2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 文 北師大版

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最新考綱1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不會(huì)超過三次)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第42頁)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增加的；(2)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減少的；(3)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)1在某區(qū)間內(nèi)f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件2可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若函數(shù)f(x)在(a，b)上是增加的，那么一定有f(x)0.()(2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()(3)在(a，b)內(nèi)f(x)0且f(x)0的根有有限個(gè)，則f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)()答案(1)×(2)(3)二、教材改編1如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像，則下面判斷正確的是()A在區(qū)間(3,1)上f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D在區(qū)間(3,5)上f(x)是增函數(shù)C由圖像可知，當(dāng)x(4,5)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(4,5)上是增函數(shù)2函數(shù)f(x)cos xx在(0，)上的單調(diào)性是()A先增后減B先減后增C增函數(shù)D減函數(shù)D因?yàn)閒(x)sin x10，在(0，)上恒成立所以f(x)在(0，)上是減函數(shù)，故選D.3函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_(0,1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0，由f(x)10，得0x1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,14已知f(x)x3ax在1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是_3f(x)3x2a0，即a3x2，又因?yàn)閤1， )，所以a3，即a的最大值是3.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第42頁)考點(diǎn)1不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(2)求f(x)(3)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得單調(diào)遞增區(qū)間(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得單調(diào)遞減區(qū)間1.函數(shù)f(x)1xsin x在(0,2)上是()A單調(diào)遞增B單調(diào)遞減C在(0，)上增，在(，2)上減D在(0，)上減，在(，2)上增Af(x)1cos x0在(0,2)上恒成立，所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增2函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(1,1B(0,1C1，)D(0，)Byx2ln x，x(0，)，yx.由y0可解得0x1，yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1，故選B.3已知定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)f(x)xsin xcos x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_和f(x)sin xxcos xsin xxcos x，令f(x)xcos x0，則其在區(qū)間(，)上的解集為和，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要樹立函數(shù)的定義域優(yōu)先的原則，否則極易出錯(cuò)考點(diǎn)2含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論(1)討論分以下四個(gè)方面二次項(xiàng)系數(shù)討論；根的有無討論；根的大小討論；根在不在定義域內(nèi)討論(2)討論時(shí)要根據(jù)上面四種情況，找準(zhǔn)參數(shù)討論的分類(3)討論完畢須寫綜述已知函數(shù)f(x)ln x(aR且a0)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解依題意得，f(x)(x0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得x；由f(x)0，得0x，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減含參數(shù)的問題，應(yīng)就參數(shù)范圍討論導(dǎo)數(shù)大于(或小于)零的不等式的解，在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)已知函數(shù)f(x)aln xx2(aR且a0)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)因?yàn)閒(x)aln xx2，所以f(x)2x.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，解得x(負(fù)值舍去)，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增考點(diǎn)3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，ax20有解，即a有解設(shè)G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1，又因?yàn)閍0，所以a的取值范圍是(1,0)(0，)(2)由h(x)在1,4上單調(diào)遞減得，當(dāng)x1,4時(shí)，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)1，因?yàn)閤1,4，所以，1，所以G(x)max(此時(shí)x4)，所以a，因?yàn)閍0，所以a的取值范圍是，0)(0，)母題探究1(變問法)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞增，求a的取值范圍解由h(x)在1,4上單調(diào)遞增得，當(dāng)x1,4時(shí)，h(x)0恒成立，所以當(dāng)x1,4時(shí)，a恒成立，又當(dāng)x1,4時(shí)，min1(此時(shí)x1)，所以a1，即a的取值范圍是(，12(變問法)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍解h(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h(x)0在1,4上有解，所以當(dāng)x1,4時(shí)，a有解，又當(dāng)x1,4時(shí)，min1，所以a1，又因?yàn)閍0，所以a的取值范圍是(1,0)(0，)3(變條件)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上不單調(diào)，求a的取值范圍解因?yàn)閔(x)在1,4上不單調(diào)，所以h(x)0在(1,4)上有解，即a有解，令m(x)，x(1,4)，則1m(x)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(1)f(x)在D上單調(diào)遞增(減)，只要滿足f(x)0(0)在D上恒成立即可如果能夠分離參數(shù)，則可分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系(2)二次函數(shù)在區(qū)間D上大于零恒成立，討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與區(qū)間D的相對(duì)位置，一般分對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論已知函數(shù)f(x)2x2ln x在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解f(x)4x，若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立，即4x或4x.令h(x)4x，因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在1,2上單調(diào)遞增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或0a或a1.考點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有：(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xf(x)f(x)xf(x)；(3)xf(x)f(x)；(4)f(x)f(x)exf(x)；(5)f(x)f(x).(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若對(duì)任意x0都有2f(x)xf(x)0成立，則()A4f(2)9f(3)B4f(2)9f(3)C2f(3)3f(2)D3f(3)2f(2)(2)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2)0，當(dāng)x0時(shí)，有0恒成立，則不等式x2f(x)0的解集是_(1)A(2)(，2)(0,2)(1)根據(jù)題意，令g(x)x2f(x)，其導(dǎo)數(shù)g(x)2xf(x)x2f(x)，又對(duì)任意x0都有2f(x)xf(x)0成立，則當(dāng)x0時(shí)，有g(shù)(x)x(2f(x)xf(x)0恒成立，即函數(shù)g(x)在(0，)上為增函數(shù)，又由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f(x)f(x)，則有g(shù)(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即函數(shù)g(x)也為偶函數(shù)，則有g(shù)(2)g(2)，且g(2)g(3)，則有g(shù)(2)g(3)，即有4f(2)9f(3)故選A.(2)令(x)，當(dāng)x0時(shí)，0，(x)在(0，)上為減函數(shù)，又(2)0，在(0，)上，當(dāng)且僅當(dāng)0x2時(shí)，(x)0，此時(shí)x2f(x)0.又f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù)故x2f(x)0的解集為(，2)(0,2)如本例(1)已知條件“2f(x)xf(x)0”，需構(gòu)造函數(shù)g(x)x2f(x)，求導(dǎo)后得x0時(shí)，g(x)0，即函數(shù)g(x)在(0，)上為增函數(shù)，從而問題得以解決而本例(2)則需構(gòu)造函數(shù)(x)解決定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)f(x)恒成立，若x1x2，則ef(x2)與ef(x1)的大小關(guān)系為()Aef(x2)ef(x1)Bef(x2)ef(x1)Cef(x2)ef(x1)Def(x2)與ef(x1)的大小關(guān)系不確定A設(shè)g(x)，則g(x)，由題意得g(x)0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x1x2時(shí)，g(x1)g(x2)，即，所以ef(x2)ef(x1)- 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