2022年高三數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性測試試題 理（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次適應(yīng)性測試試題 理（含解析）新人教A版 本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁，選擇題部分1至2頁，非選擇題部分3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘． 請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上． 選擇題部分（共50分） 注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上． 2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。不能答在試題卷上． 參考公式： 球的表面積公式

2、 棱柱的體積公式 球的體積公式 其中表示棱柱的底面積，表示棱柱的高 棱臺的體積公式 其中R表示球的半徑 棱錐的體積公式 其中S1、S2分別表示棱臺的上、下底面積， h表示棱臺的高

3、 其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高 如果事件互斥，那么 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1．集合，，若，則（ ▲ ）。 A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】集合交集，并集A1 【答案解析】A 解析：由 ，得=2，所以,.即，，因此 【思路點(diǎn)撥】由集合交集概念，可以求出 ，再根據(jù)并集概念即可求解。 【題文】2．若 (為復(fù)數(shù)集)，則是 的（ ▲ ）。 A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 【知識點(diǎn)】

4、充分條件，必要條件 A2 【答案解析】C 解析：當(dāng)時，不滿足，故充分性不成立； 由可得，所以必要性成立。 【思路點(diǎn)撥】判斷充要條件時，應(yīng)先明確條件和結(jié)論，由條件能推出結(jié)論，充分性滿足，由結(jié)論能推出條件，則必要性滿足. 左視圖 主視圖 俯視圖 （第3題圖） 【題文】3．一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長為1，則該幾何體外接球的表面積為（ ▲ ）。 A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】三視圖，球體表面積

5、G2，G8 【答案解析】B 解析：由三視圖可知，此幾何體是四棱錐，是由正方體下底面四個頂點(diǎn)和上底面一個頂點(diǎn)構(gòu)成。此幾何體的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線是球的直徑，所以半徑R=，球的表面積 。 【思路點(diǎn)撥】由三視圖確定幾何體，應(yīng)先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位置的放置與三視圖的關(guān)系），再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行解答.一般情況下，錐體或柱體都可以通過長方體和正方體取點(diǎn)得到。 【題文】4．給定下列兩個關(guān)于異面直線的命題：那么（ ▲ ）。 命題（1）：若平面上的直線與平面上的直線為異面直線，直線是與的交線，那么至多與中的一條相交； 命題（2）：不存在這

6、樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。 A．命題（1）正確，命題（2）不正確 B．命題（2）正確，命題（1）不正確 C．兩個命題都正確 D．兩個命題都不正確 【知識點(diǎn)】空間直線與平面 G3 【答案解析】D解析：命題（1）中，至少與中的一條相交；命題（2）中的異面直線是存在的，所以兩個命題都不對。 【思路點(diǎn)撥】熟悉異面直線的畫法，理解異面直線的定義是求解此題的關(guān)鍵。 【題文】5．將二項(xiàng)式的展開式按的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有（ ▲ ）個。 A．3 B．4

7、 C．5 D．6 【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的展開式J3 【答案解析】A解析：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為 ，由題意得，所以 或1（舍去）。展開式通項(xiàng) ，所以當(dāng)r=0,4,8時，x的指數(shù)是整數(shù)，故有3個。 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開式可求前三項(xiàng)的系數(shù)，再由等差可求n，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求出指數(shù)是整數(shù)的情況。 【題文】6．在中，已知，，若點(diǎn)在斜邊上，，則的值為（ ▲ ）。 A．48 B．24 C．12 D．6 【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)

8、算 F3 【答案解析】B解析：以AC為x軸，AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，則有A（0,0）B(0,6) C（x，0）D（ ） 【思路點(diǎn)撥】由題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解。 【題文】7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的期望為（ ▲ ）。 A． B． C． 　 　 D． 【知識點(diǎn)】隨機(jī)變量，獨(dú)立事件及其公式，期望K5,K6,K8 【答案解析】B解析：依題意知，ξ的所有可能

9、值為2，4，6， 設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為。若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有 【思路點(diǎn)撥】由題意，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，所以隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式求出每一個隨機(jī)變量取值時對應(yīng)的隨機(jī)事件的概率，再由離散型隨機(jī)的期望公式求出期望． 【題文】8．設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是（ ▲ ）。 A． B． C．

10、 D． 【知識點(diǎn)】橢圓方程，離心率 H5 【答案解析】C解析：設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則由得 ，即，所以 即 。 【思路點(diǎn)撥】設(shè)出內(nèi)切圓半徑，根據(jù)面積條件列出相應(yīng)等式，找到橢圓中量的關(guān)系即可求出離心率。 【題文】9．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對R，都有成立，若，則不等式的解是（ ▲ ）。 A. B． C． D． 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性B11 , B12 【答案解析】A解析：， 構(gòu)造函數(shù) 所以函數(shù) 在R上單調(diào)遞增， ，又，，即 ，因?yàn)楹瘮?shù) 在R上單調(diào)遞增，因此。 【思路點(diǎn)撥】利用得，出現(xiàn)減，構(gòu)造

