個(gè)是指數(shù)型遞增較快的函數(shù)，由這些特征接合圖象上的某些特殊點(diǎn)判斷即可． 解答： 解：研究發(fā)現(xiàn)①是一個(gè)偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故它對(duì)應(yīng)第一個(gè)圖象 ②③都是奇函數(shù)，但②在y軸的右側(cè)圖象在x軸上方與下方都存在，而③在

11、y軸右側(cè)圖象只存在于x軸上方，故②對(duì)應(yīng)第三個(gè)圖象，③對(duì)應(yīng)第四個(gè)圖象，④與第二個(gè)圖象對(duì)應(yīng)，易判斷． 故按照從左到右與圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)①④②③ 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變化的特點(diǎn)，解決此類問(wèn)題有借助兩個(gè)方面的知識(shí)進(jìn)行研究，一是函數(shù)的性質(zhì)，二是函數(shù)值在某些點(diǎn)的符號(hào)即圖象上某些特殊點(diǎn)在坐標(biāo)系中的確切位置． 10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ex（x+1），給出下列命題： ①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ex（1﹣x）； ②f（x）＞0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）； ③函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)； ④?x1，x2∈R

12、，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2， 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　?。? 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用；奇偶性與單調(diào)性的綜合． 專題： 計(jì)算題． 分析： 逐個(gè)驗(yàn)證：①為函數(shù)對(duì)稱區(qū)間的解析式的求解；②為不等式的求解，分段來(lái)解，然后去并集即可；③涉及函數(shù)的零點(diǎn)，分段來(lái)解即可，注意原點(diǎn)；④實(shí)際上是求函數(shù)的取值范圍，綜合利用導(dǎo)數(shù)和極值以及特殊點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象可得范圍． 解答： 解：設(shè)x＞0，則﹣x＜0，故f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1），又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（﹣x）=﹣f（x）=e﹣x（﹣x+1），所以f（x）=e﹣x（x﹣1），故①

13、錯(cuò)誤； 因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=ex（x+1）＞0，解得﹣1＜x＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞），故②正確； 令ex（x+1）=0可解得x=﹣1，當(dāng)e﹣x（x﹣1）=0時(shí)，可解得x=1，又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故有f（0）=0，故函數(shù)的零點(diǎn)由3個(gè)，故③錯(cuò)誤； ④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，正確，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)f（x）=e﹣x（x﹣1），圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），又f′（x）=e﹣x（2﹣x）， 可知當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，，f′（x）＜0，故函數(shù)在x=

14、2處取到極大值f（2）=，且當(dāng)x趨向于0時(shí)，函數(shù)值趨向于﹣1， 當(dāng)當(dāng)x趨向于+∞時(shí)，函數(shù)值趨向于0， 由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可作出函數(shù)f（x）的圖象， 可得函數(shù)﹣1＜f（x）＜1，故有|f（x1）﹣f（x2）|＜2成立． 綜上可得正確的命題為②④， 故選B 點(diǎn)評(píng)： 本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬中檔題． 　 二、填空題（每題5分，共25分） 11．已知x，y滿足，則z=2x+y的最大值為　3　． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可

15、行域直線在y軸上的截距最大值即可． 解答： 解：，在坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象， 三條線的交點(diǎn)分別是A（﹣1，﹣1），B（，）， C（2，﹣1）， 在△ABC中滿足z=2x+y的最大值是點(diǎn)C，代入得最大值等于3． 故答案為：3． 點(diǎn)評(píng)： 本題只是直接考查線性規(guī)劃問(wèn)題，是一道較為簡(jiǎn)單的試題．近年來(lái)高考線性規(guī)劃問(wèn)題高考數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 12．如果執(zhí)行如圖程序框圖（判斷條件k≤20？），那么輸出的S=　420?。? 考點(diǎn)： 循環(huán)結(jié)構(gòu)． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 執(zhí)行程序框圖，分析程序框圖的功能和意義，計(jì)算并

16、輸出S=2×（1+2+…+20）的值，不難計(jì)算為420． 解答： 解：執(zhí)行程序框圖，有 k=1 S=0 滿足條件k≤20，第1次執(zhí)行循環(huán)體，有S=2，k=2 滿足條件k≤20，第2次執(zhí)行循環(huán)體，有S=2+4，k=3 滿足條件k≤20，第3次執(zhí)行循環(huán)體，有S=2+4+6，k=4 … 滿足條件k≤20，第19次執(zhí)行循環(huán)體，有S=2+4+..+38，k=20 滿足條件k≤20，第20次執(zhí)行循環(huán)體，有S=2+4+…+40，k=21 不滿足條件k≤20，退出執(zhí)行循環(huán)體，輸出S的值 根據(jù)程序框圖的意義和功能，得S=2×（1+2+…+20）=420 故答案為：420． 點(diǎn)評(píng)： 本題

17、主要考察程序框圖和算法，屬于基礎(chǔ)題． 　 13．已知是夾角為120°的單位向量，向量=t+（1﹣t），若⊥，則實(shí)數(shù)t=　　． 考點(diǎn)： 數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 由已知得=[t+（1﹣t）]=0，由此能求出實(shí)數(shù)t． 解答： 解：∵是夾角為120°的單位向量， 向量=t+（1﹣t），⊥， ∴=[t+（1﹣t）]=t+（1﹣t）=t?cos120°+1﹣t=1﹣， 解得t=．故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 　 14．一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為

18、　6π?。? 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 三視圖中長(zhǎng)對(duì)正，高對(duì)齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，該幾何體為半圓柱． 解答： 解：由三視圖可知，該幾何體為半圓柱， 其底面半徑為2，高為3； 則其體積為：×π×22×3=6π． 故答案為：6π． 點(diǎn)評(píng)： 三視圖中長(zhǎng)對(duì)正，高對(duì)齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，本題考查了學(xué)生的空間想象力，識(shí)圖能力及計(jì)算能力． 　 15．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其中f（1）=0，且當(dāng)x＞0時(shí)，有＞0，則不等式f（x）＞0的解集是　

19、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）　． 考點(diǎn)： 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 先根據(jù)=＞0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分別看x＞1和0＜x＜1時(shí)f（x）與0的關(guān)系．再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷﹣1＜x＜0和x＜﹣1時(shí)f（x）與0的關(guān)系，最后去x的并集即可得到答案． 解答： 解：=＞0， 即x＞0時(shí)，是增函數(shù) 當(dāng)x＞1時(shí)＞f（1）=0，f（x）＞0； 0＜x＜1時(shí)，＜f（1）=0，f（x）＜0． 又f（x）是奇函數(shù)， 所以﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）=﹣f（﹣x）＞0； x＜﹣1時(shí)f（x）=﹣f（﹣x）＜0． 則不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1

20、，+∞） 故答案為：（﹣1，0）∪（1，+∞）． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常可利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)判斷． 　 三、解答題（共75分） 16．（12分）△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0， （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC面積S△ABC的最大值． 考點(diǎn)： 余弦定理；三角形的面積公式． 專題： 計(jì)算題；解三角形． 分析： （1）根據(jù)題中等式，利用余弦定理算出cosA=﹣，結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，可得A=； （2）利用基本不等式，算出bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)等號(hào)成立．由此結(jié)合正弦定理

21、的面積公式，即可算出△ABC面積S△ABC的最大值． 解答： 解：（1）∵△ABC中，b2+c2﹣a2+bc=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc 因此cosA===﹣ ∵A為三角形的內(nèi)角，∴A=； （2）∵b2+c2﹣a2+bc=0， ∴a2=b2+c2+bc=3，得b2+c2=﹣bc+3≥2bc 解之得bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)等號(hào)成立 ∵△ABC面積S△ABC=bcsinA=bc ∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)，△ABC面積S△ABC的最大值為． 點(diǎn)評(píng)： 本題給出三角形的邊之間的平方關(guān)系，求角的大小并依此求三角形面積的最大值．著重考查了正余弦定理解三角形、運(yùn)用基本不等式求最值等知

22、識(shí)，屬于中檔題． 　 17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若等比數(shù)列{bn}滿足b2=S1，b4=a2+a3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 考點(diǎn)： 數(shù)列的應(yīng)用． 專題： 計(jì)算題． 分析： （I）由題意知a1=3，an=Sn﹣Sn﹣1=2n，符合． （II）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，由此能夠求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 解答： 解：（I）a1=S1=3 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+ 符合 （II）設(shè)等比數(shù)列的公比為q， 則 解得 所以

23、 即． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，具有一定的難度，解題時(shí)要仔細(xì)挖掘題設(shè)中的隱含條件， 　 18．（12分）如圖五面體中，四邊形CBB1C1為矩形，B1C1⊥平面ABB1N，四邊形ABB1N為梯形， 且AB⊥BB1，BC=AB=AN==4． （1）求證：BN⊥平面C1B1N； （2）求此五面體的體積． 考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明B1C1⊥BN，然后利用勾股定理證明BN⊥B1N，通過(guò)B1N∩B1C1=B1，利用直線與平面垂直的判定定理證明：BN⊥平面

24、C1B1N； （2）連接CN，說(shuō)明NM⊥平面B1C1CB，然后五面體的體積分別求解即可． 解答： 解：（1）證明：連4，過(guò)N作NM⊥BB1，垂足為M， ∵B1C1⊥平面ABB1N，BN?平面ABB1N， ∴B1C1⊥BN，…（2分） 又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN， ∴，=， ∵， ∴BN⊥B1N，…（4分） ∵B1C1?平面B1C1N，B1N?平面B1C1N，B1N∩B1C1=B1 ∴BN⊥平面C1B1N…（6分） （2）連接CN，，…（8分） 又B1C1⊥平面ABB1N，所以平面CBB1C1⊥平面ABB1N，且平面CBB1C1∩ABB

