2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、向量、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、數(shù)列、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、立體幾何、充分條件與必要條件等；考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷. 選擇題(共10小題，每小題5分，共50分) 【題文】1、已知全集U=R，則正確表示集合M={－1,

2、0,1}和關(guān)系的韋恩圖是( ) 【知識(shí)點(diǎn)】集合的關(guān)系A(chǔ)1 【答案解析】B解析：因?yàn)?，所以，則選B. 【思路點(diǎn)撥】先求出集合N，再結(jié)合兩個(gè)集合的關(guān)系判斷其韋恩圖即可. 【題文】2、已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A． B．3 C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積F3 【答案解析】A解析：因?yàn)橄蛄颗c垂直，則，得λ=-3，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】由兩向量垂直，則兩向量的數(shù)量積等于0，是解答本題的關(guān)鍵. 【題文】3、“”是“且”的（ ） A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C.

3、 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】充分條件與必要條件A2 【答案解析】A解析：因?yàn)椤啊辈灰欢ㄓ小扒摇保簟扒摇?，由不等式的性質(zhì)可知必有“”，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】判斷充要條件時(shí)，可先分清命題的條件與結(jié)論，若由條件能推出結(jié)論，則充分性滿足，若由結(jié)論能推出條件，則必要性滿足. 【題文】4、已知角為第二象限角，且，則的值為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式C2 【答案解析】B解析：因?yàn)?，所?，又因?yàn)榻菫榈诙笙藿牵越獾?，則，所以選B. 【思路點(diǎn)

4、撥】由角的正切求其余弦，可通過同角三角函數(shù)關(guān)系式的商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系得到正弦和余弦的方程組，解方程組即可. 【題文】5、已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列滿足·=，=1，則= （ ） A． B．2 C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列D3 【答案解析】A解析：因?yàn)?，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以公比,則，所以選A . 【思路點(diǎn)撥】在遇到等比數(shù)列時(shí)，可先通過項(xiàng)數(shù)觀察有無性質(zhì)特征，有性質(zhì)的用性質(zhì)進(jìn)行解答，無性質(zhì)特征的用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題文】6、設(shè)滿足則( ) A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無最大值

5、 C.有最大值3，無最小值 D.既無最小值，也無最大值. 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃E5 【答案解析】B解析：因?yàn)椴坏仁浇M表示的平面區(qū)域如圖ABCD區(qū)域，顯然當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（2,0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值為2，無最大值，所以選B. . 【思路點(diǎn)撥】解答線性規(guī)劃問題，主要是利用數(shù)形結(jié)合的方法尋求目標(biāo)函數(shù)的最值. 【題文】7、若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．，在上是增函數(shù) B．，在上是減函數(shù) C．，是偶函數(shù) D．，是奇函數(shù) 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性B3 B4 B12 【答案解析】C解析：因?yàn)?/p>

6、 ，所以當(dāng)a≤0時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0，在上是增函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，所以排除A,B，當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，所以C正確，當(dāng)a≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤，綜上知選C. 【思路點(diǎn)撥】已知解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，可利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，判斷函數(shù)的奇偶性可利用其定義進(jìn)行判斷. 【題文】8、給出四個(gè)函數(shù)，分別滿足①；②； ③；④，又給出四個(gè)函數(shù)的圖象如下： P 則正確的配匹方案是 （ ） A．①—M ②—N ③—P ④—Q B．①—N ②—P ③—M ④—Q C．①—P ②—M ③—N ④—Q D．①—Q ②

7、—M ③—N ④—P 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)B6 B7 B8 【答案解析】D解析：圖像M為指數(shù)函數(shù)圖像，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得M與②對(duì)應(yīng)，則排除A,B,又圖像Q為過原點(diǎn)的一次函數(shù)，設(shè)f(x)=ax,則有f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y),所以Q與①對(duì)應(yīng)，則排除C,所以選D. 【思路點(diǎn)撥】抓住指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的圖像特征及對(duì)應(yīng)的運(yùn)算法則，利用排除法，即可確定選項(xiàng). 【題文】9、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 數(shù)列有最大值 B. 數(shù)列有最小值 C.

8、 D. 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列D2 【答案解析】D解析：因?yàn)?，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的二次函數(shù)特征得函數(shù)的對(duì)稱軸為，則，得，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】抓住等差數(shù)列n項(xiàng)和的二次函數(shù)特征，利用對(duì)稱性解答即可. 【題文】10、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（xx）的值為( ) A. -1 B. 0 C.1 D. 2 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的周期性、分段函數(shù)B4 【答案解析】C解析：因?yàn)閤＞0時(shí)，f(x)=f(x﹣1) ﹣f(x﹣2),所以x＞1時(shí)， f(x﹣1)=f(x﹣2) ﹣f(x﹣3)，則有f(x)=f

9、(x﹣1) ﹣f(x﹣2)= ﹣f(x﹣3)=f(x﹣6)， 所以當(dāng)x＞4時(shí)以6為周期，則f（xx）=f(336×6－1)=f(－1)=1，所以選C. 【思路點(diǎn)撥】由遞推關(guān)系求自變量較大的函數(shù)值時(shí)，可考慮利用遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)其周期特征，再進(jìn)行解答. 二、填空題（共4小題，每題5分，共20分） 【題文】11、不等式的解集是_______________. 【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式E3 【答案解析】 C解析：由不等式得 ，解得，所以不等式的解集為. 【思路點(diǎn)撥】解一元二次不等式，一般先把不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0，再結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解答. 【題文】12、函數(shù)在點(diǎn)（）處的切

