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1、2022年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)31 基本不等式1 新人教版必修5
1．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是( )
A．y＝x＋ B．y＝sinx＋
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
答案 C
解析 A、D不能保證是正數(shù)之和，sinx取不到2，只有C項(xiàng)滿足兩項(xiàng)均為正，當(dāng)且僅當(dāng)x＝ln2時(shí)等號(hào)成立．
2．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是( )
A．0 B．1
C．4 D．4
答案 D
解析?。健荩?，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)符號(hào)成立．
3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值
2、是( )
A. B．4
C. D．5
答案 C
解析 ∵a＋b＝2，∴y＝(＋)()
＝＋＝＋＋＋2
≥＋2＝＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立．
4．設(shè)a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a(chǎn)＋b有最小值2(＋1)
B．a(chǎn)＋b有最大值(＋1)2
C．a(chǎn)b有最大值＋1
D．a(chǎn)b有最小值2(＋1)
答案 A
5．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2則＋的最小值為( )
A．2 B．2
C．4 D．2
答案 C
6．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值為( )
A．3 B．6
3、
C．9 D．12
答案 A
7．下列不等式①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③|＋|≥2；④≤ab.其中恒成立的是( )
A．①④ B．③④
C．②③ D．①②
答案 C
解析 與同號(hào)，|＋|＝||＋||≥2.
8．已知x>0，y>0，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________．
答案 3
解析 ∵＋＝1，∴1＝＋≥2＝.
∴≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝即x＝，y＝2時(shí)等號(hào)成立．∴xy≤3.
9．若實(shí)數(shù)x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．
答案
解析 x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，
∴(x＋y)2＝xy＋1≤(
4、)2＋1.∴(x＋y)2≤1.
∴x＋y≤.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)等號(hào)成立．
10．當(dāng)00，∴x(2－x)≤()2＝1.∴a≥1.
11．建造一個(gè)容積為8 m3，深為2 m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為________元．
答案 1 760
解析 設(shè)水池的造價(jià)為y元，長(zhǎng)方體底的一邊長(zhǎng)為x m，由于底面積為4 m2，所以另一邊長(zhǎng)為m.那么
y＝120·4＋2·80·(2x＋2·)＝480＋32
5、0(x＋)≥480＋320·2＝1 760(元)．
當(dāng)x＝2，即底為邊長(zhǎng)為2 m的正方形時(shí)，水池的造價(jià)最低，為1 760元．
12．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求＋的最小值．
解析 ∵lgx＋lgy＝1，
∴xy＝10，∴＋≥2＝2.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2，y＝5時(shí)，等號(hào)成立．
故＋的最小值為2.
13．(1)已知x<－2，求函數(shù)y＝2x＋的最大值．
(2)求y＝的最小值．
解析 (1)∵x<－2，∴x＋2<0，－(x＋2)>0.
∴y＝2(x＋2)＋－4＝－[－2(x＋2)＋]－4≤－2－4＝－2－4.
當(dāng)且僅當(dāng)－2(x＋2)＝(x<－2)，即x＝－2－時(shí)，
6、y取最大值－2－4.
(2)令t＝，則y＝f(t)＝t＋，由f(t)＝t＋(t≥2)的單調(diào)性，知y＝t＋在[2，＋∞)上是增函數(shù)．
∴t＝2時(shí)，f(t)min＝2＋＝，
即當(dāng)＝2，也就是x＝0時(shí)，ymin＝.
14．求證：()2≤.
證明 ()2＝
≤＝
(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，“＝”成立)．
15．已知a，b都是正數(shù)，求證：ab＋4a＋b＋4≥8.
證明 ∵ab＋4a＋b＋4＝(a＋1)(b＋4)，
又∵a>0，b>0，∴a＋1≥2>0，b＋4≥4>0，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)取等號(hào)．
∴(a＋1)(b＋4)≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)取等號(hào)．
16．提高過江大
7、橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí))
解析 (1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為
v(x)＝
(2)依題意并由(1)可得
f(x)＝
當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1 200；
當(dāng)20
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