2022年高中數(shù)學 平面向量數(shù)量積新人教A版必修4

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1、2022年高中數(shù)學 平面向量數(shù)量積 新人教A版必修4 ◆ 考情分析 1. 向量的數(shù)量積仍然是高考考查的熱點，經常以選擇題，填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，但靈活多變。以重點考查平行、垂直關系的判定或夾角、長度問題為主。 2. 向量的數(shù)量積還經常與三角函數(shù)、解三角形、解析幾何等知識相結合，一解答題形式出現(xiàn)，命題的空間較大，且形式靈活，全面考查能力，突出向量的工具性，在知識的交匯處命題是高考的熱點之一。 ◆ 復習要求 1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。 2. 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系。 3. 掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算。 4. 能運用數(shù)

2、量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。 ◆ 復習重點 1. 數(shù)量積的坐標表示與數(shù)量積的運算 2. 夾角與模的相關問題 3. 與三角函數(shù)、解析幾何等知識的綜合應用 ◆ 復習難點 1. 數(shù)量積的幾何意義的理解 2. 夾角與模的相關問題 3. 與三角函數(shù)、解析幾何等知識的綜合應用 ◆ 教學過程 平面向量的數(shù)量積 兩向量的夾角 向量的數(shù)量積 兩向量的夾角 兩向量的夾角 性質 ^ ? × = 0 × = ||2， |×| ≤ |||| cosq = 性質 運算律 A．考點梳理

3、 ☆ 考點解讀 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角 2．平面向量數(shù)量積（內積）的定義： 已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cosq 叫與的數(shù)量積，記作×，即有× = ||||cosq，（０≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0 B 3. 幾何意義：“投影”的概念：作圖 B B A O B1 (B1) O A B1 O A 定義：||cosq 叫做向量在方向上的投影 思考：投影是否是長度？投影

4、是否是向量？投影是否是實數(shù)？ 投影是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 ||；當q = 180°時投影為 -|| 幾何意義：數(shù)量積×等于的長度與在方向上投影||cosq的乘積 4．代數(shù)性質（兩個向量的數(shù)量積的性質）： （1）兩個非零向量與，^ ? × = 0（此性質可以解決幾何中的垂直問題）； （2）兩個非零向量與，當與同向時，× = ||||； 當與反向時，× = -|||| （此性質可以解決直線的平行、點共線、向量的共線問題）； （3）cosq =（此性質可以解決向量的夾角問題）； （4）×

5、= ||2，，（此性質可以解決長度問題即向量的模的問題）； （5）|×| ≤ ||||（此性質要注意和絕對值的性質區(qū)別，可以解決不等式的有關問題）； 5．任何一種運算都滿足一定的運算律，以方便運算，數(shù)量積的運算律： 實數(shù)的運算律 向量數(shù)量積運算律 （交換律） ab=ba √ （結合律）(ab)c=a(bc) × （分配律）a(b+c)=ab+ac √ √ 5．兩個向量的數(shù)量積的坐標運算 B．考點典例 1.平面向量的數(shù)量積及運算 例1. （1）在直角三角形ABC中，,AB =5,AC =4.求 (2) 若 =（3，-4

6、）， = （2，1）。試求（-2）·（2+3） 解：（1）在△ABC中，，AB =5,AC =4 故而BC =3 所以 cos∠ABC = ,即＜＞ = -- ABC ∴= - cos∠ABC = -5×3×= - 9 （2）-2=（-1，-6）， 2+3=（12，-5） ∴（-2）·（2+3）=-1×12+（-6）×（-5）= 18 【評析】本例強調數(shù)量積的基本運算，特別是夾角范圍的判斷，對（2）小題還可以利用運算律展開與實數(shù)中的多項式乘法法則類比，借此強調不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運算中，如： ； 等。 Ex1 已知 =1 , =, ·=0,點C在

7、∠AOB 內，且∠AOB =，設=+,(,∈R) , 則= 3 2. 夾角與模 例2. 已知：，是兩個非零向量，且==∣-∣， 求：與+的夾角 解：設與+的夾角為，由= 得 = 又由 ==-2×+ ∴ ×= 而 =+2×+=3 ∴ = ∴cosq === C A ∵０≤≤π ∴ = 方法二：如圖，以O為起點做向量=， =， O B 連接AB , 得-，=+， 顯然△AOB為正三角形，

8、∠AOB = ,故而與+的夾角為 。 【評析】熟悉夾角公式的結構形式，了解夾角與模的關系，借助幾何意義處理問題的簡便性，體現(xiàn)數(shù)形結合思想。 Ex2 如圖在Rt△ABC中，已知BC =a,若長為2a的線段PQ以點A位中點， 問與的夾角取何值時，的值最大？并求其最大值。 C 解：∵ ∴· = 0 Q 又∵=-,=- A B =- P ∴=(-)·(-) =·-·-·+· =--·+·=--·(-) =-+·=-+ cosq 故而當cosq = 1 ，即=時，最

9、大，其最大值為0 【評析】 3. 與三角函數(shù)的綜合 例3．（09江蘇T15）設向量 （1）若與垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求證：∥. 解 【評析】向量與三角函數(shù)結合主要體現(xiàn)其工具性，特別是借助坐標運算其代數(shù)形式的應用。還可以通過向量的代數(shù)性簡化數(shù)學問題，如課本第108頁有道數(shù)學題： Ex3 證明：任意實數(shù)a、b、c、d，恒有不等式成立。 證明：令：=(a,b) , =(c,d) ·= cosq (其中為向量，的夾角) 所以ac+bd= 故而= 4. 與解析幾何綜合 例4.（08四川T21）設橢圓 的左、右焦點分別為、，離心率，右準線為，、是上的兩個動點，． （Ⅰ）若，求、的值； （Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線． 【評析】體現(xiàn)向量的工具性。 C.課堂小結： D.教學反思: