2022年高一數(shù)學上 第二章 函數(shù):函數(shù)2.1.1優(yōu)秀教案

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1、2022年高一數(shù)學上 第二章 函數(shù):函數(shù)2.1.1優(yōu)秀教案 2.1 映 射 [教學目的] 使學生了解映射的概念及表示方法;了解象、原象的概念;了解一一映射的概念. [重點難點] 重點難點:映射的概念. [教學設(shè)想] 1.教法:直觀演示、引導發(fā)現(xiàn)法; 2.學法:啟發(fā)學生觀察、思考、分析和討論; 3.課時:2課時. [教學過程] §2.1.1 映射的概念和性質(zhì) [教學目的] 使學生了解映射的概念、表示方法及性質(zhì),了解象、原象的概念.會判斷一些簡單的對應(yīng)是否是映射,會求象或原象. [重點難點] 重點難點:映射的概念. [教學過程] 一、復(fù)習引入 在

2、上一章里,我們較系統(tǒng)地學習了集合的初步知識,學習了元素與集合的關(guān)系—屬于或不屬于,集合與集合的包含關(guān)系,以及集合的交、并、補運算等. 在初中我們已學過一些對應(yīng)的例子,例如,對于任何一個實數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的一點P和它對應(yīng);對于坐標平面內(nèi)任何一個點M,都有唯一的一個有序?qū)崝?shù)對(x,y)和它對應(yīng);對于任意一個三角形,都有唯一的一個確定的面積和它對應(yīng).本節(jié)我們將學習一種特殊的對應(yīng)—映射. 二、學習、講解新課 ⒈映射的概念 我們看下面的對應(yīng): 下列圖2-2中哪些是A中元素對應(yīng)B中唯一元素的特殊對應(yīng): 1 2 3 4 5 6 1 -1 2 -2 3 -3 1/2

3、 1 3 -3 2 -2 1 -1 A B A B A B A B 1 2 3 1 4 9 300 450 600 900 9 4 1 開平方 求正弦 求平方 乘以2 (1) (2) (3) (4) 圖2-2 A.⑴; B

4、.⑴⑵; C.⑵⑷; D.⑵⑶⑷ 答案:D. 從上述幾個例子的對應(yīng)(圖2-2(1)除外)中,你能歸納出它們的共同特點嗎? 上述對應(yīng)(圖2-2(1)除外)的共同特點是:對于集合A中任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng).這種A中元素對應(yīng)B中唯一元素的特殊對應(yīng),我們把它叫做集合A到集合B的映射. 一般地,設(shè)A,B是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作f:A→B.其中與A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象. 這樣,上

5、述(除圖2-2(1)外)的對應(yīng),都是集合A到集合B的映射;而圖2-2(1)的對應(yīng)則不是集合A到集合B的映射(為是么?). 在圖2-2(2)的映射中,1/2,/2,/2,1分別是300,450,600,900的象,300,450,600,900分別是1/2,/2,/2,1的原象. 你能舉出日常生活中的一些有關(guān)映射的例子嗎? 如照相,如果把A看作是我們班的全體同學和老師組成的集合,B看作是我們班全體同學和老師所照的相上的人像組成的集合,那么我們班的全體同學和老師都是原象,所照的相片上的人像都是象.另外,當大家都沒有被遮住時,每個同學和老師都有自己對應(yīng)的象,這是一對一的映射;當有些同學被前面的

6、同學遮住時,那么這些同學和他前面的同學就只能對應(yīng)他前面同學的象,這是多對一的映射. 下面我們再來分析一下定義中的一些關(guān)鍵字詞,以便更好地理解映射的概念. ①“A到B”:映射是有方向的,A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射,比如圖2-2⑶中A到B是求平方,B到A則是開平方,因此映射是有序的; ②“都有”:就是說對集合A中任何一個元素,集合B中都有元素和它對應(yīng),這是映射的存在性; ③“唯一”:對于集合A中的任何一個元素,集合B中都是唯一的元素和它對應(yīng),這是映射的唯一性; ④“在集合B中”:也就是說A中元素的象必在集合B中,這是映射的封閉性. ⒉映射的性質(zhì) ⑴任意性:映射中的兩

7、個集合A,B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成 的集合等; ⑵有序性:映射是有方向的,A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射; ⑶存在性:映射中集合A的每一個元素在集合B中都有它的象; ⑷唯一性:映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的; ⑸封閉性:映射中集合A的任一元素的象都必須是B中的元素,即A中元素的象集是B的子集. ⒊怎樣理解映射 從A到B的映射f:A→B,可以形象地比喻為“無脫靶的射箭”,即: ⑴可以“一對一”,也可以“多對一”,但不能“一對多”; ⑵ A中任一元素在B中均有唯一的一個元素和它對應(yīng),但允許B中有某些元素不是A 中任一元素的象. 例如,上面的無脫

8、靶投飛標,可能“一箭一標”,“多箭一標”,但不可能“一箭多標”.同時箭袋中的箭可以射完且箭箭中標,但標不一定被射完. 又如,圖2-2中,⑵⑷是一對一的映射,⑶是多對一的映射;若把A看作是自變量組成的集合,B看作是因變量組成的集合,那么我們初中學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)都是一對一的映射,而二次函數(shù)是多對一的映射. ⒋例題評價 例1 已知下列集合A到B的對應(yīng),請判斷哪些是A到B的映射?并說明理由: ⑴ A=N,B=Z,對應(yīng)法則:“取相反數(shù)”; ⑵A={-1,0,2},B={-1,0,1/2},對應(yīng)法則:“取倒數(shù)”; ⑶A={1,2,3,4,5},B=R,對應(yīng)法則:“求平方根”; ⑷A

9、={|00900},B={x|0x1},對應(yīng)法則:“取正弦”. 答案:⑴是;⑵不是,因為A中元素0沒有倒數(shù);⑶不是,因不滿足唯一性,若對應(yīng)法則改為“求平方”,則是;⑷是. 例2 集合A=N,B={m|m=,n∈N},f:x→y=,x∈A,y∈B.請計算在f作用下,象9/11,11/13的原象分別是多少. 分析:求象9/11的原象只需解方程(2x-1)/(2x+1)=9/11求出x即可.同理可求11/13的原象. 答案:象9/11,11/13的原象分別是5,6. ⒌目標檢測 ⑴課本P49練習:1,2,4.(直接做在課本上) ⑵判斷題:在從集合A到集合B的映射中,下列說法正確的是(

10、) ① A中的每一個元素在B中都有象; ② A中的兩個不同元素在B中的象必不同; ③ B中的元素在A中可以沒有原象; ④ B中的某一元素在A中是原象可能不止一個; ⑤ A中元素象的集合即為B. A.①②③; B.①③④; C.①④⑤; D.①②④ 答案:⑴課本練習:1.(略);2.⑴有2個,即2;⑵有1個,即1/2;⑶有一個,即1;⑷有一個,即6; 4. 600的象是;的原象是450. ⑵判斷題:B. 三、小 結(jié) ⒈ 對應(yīng) ⒉ 映射的三要素:兩個集合A,B以及A到B的對應(yīng)法則f. ⒊ 映射是特殊的對應(yīng),A中任一元素對應(yīng)B中唯一元素,簡言之:“每元有象,象唯一”. 四、布置作業(yè) (一)復(fù)習:課本P46-48的內(nèi)容. (二)書面:課本P49-50習題2.1:1,2,4(直接做在課本上);

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