11、分式函數(shù)求導(dǎo)，判斷 單調(diào)性，再結(jié)合，即可求解。 【題文】10．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對任意等差數(shù)列及任意正整數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ▲ ）。 A． B． C． D． 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和，二次函數(shù)D2,D5 【答案解析】D解析： 是等差數(shù)列， 代入，化簡得 ，此式對任意正整數(shù)都成立，所以 成立，即解得 。 【思路點(diǎn)撥】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式（首末項(xiàng)表示）代入原不等式，化簡可得一元二次不等式，由可解m的范圍。 【題文】非選擇題部分（共100分） 注意事項(xiàng)：1．用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將

12、答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上． 2．在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用 黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑． 二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分． 【題文】11．一個算法的程序框圖如下圖所示，若該程序輸出的結(jié)果為，則判斷框中應(yīng)填入的條件是　　▲　　。 （第11題圖） 【知識點(diǎn)】程序框圖 L1 【答案解析】 解析：第一次循環(huán)后 ，第二次循環(huán)，第三次循環(huán)，第四次循環(huán)，第五次循環(huán)，此時， 不滿足條件，輸出結(jié)果，所以應(yīng)填。 【思路點(diǎn)撥】由框圖的算法依次計(jì)算即可解出結(jié)果。 【題文】12．已知點(diǎn)P (x，y) 滿足條件（為常數(shù)），若的

13、最大值為8，則　　▲　　。 【知識點(diǎn)】線性規(guī)劃 E5 【答案解析】-6 解析：畫出x，y滿足的可行域如圖： 聯(lián)立方程得 代入。 【思路點(diǎn)撥】由目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，可以畫出滿足條件的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個含有參數(shù)K的方程組，消參后即可得到K的取值。 【題文】13．若復(fù)數(shù)，滿足，，，則　　▲　　。 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算 L4 【答案解析】解析： = 【思路點(diǎn)撥】直接求解計(jì)算量比較大，所以另尋思路，利用 代入求解比較簡單。 【題文】14．直線橢圓相交于，兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)，使得面積等于，這樣的

14、點(diǎn)共有　　▲　　個。 【知識點(diǎn)】橢圓，直線與橢圓的位置關(guān)系 H5,H8 【答案解析】2 解析：設(shè) 即點(diǎn)在第一象限的橢圓上，考慮四邊形的面積S， 為定值， 的最大面積為 。 點(diǎn)P不可能在直線AB的上方，顯然在直線AB的下方有兩個點(diǎn)P。 【思路點(diǎn)撥】設(shè)出的坐標(biāo)，表示出四邊形的面積S，利用兩角和公式整理后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值，進(jìn)而求得 的最大值，利用 判斷出點(diǎn)P不可能在直線AB的上方，進(jìn)而推斷出在直線AB的下方有兩個點(diǎn)P。 【題文】15．設(shè)的最小值為，則　　▲　　。 【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角函數(shù)求值與化簡 C2，C7 【答案解析】 解析

15、：。令 ，（1）當(dāng) 即 時， ，得 不成立。（2）當(dāng) 即 時， ，不成立。（3）當(dāng) 即 時， ，得 ，又，所以成立。 【思路點(diǎn)撥】首先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡得到一個關(guān)于 的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值的方法求解。 【題文】16．在中，，，則=　　▲　　。 【知識點(diǎn)】正弦定理,兩角和與差的正弦公式 C8, C5 【答案解析】 解析：由得，，所以 ， ， ，， 得，= 。 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)正弦定理由得，，求得，由可求，再由即可求解。 【題文】17．設(shè)為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)處，它每次可隨意地

16、跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一。若在5次之內(nèi)跳到點(diǎn)，則停止跳動；若5次之內(nèi)不能到達(dá)點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共　　▲　　種。 【知識點(diǎn)】基本計(jì)數(shù)原理 J1 【答案解析】26 解析：青蛙不能經(jīng)過跳1次、2次或4次到達(dá)D點(diǎn)．故青蛙的跳法只有下列兩種：（1）青蛙跳3次到達(dá)D點(diǎn)，有ABCD，AFED兩種跳法； （2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到達(dá)D，只能到達(dá)B或F，則共有AFEF，AFAF，ABAF，ABCB，ABAB，AFAB這6種跳法．隨后的兩次跳法各有四種，比如由F出發(fā)的有：FEF，F(xiàn)ED，F(xiàn)AF，F(xiàn)AB共四種．因此這5次跳法共有6×4

17、=24種不同跳法．所以，一共有2+24=26種不同跳法．故答案為：26． 【思路點(diǎn)撥】由已知，我們分析得到青蛙不能經(jīng)過跳1次、2次或4次到達(dá)D點(diǎn)。可以分青蛙跳3次到達(dá)D點(diǎn)和跳5次后停止兩種情況分析計(jì)算。 【題文】三、解答題：本大題共5小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 【題文】18．（本小題滿分14分） 已知的面積為，角的對邊分別為，。 （1）求的值； （2）若成等差數(shù)列，求的值。 【知識點(diǎn)】三角變換、正弦定理、余弦定理 C8，C9 【答案解析】（1），（2） （1）由，得，即． （2分） 代入，化簡整理得，．

