2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題教學(xué)案 理 北師大版

第八節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題最新考綱能從研究對(duì)象中獲取數(shù)據(jù)，會(huì)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，構(gòu)建模型等考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率的對(duì)應(yīng)(2019·廣州一模)某商場以分期付款方式銷售某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為234P0.4ab其中0a1,0b1.(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；(2)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得的利潤為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場獲得的利潤為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為300元商場銷售兩件該商品所獲得的利潤記為X(單位：元)求X的分布列；若P(X500)0.8，求X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值解(1)設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，依題意得B(3,0.4)，則P(2)C(0.4)2×(10.4)0.288，購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.(2)依題意X的取值分別為400,450,500,550,600，P(X400)0.4×0.40.16，P(X450)2×0.4a0.8a，P(X500)2×0.4ba20.8ba2，P(X550)2ab，P(X600)b2.X的分布列為：X400450500550600P0.160.8a0.8ba22abb2P(X500)P(X400)P(X450)P(X500)0.160.8(ab)a2，根據(jù)0.4ab1，得ab0.6，b0.6a，P(X500)0.8，0.160.48a20.8，解得a0.4或a0.4，a0，a0.4，b0，0.6a0，解得a0.6，a0.4,0.6)，EX400×0.16450×0.8a500(0.8ba2)1 100ab600b2520100a，當(dāng)a0.4時(shí)，EX的最大值為480，X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值為480.本例融概率、分布列、函數(shù)于一體，體現(xiàn)了高考命題的最新動(dòng)向，求解時(shí)可先借助分布列的性質(zhì)及題設(shè)條件“P(X500) 0.8”探求得到參數(shù)a的范圍，然后借助數(shù)學(xué)期望公式建立關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)關(guān)系式，并通過二次函數(shù)求得數(shù)學(xué)期望EX的最大值(2019·九江二模)某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%，兩種可能對(duì)應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價(jià)格為100元，廢品不值錢現(xiàn)處理價(jià)格為每箱8 400元，遇到廢品不予更換以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值作為決策依據(jù)(1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下，判斷是否可以購買；(2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買解(1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值為：E100×(10.2)×100×0.5100×(10.1)×100×0.58 5008 400，在不開箱檢驗(yàn)的情況下，可以購買(2)X的可能取值為0,1,2，P(X0)C×0·20×0·820.64，P(X1)C×0·21×0·810.32，P(X2)C×0·82×0·200.04，X的分布列為：X012P0.640.320.04EX0×0.641×0.322×0.040.4.設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則P(A)C×0.2×0.8×0.5C×0.1×0.9×0.50.25，一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價(jià)格的期望值為，則8 000,9 000，事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則，P(8 000)P(B1|A)0.64，事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P(9 000)P(B2|A)0.36，E8 000×0.649 000×0.368 3608 400，已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買考點(diǎn)2概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題從某技術(shù)公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值(記為Z)，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)公司規(guī)定：當(dāng)Z95時(shí)，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z<95時(shí)，產(chǎn)品為次品公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元記為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)利用該正態(tài)分布，求P(87.8<Z<112.2)；某客戶從該公司購買了500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求EX.附：12.2.若ZN(，2)，則P(<Z<)0.682 7，P(2<Z<2)0.954 5.解(1)由頻率估計(jì)概率，產(chǎn)品為正品的概率為(0.0330.0240.0080.002)×100.67，所以隨機(jī)變量的分布列為9030P0.670.33所以E90×0.67(30)×0.3350.4.(2)由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為70×0.0280×0.0990×0.22100×0.33110×0.24120×0.08130×0.02100，s2(30)2×0.02(20)2×0.09(10)2×0.2202×0.33102×0.24202×0.08302×0.02150.因?yàn)閆N(100,150)，從而P(87.8<Z<112.2)P(10012.2<Z<10012.2)0.682 7.由知，一件產(chǎn)品中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的概率為0.6827，依題意知XB(500,0.682 7)，所以EX500×0.682 7341.35.本題以統(tǒng)計(jì)圖表為載體，將正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起，體現(xiàn)了知識(shí)的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義，掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類概率的計(jì)算方法及均值與方差的運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以X(單位：t,100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的均值解(1)當(dāng)X100,130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000.當(dāng)X130,150時(shí)，T500×13065 000.所以T(2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120X150.由直方圖知需求量X120,150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以ET45 000×0.153 000×0.261 000×0.365 000×0.459 400.考點(diǎn)3概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用常涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識(shí)別與應(yīng)用、數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí) (2019·武漢二模)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者，并對(duì)其購房面積m(單位：平方米，60m130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼113分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月)圖1圖2(1)試估計(jì)該市市民的平均購房面積；(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計(jì)概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和ln x兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程，分別為0.936 90.028 5和0.955 40.