2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算教學(xué)案 理 北師大版

第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章內(nèi)容在高考中一般是“一大一小”2考查內(nèi)容(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義一般在選擇題或填空題中考查，有時與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合出現(xiàn)在壓軸小題中(2)解答題一般都是兩問的題目，第一問考查曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值點(diǎn)等，屬于基礎(chǔ)問題第二問利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，已知單調(diào)區(qū)間或極值求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)的零點(diǎn)等問題3備考策略(1)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，重點(diǎn)研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與極(最)值、導(dǎo)數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)等問題(2)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算最新考綱1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yC(C為常數(shù))，yx ，yx2，yx3，y，y的導(dǎo)數(shù).3.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的瞬時變化率為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，用f(x0)表示，記作f(x0) .(2)導(dǎo)函數(shù)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x)：f(x) ，則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，u(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxf(x)f(u)·(x)1奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)2af(x)±bg(x)af(x)±bg(x)3函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率()(2)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(3)與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線()(4)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1函數(shù)yxcos xsin x的導(dǎo)數(shù)為()Axsin xBxsin xCxcos x Dxcos xBy xcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x2曲線yx311在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A9 B3C9 D15C因?yàn)閥x311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲線yx311在點(diǎn)P(1,12)處的切線方程為y123(x1)令x0，得y9.故選C.3函數(shù)yf(x)的圖像如圖，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的大致圖像為()A B CDB由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f(x)為常數(shù)，且f(x)0.4在高臺跳水運(yùn)動中，t s時運(yùn)動員相對于水面的高度(單位：m)是h(t)4.9t26.5t10，則運(yùn)動員的速度v_m/s，加速度a_m/s2.9.8t6.59.8vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的計算(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)(2)在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，避免運(yùn)算錯誤已知函數(shù)解析式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx；(2)ytan x；(3)y2sin21.解(1)先變形：yx，再求導(dǎo)：y(x)x.(2)先變形：y，再求導(dǎo)：y.(3)先變形：ycos x，再求導(dǎo)：y(cos x)(sin x)sin x.逆向問題已知f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，則x0_.1因?yàn)閒(x)x(2 017ln x)，所以f(x)2 017ln x12 018ln x，又f(x0)2 018，所以2 018ln x02 018，所以x01.求導(dǎo)之前先對函數(shù)進(jìn)行化簡減少運(yùn)算量如本例(1)(3)抽象函數(shù)求導(dǎo)已知f(x)x22xf(1)，則f(0)_.4f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，f(1)2，f(0)2f(1)2×(2)4.賦值法是求解此類問題的關(guān)鍵，求解時先視f(1)為常數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計算f(x)，最后分別令x1，x0代入f(x)求解即可1.已知函數(shù)f(x)exln x，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值為_e由題意得f(x)exln xex·，則f(1)e.2已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足關(guān)系式f(x)x23xf(2)ln x，則f(2)_.因?yàn)閒(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y3xex2xe；(2)y；(3)yln .解(1)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.(2)y.(3)yln(2x1)ln(2x1)ln(2x1)ln(2x1)·(2x1)·(2x1).考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用類型及求解思路(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0)(2)若求過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可(3)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)在曲線上求切線方程(1)(2019·全國卷)曲線y3(x2x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為_(1)3xy0(2)xy10(1)y3(x23x1)ex，曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率ky|x03，曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y3x.(2)點(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)又f(x)1ln x，直線l的方程為y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直線l的方程為yx1，即xy10.(1)求解曲線切線問題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在使用切點(diǎn)橫坐標(biāo)求切線方程時應(yīng)注意其取值范圍；(2)注意曲線過某點(diǎn)的切線和曲線在某點(diǎn)處的切線的區(qū)別如本例(1)是“在點(diǎn)(0,0)”，本例(2)是“過點(diǎn)(0，1)”，要注意二者的區(qū)別求切點(diǎn)坐標(biāo)(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線yln x上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(e，1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_(e,1)設(shè)A(x0，y0)，由y，得k，所以在點(diǎn)A處的切線方程為yln x0(xx0)因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)(e，1)，所以1ln x0(ex0)所以ln x0，令g(x)ln x(x0)，則g(x)，則g(x)0，g(x)在(0，)上為增函數(shù)又g(e)0，ln x有唯一解xe.x0e.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,1)f(x)k(k為切線斜率)的解即為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，抓住切點(diǎn)既在曲線上也在切線上，是求解此類問題的關(guān)鍵求參數(shù)的值(1)(2019·全國卷)已知曲線yaexxln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y2xb，則()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，與f(x)圖像的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m_.(1)D(2)2(1)yaexln x1，y|x1ae1，2ae1，ae1.切點(diǎn)為(1,1)，將(1,1)代入y2xb，得12b，b1，故選D.(2)f(x)，直線l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，m2.已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值的關(guān)鍵就是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程，同時注意曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像(1)已知函數(shù)yf(x)的圖像是下列四個圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是()A BC D(2)已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)_.(1)B(2)0(1)由yf(x)的圖像是先上升后下降可知，函數(shù)yf(x)圖像的切線的斜率先增大后減小，故選B.(2)由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，g(3)13×0.函數(shù)圖像在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖像在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出圖像升降的快慢1.曲線f(x)在x0處的切線方程為_2xy10根據(jù)題意可知切點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，f(x)，故切線的斜率kf(0)2，則直線的方程為y(1)2(x0)，即2xy10.2(2019·大同模擬)已知f(x)x2，則曲線yf(x)過點(diǎn)P(1,0)的切線方程是_y0或4xy40設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，f(x)2x，切線方程為y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切線方程為y0或y4(x1)，即y0或4xy40.3直線ykx1與曲線yx3axb相切于點(diǎn)A(1,3)，則2ab_.1由題意知，yx3axb的導(dǎo)數(shù)y3x2a，則由此解得k2，a1，b3，2ab1.8