2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段回扣練（四） 三角函數(shù)、解三角形習(xí)題 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段回扣練（四） 三角函數(shù)、解三角形習(xí)題 理 新人教A版 一、填空題 1.(xx·揚州期末)已知α∈(0，π)，cos α＝－，則tan＝________. 解析　因為α∈(0，π)，cos α＝－，所以sin α＝，所以tan α＝－，從而tan＝＝＝. 答案　 2.(xx·宿遷調(diào)研)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為________. 解析　因為<α<， 所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α

2、＝1－2×＝， 所以cos α－sin α＝. 答案　 3.(xx·湖北七市(州)聯(lián)考)將函數(shù)g(x)＝3sin圖象上所有點向左平移個單位，再將各點橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)f(x)的解析式為________. 解析　依題意，將函數(shù)g(x)的圖象向左平移個單位長度得到的曲線方程是y＝3sin＝3cos 2x，再將各點橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到的曲線方程是y＝3cos 4x，即f(x)＝3cos 4x. 答案　f(x)＝3cos 4x 4.(xx·江蘇卷)已知函數(shù)y＝cos x與y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它們的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點，則φ的值是________. 解析

3、　由題意cos＝sin，即sin＝，所以＋φ＝2kπ＋或2kπ＋(k∈Z)，因為0≤φ＜π，所以φ＝. 答案　 5.已知sin＝，α∈，則cos α＝________. 解析　∵α∈，∴α＋∈， ∴cos＝－ ＝－＝－， ∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝. 答案　 6.(xx·合肥檢測)函數(shù)f(x)＝sin 2x＋cos 2x圖象的一條對稱軸方程是________(填序號). ①x＝－；②x＝；③x＝；④x＝. 解析　依題意得f(x)＝2sin，且f＝2sin＝－2，因此其圖象關(guān)于直線x＝對稱，故填④. 答案　④ 7.(xx·南通調(diào)研)將函

4、數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的圖象上所有點向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則φ等于________. 解析　將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移后得到y(tǒng)＝sin＝sin，因為該函數(shù)是奇函數(shù)，且0＜φ＜π，所以φ＝. 答案　 8.某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn) 1 000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0°，則山的高度BC為________m. 解析　過點D作DE∥AC交BC于E，因為∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15

5、°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理，得AB＝ ＝＝500(＋)(m) 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m). 答案　500(＋1)m 9.(xx·南京、鹽城調(diào)研)在△ABC中，BC＝2，A＝，則·的最小值為________. 解析　由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，所以AB·AC≤. 所以·＝AB·ACcos＝－AB·AC≥－， 故(·)min＝－.當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AC時等號成立. 答案　－ 10.(xx·南通一模)在△ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，S為

6、△ABC的面積.若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(，S)滿足p∥q，則C＝________. 解析　由p∥q，得(a2＋b2－c2)＝4S＝2absin C，即＝sin C，由余弦定理的變式，得cos C＝sin C，即tan C＝，因為0

7、7 12.如圖所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是________. 解析　由圖象知A＝1，＝－＝，得T＝2π，則ω＝1，所以y＝sin(x＋φ).由圖象過點，可得φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又|φ|＜，所以φ＝，所以所求函數(shù)解析式是 y＝sin. 答案　y＝sin 13.(xx·揚州一檢)銳角△ABC中，若A＝2B，則的取值范圍是________. 解析　因為△ABC為銳角三角形，且A＝2B， 所以 所以

8、蘇北四市調(diào)研)已知<α<π，－π<β<0，tan α＝－，tan β＝－，則2α＋β等于________. 解析　tan 2α＝＝＝－， tan(2α＋β)＝ ＝＝－1. 因為<α<π，－10，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)α∈，f＝2，求α的

9、值. 解　(1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3， ∴A＋1＝3，即A＝2， ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為， ∴最小正周期T＝π， ∴ω＝2，故函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sin＋1. (2)f ＝2sin＋1＝2， 即sin＝， ∵0<α<，∴－<α－<， ∴α－＝，故α＝. 16.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝6cos2x－2·sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期和值域； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cos A＝，求a和sin C. 解　(1)f(x)＝6×－sin 2x＝3

10、cos 2x－sin 2x＋3＝2cos＋3. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π， 值域為[3－2，3＋2]. (2)由f(B)＝0，得cos＝－. ∵B為銳角，∴＜2B＋＜，2B＋＝， ∴B＝. ∵cos A＝，A∈(0，)， 所以sin A＝＝. 在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝. 所以sin C＝sin(π－A－B)＝sin ＝cos A＋sin A＝. 17.(xx·南京、鹽城模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m＝(cos A，cos C)，n＝(c－2b，a)，且m⊥n. (1)求角A的大小； (2)若AC＝BC，且BC邊上的中線A

11、M的長為，求△ABC的面積. 解　(1)由m⊥n，得(2b－c)cos A＝acos C， 所以(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C， 即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A， 即2sin Bcos A＝sin B， 因為sin B≠0， 所以cos A＝，于是A＝. (2)由(1)知A＝，又AC＝BC， 所以C＝.設(shè)AC＝x，則MC＝x. 在△AMC中，由余弦定理得 AC2＋MC2－2AC·MCcos C＝AM2， 即x2＋－2x·cos＝()2， 解得x＝2， 故S△ABC＝×22×sin＝. 18.(xx·

12、泰州調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tan C＝. (1)求角C的大小； (2)若△ABC的外接圓直徑為1，求a2＋b2的取值范圍. 解　(1)因為tan C＝， 即＝， 所以sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin B， 即sin Ccos A－cos Csin A＝cos Csin B－sin CcosB. 得sin(C－A)＝sin (B－C). 所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立). 即2C＝A＋B，得C＝. (2)由C＝，設(shè)A＝＋α，B＝－α，0

13、Rsin A＝sin A，b＝2Rsin B＝sin B， 故a2＋b2＝sin2A＋sin2B ＝＋ ＝1－ ＝1＋cos 2α. 由－<α<，知－<2α<，－

14、(1)如圖，作AN⊥CD于N. 因為AB∥CD，AB＝9，CD＝15， 所以DN＝6，NC＝9. 設(shè)AN＝x，∠DAN＝θ， 因為∠CAD＝45°， 所以∠CAN＝45°－θ. 在Rt△ANC和Rt△AND中， tan θ＝，tan(45°－θ)＝， 因為tan(45°－θ)＝， 所以＝， 整理得x2－15x－54＝0， 解得x1＝18，x2＝－3(舍去). 所以BC的長度為是18 m. (2)設(shè)BP＝t，所以PC＝18－t，tan α＝，tan β＝， 則tan(α＋β)＝ ＝ ＝－ ＝－ ≥－， 當(dāng)且僅當(dāng)t＋27＝， 即t＝15－27時，tan(α＋

15、β)最小. 20.(xx·南京二模)某單位設(shè)計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD有一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB＝BC. (1)設(shè)AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍； (2)求四邊形ABCD面積的最大值. 解　(1)在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A. 同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C. 因為∠A和∠C互補(bǔ)，所以AB2＋AD2－2AB·AD·co

16、s A＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A， 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A. 解得cos A＝，即f(x)＝，其中x∈(2，5). (2)四邊形ABCD的面積 S＝(AB·AD＋CB·CD)sin A ＝[x(9－x)＋x(5－x)] ＝x(7－x) ＝ ＝ 記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5). 由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0， 解得x＝4. 函數(shù)g(x)在區(qū)間 (2，4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞減. 因此g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108. 所以S的最大值為＝6.