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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第三講數(shù)形結(jié)合總復(fù)習(xí) 人教版
?? 一、專(zhuān)題概述 ---什么是數(shù)形結(jié)合的思想
數(shù)形結(jié)合的思想,就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想.
????恩格斯說(shuō):“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系.”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念,它們既是對(duì)立的,又是統(tǒng)一的,每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系;反之,數(shù)量關(guān)系又常??梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀地反映和描述,數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái),使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái),在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí),想到它的圖形,從而啟發(fā)思維,找到解題之路;或者在研究圖形時(shí)
2、,利用代數(shù)的性質(zhì),解決幾何的問(wèn)題.實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,化難為易,化抽象為直觀.
????數(shù)形結(jié)合包括:函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合;幾何語(yǔ)言敘述與幾何圖形的結(jié)合等.
二、例題分析
1.善于觀察圖形,以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.
????觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開(kāi)始,直觀是圖形的基本特征,觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,是認(rèn)識(shí)、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程.
????例1.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是:
????(A) (B) (C) (D)
????分析:通過(guò)畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后分別畫(huà)出上述四條直線,逐一
3、觀察,可以找出正確的答案,如果對(duì)函數(shù)的圖象做深入的觀察,就可知,凡直線x=a通過(guò)這一曲線的一個(gè)最高點(diǎn)或一個(gè)最低點(diǎn),必為曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸,因此,解這個(gè)問(wèn)題可以分別將代入函數(shù)的解析式,算得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是:,其中只有–1是這一函數(shù)的最小值,由此可知,應(yīng)選(A)
????2.正確繪制圖形,以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.
????觀察圖形,既要定性也要定量,借助圖形來(lái)完成某些題時(shí),僅畫(huà)圖示“意”是不夠的,還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系.
????例2.問(wèn):圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾個(gè)?
????分析? 由平面幾何知:到定直線L:的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩條直線.因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為判定
4、這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
????將圓方程變形為:,知其圓心是C(-1,-2),半徑,而圓心到定直線L的距離為,由此判定平行于直線L且距離為的兩條直線中,一條通過(guò)圓心C,另一條與圓C相切,所以這兩條直線與圓C共有3個(gè)公共點(diǎn) (如圖1)
啟示:正確繪制圖形,一定要注意把圖形與計(jì)算結(jié)合起來(lái),以求既定性,又定量,才能充分發(fā)揮圖形的判定作用.
????3.切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以圖識(shí)性以性識(shí)圖.
????數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系,熟知這些對(duì)應(yīng)關(guān)系,溝通兩者的聯(lián)系,才能把握住每一個(gè)研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián),以求相輔相成,相互
5、轉(zhuǎn)化.
????例3.判定下列圖中,哪個(gè)是表示函數(shù)圖象.
分析? 由=,可知函數(shù)是偶函數(shù),其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),因而否定(B)、(C),又,的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的,(在第Ⅰ象限,函數(shù)y單調(diào)增,但變化趨勢(shì)比較平緩),因而(A)應(yīng)是函數(shù)圖象.
????例4.如圖,液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中,開(kāi)始時(shí),漏斗盛滿(mǎn)液體,經(jīng)過(guò)3分鐘注完.已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量,H是圓錐形漏斗中液面下落的距離,則H與下落時(shí)間t(分)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是().
分析? 由于圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量,所以H與t的關(guān)系不是(B),下落時(shí)間t越大,液面下落的距離H應(yīng)越大,這種變化趨勢(shì)
6、應(yīng)是越來(lái)越快,圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的,所以只可能是(D).
????例5.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足,且,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是多少?
????分析? 滿(mǎn)足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形是:以C(1,1)為圓心,為半徑的圓面,該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分(要注意到∠AOC=45°)
????因此所求圖形的面積為:
????4.靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化,提高思維的靈活性和創(chuàng)造性.
????在中學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何,此外,函數(shù)與圖象之間,復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法.通過(guò)聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件,而強(qiáng)
7、化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段.
例6.已知C<0,試比較的大?。?
????分析? 這是比較數(shù)值大小問(wèn)題,用比較法會(huì)在計(jì)算中遇到一定困難,在同一坐標(biāo)系中,畫(huà)出三個(gè)函數(shù):的圖象位于y軸左側(cè)的部分,(如圖)很快就可以從三個(gè)圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論:
例7? 解不等式
????解法一? (用代數(shù)方法求解),此不等式等價(jià)于:
????解得
????故原不等式的解集是
????解法二? (采用圖象法)? 設(shè)即
????對(duì)應(yīng)的曲線是以為頂點(diǎn),開(kāi)口向右的拋物線的上半支.而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線.(如圖)
???解方程可求出拋物線上半支與
8、直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,取拋物線位于直線上方的部分,故得原不等式的解集是.
