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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題 理(V)
一:選擇題(本大題滿分60分)本大題共有12題,每題有且只有一個(gè)正確答案,選對(duì)得5分,否則一律得零分。
1.i是虛數(shù)單位,則的模為( )
A. B. C. D.2
2.下面四個(gè)條件中,使a>b成立的充要條件是( )
A.a(chǎn)>b+1 B.a(chǎn)>b-1 C.a(chǎn)2>b2 D.a(chǎn)3>b3
3.函數(shù)y=x2-ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.(-1,1]
2、 B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)
4.已知向量,,且與互相垂直,則的值是( )
A.1 B. C. D.
5.( )
A.1 B.e﹣1 C.e D.e+1
6.若曲線f(x)=x4-2x在點(diǎn)P處的切線垂直于直線x+2y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(1,1) B.(1
3、,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1)
7.已知是拋物線的焦點(diǎn),是該拋物線上的兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)到軸的距離為,則 ( )
A.4 B. 5 C.6 D.78.已知正四棱柱中,為中點(diǎn),則異面直線與
所成的角的余弦值為( )
A. B. C. D.
9. 已知數(shù)列:,,,,,,,,,,…,依它的前10項(xiàng)的規(guī)律,這個(gè)數(shù)列的第2 013項(xiàng)a2 013滿足( )
A.0
4、 013<1 C.1≤a2 013≤10 D.a(chǎn)2 013>10
11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,為橢圓上一點(diǎn),連接交軸于點(diǎn),若為等邊三角形,則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
10.已知函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致是( )
12.在平面直角坐標(biāo)系中,定義d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|為兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“折線距離”.在這個(gè)定義下,給出下列命題:
①到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)正方形;
②到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)圓;
5、
③到M(-1,0),N(1,0)兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡方程是x=0;
④到M(-1,0),N(1,0)兩點(diǎn)的“折線距離”差的絕對(duì)值為1的點(diǎn)的集合是兩條平行線.
其中真命題有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
二:填空題(本大題滿分20分)本大題有4題,考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得5分,否則一律得零分。
13.命題“存在R,0”的否定是 .
14.若函數(shù)在處取極值,則
15.如圖所示
6、,面積為的平面凸四邊形的第條邊的邊長(zhǎng)記為,此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)到第條邊的距離記為,若,
則.類比以上性質(zhì),體積為的三棱錐的第個(gè)面的面積記為, 此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到第個(gè)面的距離記為,若, 則 .
16.如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿軸滾動(dòng)。設(shè)頂點(diǎn)P(,y)的軌跡方程是,則的最小正周期為 ;在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與軸所圍區(qū)域的面積為 。
三:解答題(本大題滿分70分)本大題共6題,解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)的編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。
17.(10分
7、) 設(shè)命題p:(4x-3)2≤1;命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18.(12分)如圖,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點(diǎn)E在C1C上,且C1E=3EC.
(1)證明A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1-DE-B的余弦值.
19(12分)已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)以為中點(diǎn)作雙曲線的一條弦,求弦所在直線的方程.
2
8、0.(12分)已知函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù),且a>0.
(1)求a的取值范圍;
(2)求函數(shù)在[0,+∞)上的最大值;
21.(12分)已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的長(zhǎng)半軸這半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),問:在軸上是否存在點(diǎn),使為定值?若存在,試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值,若不存在,說明理由.
22.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln +(a>0).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值
9、范圍;
(3)求證:當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),+++…+
10、),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).
=(0,2,1),=(2,2,0),
=(-2,2,-4),=(2,0,4).
(1)∵·=0,·=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥DE.
又DB∩DE=D,
∴A1C⊥平面DBE.
(2)設(shè)向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量,則n⊥,n⊥.
∴2y+z=0,2x+4z=0.
令y=1,則z=-2,x=4, ∴n=(4,1,-2).
∴cos〈n,n〉==.
∵〈n,〉等于二面角A1-DE-B的平面角,
∴二面角A1-DE-B的余弦值為.
19. (1)由已知雙曲線C的焦點(diǎn)為
由雙曲線定義
11、
所求雙曲線為
(2)設(shè),因?yàn)椤⒃陔p曲線上
①-②得
弦的方程為即
經(jīng)檢驗(yàn)為所求直線方程.
20.(1)的導(dǎo)數(shù)為,
因?yàn)楹瘮?shù)在(1,+∞)上是增函數(shù),
所以在(1,+∞)上恒成立,
即在(1,+∞)上恒成立,
所以只需,
又因?yàn)閍>0,所以a≥1;
(2)因?yàn)閤∈[0,+∞),所以
所以在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以在[0,+∞)上的最大值為.
21.(1)由,得,即,①
又以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為,
且與直線相切,所以,代入①得c=2,
所以.所以橢圓的方程為. (4分)
(2) 由得,
設(shè),所以,
12、,(8分)
根據(jù)題意,假設(shè)軸上存在定點(diǎn),使得
為定值,
則有
(10分)
要使上式為定值,即與k無關(guān),則應(yīng),
即,此時(shí)為定值,定點(diǎn)為.(12分)
22. (1)解 f′(x)=×+
=+=
=(x>-1),
∴f(x)在(-1,-1)上為減函數(shù),在(-1,+∞)為增函數(shù),
∴f(x)在x=-1處取得極小值.依題意解得1時(shí),有f(x)>f(1)=
13、0,
即x>1時(shí),ln +>0,
得ln >-(x>1).
?。?n≥2),
則x=>1,=,
即ln >(n≥2),
∴+++…+(n≥2).考查函數(shù)g(x)=ln x-=ln x+-1(x>1),
而g′(x)=-=,所以g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù),
所以g(x)min=g(1)=0,所以x>1時(shí),g(x)>0,
令x=,ln >(n≥2),
則ln n=ln 2+ln +…+ln >++…+,
所以命題得證.