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：0.936 90.028 50.955 40.030 61ln x (yii)20.000 5910.000 164 (yi)20.006 050請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測2019年6月份的二手房購房均價(jià)(精確到0.001)參考數(shù)據(jù)：ln 20.69，ln 31.10，ln 72.83，ln 192.94，1.41，1.73，4.12，4.36.參考公式：R21.解(1)65×0.0575×0.185×0.295×0.25105×0.2115×0.15125×0.0596.(2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.200.150.050.4，XB(3,0.4)，P(Xk)C×0·4k×0·63k，(k0,1,2,3)，P(X0)0.630.216，P(X1)C×0.4×0·620.432，P(X2)C×0·42×0.60.288，P(X3)0.430.064，X的分布列為：X 0 1 23P 0.216 0.432 0.288 0.064EX3×0.41.2.(3)設(shè)模型0.936 90.028 5和0.955 40.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R，R，則R 1，R 1，R < R，模型0.955 40.030 6ln x的擬合效果更好，2019年6月份對(duì)應(yīng)的x18，0.955 40.030 6ln180.955 40.030 6(ln 22ln 3)1.044萬元/平方米在兩個(gè)變量的回歸分析中要注意以下2點(diǎn)(1)求回歸直線方程要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算(2)借助散點(diǎn)圖，觀察兩個(gè)變量之間的關(guān)系若不是線性關(guān)系，則需要根據(jù)相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系(2019·鐵東區(qū)校級(jí)三模)一家大型超市委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該超市的顧客使用移動(dòng)支付的情況調(diào)查人員從年齡在20至60的顧客中，隨機(jī)抽取了200人，調(diào)查結(jié)果如圖：(1)為推廣移動(dòng)支付，超市準(zhǔn)備對(duì)使用移動(dòng)支付的每位顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購物袋若某日該超市預(yù)計(jì)有10000人購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)，該超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購物袋？(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為使用移動(dòng)支付與年齡有關(guān)？年齡40年齡40小計(jì)使用移動(dòng)支付不使用移動(dòng)支付小計(jì)200(3)現(xiàn)從該超市這200位顧客年齡在55,60的人中，隨機(jī)抽取2人，記這兩人中使用移動(dòng)支付的顧客為X人，求X的分布列附：2P(2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由頻率估計(jì)概率，根據(jù)已知可預(yù)計(jì)該超市顧客使用移動(dòng)支付的概率為：，所以超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備的環(huán)保購物袋個(gè)數(shù)為：10 000×6 250.(2)由(1)知列聯(lián)表為：年齡40年齡40小計(jì)使用移動(dòng)支付 8540125不使用移動(dòng)支付106575小計(jì) 95105200假設(shè)移動(dòng)支付與年齡無關(guān)，則256.17，56.1710.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為使用移動(dòng)支付與年齡有關(guān)(3)X可能取值為0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列為：X012P課外素養(yǎng)提升數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與建模求解數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識(shí)的過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積極依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)概率與頻率分布的綜合應(yīng)用【例1】(2019·濟(jì)寧一模)某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，結(jié)果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組：第一組45,50)，第二組50,55)，第六組70,75)，得到如圖(1)所示的頻率分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖(2)所示，以樣本的頻率作為總體的概率圖(1)圖(2)(1)求頻率分布直方圖中a，b，c的值；(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在55,65)的人數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布N(，2)，其中60，225.若P(22)0.9545，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的試判斷該校學(xué)生的體重是否正常？并說明理由解(1)由題圖(2)知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人，用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為0.02，則a0.004，在50,55)上有13人，該組的頻率為0.13，則b0.026，所以2c0.14，即c0.07.(2)用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，可知從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重在55,65)的概率為0.07×100.7，隨機(jī)抽取3人，相當(dāng)于三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(3,0.7)，則P(X0)C0.700.330.027，P(X1)C0.710.320.189，P(X2)C0.720.310.441，P(X3)C0.730.300.343，所以，X的概率分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343EX3×0.72.1.(3)由N(60,25)得5由圖(2)知P(22)P(5070)0.960.954 5.所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的評(píng)析本題以學(xué)生體重情況為背景，設(shè)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模(用頻率估計(jì)概率、正態(tài)分布)、數(shù)學(xué)運(yùn)算(求平均數(shù)、方差、求概率)、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數(shù)方差，由正態(tài)分布求概率及期望)的學(xué)科素養(yǎng)；培養(yǎng)了統(tǒng)計(jì)意識(shí)，經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)作出推斷”的全過程概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合【例2】為了解當(dāng)代中學(xué)生喜歡文科、理科的情況，某中學(xué)一課外活動(dòng)小組在學(xué)校高一年級(jí)文、理分科時(shí)進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科意向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科意向”學(xué)生(1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)？理科意向文科意向總計(jì)男110女50總計(jì)(2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科意向”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、期望E和方差D.參考公式：2，其中nabcd.參考臨界值：P(2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在60,80)之間的學(xué)生人數(shù)為0.012 5×20×20050，在80,100之間的學(xué)生人數(shù)為0.007 5×20×20030，所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科意向文科意向總計(jì)男8030110女405090總計(jì)12080200又216.498>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)(2)易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科意向”的概率為P.依題意知B，所以P(i)Ci3i(i0,1,2,3)，所以的分布列為0123P所以期望Enp，方差Dnp(1p).評(píng)析此類題目雖然涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但每個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查程度相對(duì)較淺，考查深度有限，所以解決此類問題，最主要的是正確掌握概率與統(tǒng)計(jì)案例的基本知識(shí)，并能對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效的融合，把統(tǒng)計(jì)圖表中的量轉(zhuǎn)化為概率及分布列求解中的有用的量是解決此類問題的關(guān)鍵所在.12