????借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線,引入解不等式(或方程)的圖象法,可以有效地審清題意,簡(jiǎn)化求解過(guò)程,并檢驗(yàn)所得的結(jié)果.
????例8? 討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).
????分析:作出函數(shù)的圖象,保留其位于x軸上方的部分,將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,便可得到函數(shù)的圖象.(如圖)再討論它與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
????∴當(dāng)a<0時(shí),解的個(gè)數(shù)是0;
????當(dāng)a=0時(shí)或a>4時(shí),解的個(gè)數(shù)是2;
????當(dāng)0<a<4時(shí),解的個(gè)數(shù)是4;
????當(dāng)a=4時(shí),解的個(gè)數(shù)是3.
9
9、.已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則k的不同取值有()
????(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)? (D)4個(gè)
????分析:作出雙曲線的圖象,并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)()的直線系,雙曲線的漸近線方程為
????∴過(guò)()點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)k取兩個(gè)不同值,此外,過(guò)()點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)k取兩個(gè)不同的值,故正確答案為(D)
?例9.已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則k的不同取值有()
????(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)? (D)4個(gè)
????分析:作出雙曲線的圖象,并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)()的直線
10、系,雙曲線的漸近線方程為
????∴過(guò)()點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)k取兩個(gè)不同值,此外,過(guò)()點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)k取兩個(gè)不同的值,故正確答案為(D)
例10.設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線上移動(dòng),求的最大值和最小值.
????解? 曲線是中心在(3,3),長(zhǎng)軸為,短軸為的橢圓.設(shè),即y=kx為過(guò)原點(diǎn)的直線系,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:求過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相切時(shí)的斜率.(如圖所示)
???? 消去y得
????
????解得:
????故的最大值為,最小值為
????例11.求函數(shù)(其中a,b,c是正常數(shù))的最小值.
11、??? 分析? 采用代數(shù)方法求解是十分困難的,剖析函數(shù)解析式的特征,兩個(gè)根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離,故設(shè)法借助于幾何圖形求解.如圖
?設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn),P(x,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),
????則 其中的等號(hào)在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外,即時(shí)成立.
????故y的最小值為
????例12.P是橢圓上任意一點(diǎn),以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R(O,P,Q,R依逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┦箌OR|=2|OP|,求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡的普通方程.
????分析? 在矩形O P Q R中(如圖),由∠POR=90°,|OR|=2|OP|可知,OR是OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,并將長(zhǎng)
12、度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得到的.這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義,因此,可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算,找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,以求得問(wèn)題的解決.
????解,設(shè)R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為:,P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
????則
????故即由點(diǎn)在橢圓上可知有:
????整理得:就是R點(diǎn)的軌跡方程,表示半長(zhǎng)軸為2a,半短軸為2b,中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.
三解題訓(xùn)練
1.求下列方程實(shí)根的個(gè)數(shù):
????(1)
????(2)
????(3)
?? ?2.無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值,方程的實(shí)根個(gè)數(shù)都是()
????(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)不確定
??? 3.已知函
13、數(shù)的圖象如右圖則()
????(A)b∈(-∞,0)(B)b∈(0,1)
?????? (C)b∈(1,2)?? (D)b∈(2,+ ∞)
?????? 4.不等式的解集是()
???? (A)(0,+∞)(B)(0,1)(C)(1,+∞)(D)(–∞,0)
??? 5.不等式一定有解,則a的取值范圍是()
????(A)(1,+∞)(B)[1,+ ∞](C)(-∞,1)(D)(0,1]
?????? 6.解下列不等式:
????(1) ?? (2)
????7.復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2,2+i,向量繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至向量,則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是___
14、____.
????8.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|<2,則arg(z-4)的最大值為_(kāi)__________
?????? 9.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足
????10.函數(shù)的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,則這兩定點(diǎn)的坐標(biāo)是(? )
??? ?(A)(–,–)(,)(B)(–,)(,–)
?? (C)(–2,2)(2,2)(D)(2,–2)(–2,2)
????11.曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是().
????(A)0(B)1 (C)2(D)3
?????? 12.曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值是()
????(A) (B) (C) (D)
????13
15、.已知集合,滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
????14.函數(shù)的值域是()
????(A) ?????? (B)
????(C)?? (D)
四、練習(xí)答案
1.(1)2個(gè)(2)63個(gè)(3)2個(gè)
????提示:分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,看交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
????2.B、 提示:注意到方程右式,是過(guò)定點(diǎn)(,0)的直線系.
????3.A、 提示:由圖象知f(x)=0的三個(gè)實(shí)根是0,1,2這樣,函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2),又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時(shí),f(x)>0.而當(dāng)x>2時(shí),x,(x-1),(x-2)均大于0,所以a>0,而可知b=-3a<0,故選(A)
????4.A
?????? 5.A
????? ?6.(可以利用圖象法求解)
????(1)x≤-1或0