2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法（理）練習(xí)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法（理）練習(xí) 一、選擇題(6×5分＝30分) 1．(xx·懷化模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是(　　) A．假設(shè)n＝k(k∈N*)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立 C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立 解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k＋2為奇數(shù)． 答案：D 2．(xx·鶴壁模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“

2、1＋＋＋…＋1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k. 答案：C 3．(xx·巢湖聯(lián)考)對(duì)于不等式

3、 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 解析：在n＝k＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法． 答案：D 4．(xx·漯河模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開(kāi)(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)

4、k3即可． 答案：A 5．(xx·潮州二模)證明1＋＋＋＋…＋1)，當(dāng)n＝2時(shí)，左邊式子等于(　　) A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋ 解析：當(dāng)n＝2時(shí)，左邊的式子為 1＋＋＋＝1＋＋＋. 答案：D 6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an＝(　　) A. B. C. D. 解析：由Sn＝n2an，知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1 ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an(n≥2) 當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝4a

5、2，又S2＝a1＋a2 ∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝. 由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝. 答案：B 二、填空題(3×5分＝15分) 7．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4猜想an的表達(dá)式是________． 解析：∵a1＝且Sn＝n(2n－1)·an， ∴a1＋a2＝2×(2×2－1)×a2，∴a2＝. 又∵a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)×a3， ∴a3＝. 又a1＋a2＋a3＋a4＝4×(2×4－1)×a4， a4＝. 猜想：an＝. 答案：an＝ 8．(xx·紹興月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋

6、＋＋…＋＜2(n∈N，且n＞1)，第一步要證的不等式是_____________________________． 解析：n＝2時(shí)，左邊＝1＋＋＝1＋＋，右邊＝2. 答案：1＋＋＜2 9．(xx·東莞調(diào)研)已知整數(shù)對(duì)的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是________． 解析：本題規(guī)律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對(duì)為(n－1)對(duì)． 設(shè)1＋2

7、＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60， ∴n＝11時(shí)還多5對(duì)數(shù)，且這5對(duì)數(shù)和都為12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60個(gè)數(shù)對(duì)為(5,7)． 答案：(5,7) 三、解答題(共37分) 10．(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1， 右邊＝(－1)0·＝1， ∴原等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，即有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，則有 12－22

8、＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k， ∴n＝k＋1時(shí)，等式也成立， 由(1)(2)得對(duì)任意n∈N*有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1. 11．(12分)(xx·東北六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1,2,3，…. (1)求a1，a2； (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明． 解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1

9、， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝. (2)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， Sn2－2Sn＋1－anSn＝0. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1， 代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.① 由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝. 由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3…. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論． (ⅰ)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立． (ⅱ)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即S

10、k＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 綜上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知Sn＝對(duì)所有正整數(shù)n都成立． 12．(13分)(xx·溫州模擬)已知f(x)＝，n∈N*，試比較f()與的大小，并且說(shuō)明理由． 解析：f()＝＝＝1－， 而＝1－， ∴f()與的大小等價(jià)于2n與n2的大小． 當(dāng)n＝1時(shí)，21>12；當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22； 當(dāng)n＝3時(shí)，23<32；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42； 當(dāng)n＝5時(shí)，25>52. 猜想當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2. 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝5時(shí)，由上可知不等式成立； ②假設(shè)n＝k(k≥5，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即2k>k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝2·2k>2k2， 又∵2k2－(k＋1)2＝(k－1)2－2>0(∵k≥5)， 即2k＋1>(k＋1)2， ∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 綜合①②對(duì)n≥5，n∈N*不等式2n>n2成立． ∴當(dāng)n＝1或n≥5時(shí)，f()>； 當(dāng)n＝3時(shí)，f()<； 當(dāng)n＝2或4時(shí)，f()＝.