2022年高考數(shù)學(xué) 概率統(tǒng)計(jì)易錯題評析教案

上傳人:xt****7 文檔編號:105308011 上傳時(shí)間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):4 大?。?8.52KB
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1、2022年高考數(shù)學(xué) 概率統(tǒng)計(jì)易錯題評析教案 概率是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容,是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要知識。這部分內(nèi)容由于問題情境源于實(shí)際,貼近生活,所以學(xué)生樂學(xué)且易于接受;但這部分內(nèi)容由于易混點(diǎn)多,重復(fù)、遺漏情況不易察覺等,學(xué)生感覺易做但易錯。下面我們將學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤列舉出來,并加以辨別分析,以期對今后的學(xué)習(xí)提供幫助。 一、概念理解不清致錯 例1.拋擲一枚均勻的骰子,若事件A:“朝上一面為奇數(shù)”,事件B:“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過3”,求P(A+B) 錯誤解法:事件A:朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1,3,5;事件B:趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,∴P(A+B)=P(A)+P(B)= 錯因分析:事件

2、A:朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1,3,5;事件B:趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,很明顯,事件A與事件B不是互斥事件。 即P(A+B)≠P(A)+P(B),所以上解是錯誤的。實(shí)際上: 正確解法為:A+B包含:朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,5四種情況 ∴P(A+B)= 錯誤解法2:事件A:朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,3,5;事件B:朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B) = 錯因分析:A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3,所以P(A·B)=;這種錯誤解法在于簡單地類比應(yīng)用容斥原理致錯 正確解答:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

3、 = 例2.某人拋擲一枚均勻骰子,構(gòu)造數(shù)列,使,記 求且的概率。 錯解:記事件A:,即前8項(xiàng)中,5項(xiàng)取值1,另3項(xiàng)取值-1 ∴的概率 記事件B:,將分為兩種情形: (1)若第1、2項(xiàng)取值為1,則3,4項(xiàng)的取值任意 (2)若第1項(xiàng)為1,第2項(xiàng)為-1,則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)任意 ∴P(B)= ∴所求事件的概率為P=P(A)·P(B)= 錯因分析:且是同一事件的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件,而不是兩個(gè)相互獨(dú)立事件。對的概率是有影響的,所以解答應(yīng)為: 正解:∵ ∴前4項(xiàng)的取值分為兩種情形 ①若1、3項(xiàng)為1;則余下6項(xiàng)中3項(xiàng)為1,另3項(xiàng)為-1即可。即; ②若1、2項(xiàng)為正,為避免與第①類重復(fù)

4、,則第3項(xiàng)必為-1, 則后5項(xiàng)中只須3項(xiàng)為1,余下2項(xiàng)為-1,即, ∴所求事件的概率為 二、有序與無序不分致錯 例3.甲、乙兩人參加普法知識競賽,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙依次各抽一題。 求:(1)甲抽到選擇題,乙提到判斷題的概率是多少? (2)甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少? 錯誤解法:(1)甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為 乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為 而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為 ∴所求概率為: 錯因分析:甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果,應(yīng)當(dāng)是先選后排,所以應(yīng)為。為避免錯誤,對于基本事件總數(shù)也可這樣做:甲抽取一道題目的結(jié)果

5、應(yīng)為種,乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為種,所以 正確解答: (2)錯誤解法:從對立事件考慮,甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為種,所以都抽到判斷題的概率為,所求事件的概率為 錯因分析:指定事件中指明甲、乙依次各抽一題,那么甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為種,所以所求事件概率應(yīng)為 說明:對于第(2)問,我們也可以用這樣解答: ,這里啟示我們,當(dāng)基本事件是有序的,則指定事件是有序的(指定事件包含在基本事件中);當(dāng)基本事件是無序的,則指定事件也必?zé)o序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識角度必須準(zhǔn)確。 例4.已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì),以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組,每組4支,求:A、B兩組中有一組恰

6、有兩支弱隊(duì)的概率。 錯解1:將8支球隊(duì)均分為A、B兩組,共有種方法:A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為:先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì),又從5支強(qiáng)隊(duì)取2支強(qiáng)隊(duì),組成這一組共有種方法,其它球隊(duì)分在另一組,只有一種分法。 ∴所求事件的概率為:。 錯因分析:從基本事件的結(jié)果數(shù)來看,分組是講求順序的,那么指定事件:“A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”,所以正確解答為: 正解:或 說明:這道題也可從對立事件求解: 3支弱隊(duì)分法同一組共有:種結(jié)果。 ∴所求事件概率為 三、分步與分類不清致錯 例5.某人有5把不同的鑰匙,逐把地試開某房門鎖,試問他恰在第3次打開

7、房門的概率? 錯誤解法:由于此人第一次開房門的概率為,若第一次未開,第2次能打開房門的概率應(yīng)為;所以此人第3次打開房門的概率為。 錯因分析:此人第3次打開房門實(shí)際是第1次未打開,第2次未打開,第3次打開“這三個(gè)事件的積事件” ,或者理解為“開房門是經(jīng)過未開、未開、開”這三個(gè)步驟,不能理解為此事件只有“開房門”這一個(gè)步驟,所以,正確解答應(yīng)為: 正解:第1次未打開房門的概率為;第2次未開房門的概率為;第3次打開房門的概率為,所求概率為:。 例5.某種射擊比賽的規(guī)則是:開始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊,若命中記3分,同時(shí)停止射擊。若第一次未命中,進(jìn)行第二次射擊,但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處,這時(shí)命中記

8、2分,同時(shí)停止射擊;若第2次仍未命中,還可以進(jìn)行第3次射擊,此時(shí)目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分,同時(shí)停止射擊,若前3次都未命中,則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為,他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比,且各次射擊都是獨(dú)立的。求:射手甲得k分的概率為Pk,求P3,P2,P1,P0的值。 :設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系 為,由已知 錯誤解法: 錯因分析:求P2時(shí),將第150m處射擊命中目標(biāo)的概率作為第2次命中目標(biāo)的概率,隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系,實(shí)際上,第2次射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的。 ∴P2

9、應(yīng)為“第1次未擊中,第2次擊中”這兩個(gè)事件的積事件的概率。求P1時(shí)也如此。 正解: 四、考慮不周致錯 例6.某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下: 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊,以該運(yùn)動員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績記為,求:的分布列。 錯誤解法:的取值為8,9,10。=7,兩次環(huán)數(shù)為7,7;=8,兩次成績?yōu)?,8或8,8;=9,兩次成績7,9或8,9或9,9;=10,兩次隊(duì)數(shù)為7,10或8,10或9,10或10,10。 ∴ (分布列略) 錯因分析: ,即兩次成績應(yīng)為7,8或8,7或8,

10、8實(shí)際為三種情形, 兩次環(huán)數(shù)分別為7,9(或9,7);8,9(或9,8),9.9 ∴ 同理 例7.將n個(gè)球等可能地放入到N(n×n)個(gè)有編號的盒子中(盒子中容納球的個(gè)數(shù)不限)。求A:某指定的n個(gè)盒子中恰有一球的概率。 錯誤解法:將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)盒子中,共有Nn種方法。 而指定的n個(gè)盆中各有一球的放法有:n!種,則所求概率: 錯因分析:這種解法不全面,如果球是有編號的,則答案是對的。若球是不可辨認(rèn)的,則答案錯了,若球是不可辨認(rèn)的,則若考慮盒子中球的個(gè)數(shù)而不考慮放的是哪幾個(gè)球,為此,我們用“□”表示一個(gè)盒子;用“○”表示一個(gè)球,先將盒子按編號 1 2 3 4 5

11、 n 把n個(gè)球放入N中盒子中,形如:1010011……10001,正好看作N+1個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有種;而指定的n個(gè)盒子中恰有一球的放法只有1種,故 五、混淆“互斥”與“獨(dú)立”出錯 例8.甲投籃命中概率為0.8,乙投籃命中概率為0.7,每人投3次,兩人恰好都命中2次的概率是多少? 錯解:設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A,“乙恰好投中2次”為事件B,則兩人恰好投中2次為A+B。 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=。 錯因分析:本題解答錯誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2次理

12、解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和。 正解:設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A,“乙恰好投中2次”為事件B,則兩人恰好都投中2次為AB。 所以P(AB)=P(A)×P(B)= 六.混淆有放回與不放回致錯 例9.某產(chǎn)品有3只次品,7只正品,每次取1只測試,取后不放回,求: (1)恰好到第5次3只次品全部被測出的概率; (2)恰好到第k次3只次品全部被測出的概率的最大值和最小值。 錯解:(1)P(A)= (2)。 錯因分析:錯解(1)的錯誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球是不獨(dú)立的;而錯解(2)的錯誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的(比前一次少一個(gè))。 正解:(1) (2) 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),。

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