10、線方程是_______________. 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12 【答案解析】y=－x解析：因?yàn)?，所以切線的斜率為，則所求的切線方程為即y=－x. 【思路點(diǎn)撥】抓住切線的斜率等于在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即可求出切線斜率，進(jìn)而得出切線方程. 【題文】13、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的單調(diào)性D1 【答案解析】解析：因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，為遞增數(shù)列，所以，即，而，所以. 【思路點(diǎn)撥】數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是對(duì)于任意的n,恒成立，再利用不等式恒成立求λ的范圍即可. A B C D E F 【題文】14、如圖，平行

11、四邊形ABCD中，E為CD中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BC上，且BC=3BF。已知，則x的值為___________. 【知識(shí)點(diǎn)】向量的加法，平面向量基本定理F1 F2 【答案解析】 解析：因?yàn)?所以=,得 ，解得x=. 【思路點(diǎn)撥】把向量用表示，再利用平面向量基本定理即可解答. 三、解答題（共6小題，80分） 【題文】15、（本小題滿分13分） 已知數(shù)列滿足。 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和D1 D4 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 解析：(Ⅰ)由條件得 相加得，因?yàn)?，所? (Ⅱ) 相減得 所以 . 【思路點(diǎn)

12、撥】若從第二項(xiàng)起，數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成一個(gè)可求和的數(shù)列，可用累加求和法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列求和，可用錯(cuò)位相減法求和. 【題文】16、（本小題滿分13分） 如圖，已知點(diǎn)和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)． (Ⅰ)若，求向量； (Ⅱ)求的最小值． 【知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角恒等變換F2 C5 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)1 解析：(Ⅰ)依題意，，（不含1個(gè)或2個(gè)端點(diǎn)也對(duì)）， （寫出1個(gè)即可），因?yàn)?，所以，?，解得，所以 (Ⅱ) ， 當(dāng)時(shí)，取得最小值，. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到向量垂直問題，通常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的數(shù)量積等于

13、0解答，對(duì)于向量的模可直接利用向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式轉(zhuǎn)化求解. 【題文】17、（本小題滿分13分） 如圖，在直角梯形中,,,.將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示. (Ⅰ) 求證:平面； A B C D (Ⅱ) 求幾何體的體積. B A C D 圖1 【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，三棱錐的體積G5 G7 【答案解析】(Ⅰ) 略(Ⅱ) 解析：解:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故 取中點(diǎn)連結(jié),則,又面面, 面面,面,從而平面, ∴，又,,∴平面 另解:在圖1中,可得,從而,故 ∵面面,面面,面,從而平面 (Ⅱ

14、) 由（Ⅰ）可知為三棱錐的高. ， 所以 ，由等積性可知幾何體的體積為 . 【思路點(diǎn)撥】證明直線與平面垂直，一般結(jié)合直線與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明；求三棱錐的體積時(shí)若直接以所給的面為底面解答困難時(shí)，可結(jié)合三棱錐以任意一個(gè)面為底面仍為三棱錐的特點(diǎn)，采取換底面法求體積. 【題文】18、（本小題滿分13分） 某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)

15、單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？ 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃E5 【答案解析】4個(gè)午餐和3個(gè)晚餐 解析：設(shè)該兒童分別預(yù)訂個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費(fèi)元， 則。 可行域?yàn)? 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0， y≥0， 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x≥0， y≥0， 作出可行域如圖所示： 經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=4,y=3 時(shí)，花費(fèi)最少，為

16、=2.5×4+4×3=22元． 答：該兒童分別預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐，此時(shí)滿足營(yíng)養(yǎng)要求并花費(fèi)最少. 【思路點(diǎn)撥】解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟為：①設(shè)出相關(guān)變量；②列出變量滿足的不等式組并寫出目標(biāo)函數(shù)；③作出不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)找出最優(yōu)解. 【題文】19.（本小題滿分14分） 已知數(shù)列滿足. （Ⅰ）求及通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求證：. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式、證明不等式的方法D1 D4 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略 解析：（Ⅰ）解：n=1時(shí)，有，解得=3， 時(shí)，由 得，兩式相減得 ，解得， 滿足=3，故 ； （Ⅱ） 所以 【思路點(diǎn)撥】由

17、數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式的步驟是：①令n=1求出；②當(dāng)時(shí)利用 計(jì)算通項(xiàng)，③對(duì)n=1檢驗(yàn)得出最后的結(jié)果；對(duì)于與數(shù)列前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式，能直接求和的可以先求和再進(jìn)行證明，不能求和的可以考慮用放縮法轉(zhuǎn)化求和. 【題文】20、（本小題滿分14分） 已知函數(shù). （Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)，證明：對(duì)任意，. 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用B12 【答案解析】（Ⅰ）當(dāng)a≥0時(shí)，在(0,+)單調(diào)遞增；當(dāng)a≤－1時(shí)，在(0,+)單調(diào)遞減；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，在（0, ）單調(diào)遞增，在（，+）上單調(diào)遞減. （Ⅱ）略 解析： (Ⅰ) f(x)的定義域?yàn)?0,+)，. 當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，

18、故f(x)在(0,+)單調(diào)遞增；當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)遞減； 當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時(shí), ＞0； x∈(，+)時(shí)，＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)遞增，在（，+）上單調(diào)遞減. （Ⅱ）不妨設(shè) ，由于a≤－2，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則等價(jià)于，即，令，則，則，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，得即，所以對(duì)任意，. 【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意對(duì)導(dǎo)數(shù)等于0在定義域內(nèi)是否有實(shí)根進(jìn)行判斷，不能確定時(shí)要注意討論；證明與函數(shù)有關(guān)的不等式問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或函數(shù)的單調(diào)性問題，再利用導(dǎo)數(shù)解答.