25、1N=BB1，NM⊥BB1， NM?平面B1C1CB， ∴NM⊥平面B1C1CB，…（9分） …（11分） 此幾何體的體積…（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力． 　 19．（13分） 某電視臺(tái)組織部分記者，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)居民的幸福指數(shù)，現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福指數(shù)的得分（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）： （1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； （2）若幸福指數(shù)不低于9.5分，則稱該人的幸福指數(shù)為“極幸?！保髲倪@16人中

26、隨機(jī)選取2人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩? 考點(diǎn)： 古典概型及其概率計(jì)算公式；莖葉圖． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （1）根據(jù)眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)求出眾數(shù)；根據(jù)中位數(shù)是從小到大排列位于中間位置的兩數(shù)的平均數(shù)求中位數(shù)； （2）由莖葉圖求出幸福度不低于9.5分的人數(shù)，計(jì)算按分層抽樣的方法從幸福度不低于9.5分的應(yīng)抽取是人數(shù)，再分別求出從16人中隨機(jī)抽取2人的抽法種數(shù)和2人中至少有1人“很幸福”的抽法種數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算． 解答： 解：（1）由莖葉圖知：眾數(shù)為8.6； 中位數(shù)為=8.75； （2）設(shè)A表示“2個(gè)人中至多有一個(gè)人‘很幸?！边@一事件 由莖葉圖知：

27、幸福度不低于9.5分的有4人， ∴從16人中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果有=120個(gè)， 其中事件A中的可能性有=114個(gè)， ∴概率P（A）==． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了由莖葉圖求數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，考查了古典概型的概率計(jì)算及組合數(shù)公式的應(yīng)用，是概率統(tǒng)計(jì)的基本題型，讀懂莖葉圖是解題的關(guān)鍵． 　 20．（13分）已知函數(shù)f（x）=，（其中常數(shù)a＞0） （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線在（0，f（0））處的切線方程； （Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x∈（a，2]使得不等式f（x）≤e2成立，求a的取值范圍． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)恒成立問(wèn)題． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：

28、（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出f（0），求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出f′（1），則曲線在（0，f（0））處的切線方程可求； （Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，把存在實(shí)數(shù)x∈（a，2]使不等式 f（x）≤e2成立轉(zhuǎn)化為在（a，2]上成立，然后由a+1≤2和a+1＞2分類求出f（x）的最小值，由最小值小于等于e2求解a的取值范圍． 解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，， ∴f（0）=﹣1，f′（0）=﹣2， ∴曲線在（0，f（0））處的切線方程為：2x+y+1=0； （Ⅱ）函數(shù)的定義域{x|x≠a}．

29、由f（x）=，得， 令f'（x）=0，得x=a+1， 當(dāng)x∈（﹣∞，a），（a，a+1）時(shí)，f′（x）0． ∴f（x）在（﹣∞，a），（a，a+1）遞減，在（a+1，+∞）遞增． 若存在實(shí)數(shù)x∈（a，2]使不等式f（x）≤e2成立， 只需在（a，2]上成立， ①若a+1≤2，即0＜a≤1時(shí)，， ∴a+1≤2，即a≤1， ∴0＜a≤1； ②若a+1＞2，即1＜a＜2，， 解得a≤1， 又1＜a＜2， ∴a∈?． 綜上，a的取值范圍是（0，1]． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題． 　

30、 21．（13分）已知橢圓C：=1（a＞b＞0），離心率為，兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且△F2MN的周長(zhǎng)為8． （1）求橢圓C的方程； （2）過(guò)點(diǎn)P（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的最大值． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題． 分析： （1）利用已知條件求出橢圓方程中的幾何量，即可求橢圓C的方程； （2）利用直線的斜率存在與不存在，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式表示弦長(zhǎng)|AB|通過(guò)基本不等式求解弦長(zhǎng)的最大值． 解

31、答： 解：（1）由題得：，4a=8，所以a=2，． …（3分） 又b2=a2﹣c2，所以b=1即橢圓C的方程為．…（4分） （2）由題意知，|m|≥1． 當(dāng)m=1時(shí)，切線l的方程x=1，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為， 此時(shí)； 當(dāng)m=﹣1時(shí)，同理可得… 當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=k（x﹣m），（k≠0） 由 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）， 則△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0 又由l與圓．得 所以==…（9分） 因?yàn)閨m|≥1所以， 且當(dāng)時(shí)，|AB|=2， 由于當(dāng)m=±1時(shí)，，所以|AB|的最大值為2．…（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．