18、 （2分） 由，知，所以． （2分） （2）由及正弦定理，得， 即， （1分） 所以．① 由及，得， （2分） 代入①，整理得． （2分） 代入，整理得， 解得或． （2分） 因?yàn)?，所以? （1分） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)

19、正弦定理，由，得，求得cosA。由及正弦定理，得，即，加以計(jì)算可求。 【題文】19．（本小題滿分14分） 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)，（均為正整數(shù)）時，求和的所有可能的乘積之 和。 【知識點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)、求和公式、數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系 D3 【答案解析】（1），（2） （1）∵， （2分） 兩式相減得， （2分） 由得，又 （1分） ∴ 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴ （2分） （2）由和的所有可能乘積（

20、，） （1分） 可構(gòu)成下表 （2分） 設(shè)上表第一行的和為，則 （2分） 于是…＋＝ （2分） 【思路點(diǎn)撥】（1）由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，通常采用聯(lián)立的方法求解，（2）求出通項(xiàng)，找出規(guī)律，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和即可解出。 【題文】20．（本小題滿分15分） （第20題圖） 如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。 （1）證明：； （2）若平面與平面所成的角為，試確定點(diǎn)的位置。 【知識點(diǎn)】

21、空間平行、垂直關(guān)系，以及線面所成的角G4,G5,G10 【答案解析】（1）略。（2）點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝． （1） 證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz． 則P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，）， （2分） 從而＝（－λ，，－1），＝（0,1，）， （2分） ＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM; （3分） （2）平面ABC的一個法向量為n＝＝（0,0,1）．（1分） 設(shè)平面PMN的一個法向

22、量為m＝（x，y，z）， 由（1）得＝（λ，－1，）． （2分） 由 （1分） 解得． （1分） ∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°， ∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝， （1分） 解得λ＝－． 故點(diǎn)P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝． （2分） 【思路點(diǎn)撥】立體幾何問題一般采用空間向量解比較簡單，首先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，要求PN⊥AM，只需求=0即可；對于面面角，就求出兩個面的法向量，根據(jù)這兩個法向量的夾角可以確定參數(shù)的值，從而求

23、出P點(diǎn)的位置。 【題文】21．（本小題滿分15分） y x O P A B （第21題圖） 作斜率為的直線與橢圓：交于兩點(diǎn)（如圖所示），且 在直線的左上方。 （1）證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上； （2）若，求的面積。 【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系H5,H8 【答案解析】（1）略。（2） 解：（1）設(shè)直線：，． 將代入中，化簡整理得 ． （1分） 于是有， ． （1分） 則 ，

24、 （1分） 上式中， 分子 ， （2分） 從而，． 又在直線的左上方，因此，的角平分線是平行于軸的直線，所以 △的內(nèi)切圓的圓心在直線上． （2分） （2）若時，結(jié)合（1）的結(jié)論可知． （2分） 直線的方程為：，代入中，消去得 ． （1分） 它的兩根分別是和，所以，即 ． （1分） 所以． 同理可求得．

25、 （2分） 所以 ． （2分） 【思路點(diǎn)撥】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，此類問題通常把要解決的問題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再通過聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解.。 【題文】22．（本小題滿分14分） 已知二次函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都滿足，且 ．令。 （1）若函數(shù)在上的最小值為0，求的值； （2）記函數(shù)，若函數(shù)有5個 不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【知識點(diǎn)】函數(shù)的極值概念，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 B11,B12 【答案解析】（1），（2） 解：設(shè)

26、，于是 所以 又，則．所以． （2分） （1） 則． （2分） 令，得（舍），． ①當(dāng)>1時， 1 - 0 + ↘ ↗ ∴當(dāng)時, ．令，得． ②當(dāng)時，≥0在上恒成立， 在上為增函數(shù)，當(dāng)時, ． 令，得（舍）． 綜上所述，所求為． （2分） （2）記，， 則據(jù)題意有有3個不同的實(shí)根， 有2個不同的實(shí)根， 且這5個實(shí)根兩兩不相等． （ⅰ）有2個不同的實(shí)根，只需滿足； （ⅱ）

27、有3個不同的實(shí)根，因 ， 令，得或， 當(dāng)即時，在處取得極大值，而，不符合題意，舍； 當(dāng)即時，不符合題意，舍； 當(dāng)即時，在處取得極大值， ；所以； 因?yàn)椋á。áⅲ┮瑫r滿足，故． （4分） 下證：這5個實(shí)根兩兩不相等， 即證：不存在使得和同時成立； 若存在使得， 由，即， 得， 當(dāng)時，，不符合，舍去； 當(dāng)時，既有 ①； 又由，即 ②； 聯(lián)立①②式，可得； 而當(dāng)時，沒有5個不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個實(shí)根兩兩不相等． 綜上，當(dāng)時，函數(shù)有5個不同的零點(diǎn)． （4分） 【思路點(diǎn)撥】二次函數(shù)滿足 可求，通過對求導(dǎo)可求m；函數(shù)有5個不同的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有3個不同的實(shí)根， 有2個不同的實(shí)根，證明過程中用反證法比較容易找到問題的突破口。