2021高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù) 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性教學案 理 北師大版

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義， 會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性1奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)；圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)2判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，一般按照定義嚴格進行，一般步驟是(1)考察定義域是否關(guān)于原點對稱；(2)考察表達式f(x)是否與f(x)或f(x)相等若f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期1函數(shù)奇偶性的三個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，那么一定有f(0)0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性2周期性的幾個常用結(jié)論對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為T，則(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0)；(2)若f(xa)，則T2a(a0)；(3)f(xa)，則T2a(a0)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原點()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱()(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2xBA為奇函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)，B為偶函數(shù)，故選B.2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x(1x)，則f(1)_.2f(1)1×22，又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.3設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x1,1)時，f(x)則f_.1f f 4×221.4設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，若當x0,5時，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_(2,0)(2,5由圖像可知，當0x2時，f(x)0；當2x5時，f(x)0，又f(x)是奇函數(shù)，當2x0時，f(x)0，當5x2時，f(x)0.綜上，f(x)0的解集為(2,0)(2,5考點1判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖像法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖像關(guān)于原點(y軸)對稱(1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)C令F1(x)f(x)·g(x)，則F1(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)F1(x)，f(x)g(x)為奇函數(shù)，故A錯誤令F2(x)|f(x)|g(x)，則F2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F2(x)，F(xiàn)2(x)為偶函數(shù)，故B錯誤令F3(x)f(x)|g(x)|，則F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x)，F(xiàn)3(x)為奇函數(shù)，故C正確令F4(x)|f(x)g(x)|，則F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x)，F(xiàn)4(x)為偶函數(shù)，故D錯誤(2)解由得x23，解得x±，即函數(shù)f(x)的定義域為，從而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)由得定義域為(1,0)(0,1)，關(guān)于原點對稱，x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括2個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立1.(2019·福州模擬)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()AytanByx2e|x|Cyxcos xDyln|x|sin xB對于選項A，易知ytan為非奇非偶函數(shù)；對于選項B，設(shè)f(x)x2e|x|，則f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|為偶函數(shù)；對于選項C，設(shè)f(x)xcos x，則f(x)xcos(x)xcos xf(x)，所以yxcos x為奇函數(shù)；對于選項D，設(shè)f(x)ln|x|sin x，則f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以yln|x|sin x為非奇非偶函數(shù)，故選B.2設(shè)函數(shù)f(x)，則下列結(jié)論錯誤的是()A|f(x)|是偶函數(shù)Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)|f(x)|是奇函數(shù)Df(|x|)f(x)是偶函數(shù)Df(x)，則f(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函數(shù)，f(|x|)f(x)是奇函數(shù)考點2函數(shù)奇偶性的應用利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(x)0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值(4)畫函數(shù)圖像：利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖像(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值利用奇偶性求參數(shù)的值一題多解若函數(shù)f(x)x3為偶函數(shù)，則a的值為_法一：(定義法)因為函數(shù)f(x)x3為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，即(x)3x3，所以2a，所以2a1，解得a.法二：(特值法)因為函數(shù)f(x)x3為偶函數(shù)，所以f(1)f(1)，所以(1)3×13×，解得a，經(jīng)檢驗，當a時，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個：一是利用f(x)f(x)(奇函數(shù))或f(x)f(x)(偶函數(shù))在定義域內(nèi)恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數(shù)一般利用f(0)0求解，偶函數(shù)一般利用f(1)f(1)求解用特殊值法求得參數(shù)后，一定要注意驗證利用函數(shù)的奇偶性求值(1)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當x(0，)時，f(x)log2x，則f()()ABC2D2(2)已知函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm等于()A0B2C4D8(3)(2019·全國卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當x0時，f(x)eax.若f(ln 2)8，則a_.(1)B(2)C(3)3(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以f()f()，又當x0時，f(x)log2x，所以f()log2，即f().(2)f(x)2，設(shè)g(x)，因為g(x)定義域為R，關(guān)于原點對稱，且g(x)g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)maxg(x)min0.因為Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，所以Mm2g(x)max2g(x)min4.(3)法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(x)f(x)，x0時，f(x)f(x)ea(x)eax，則f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(e)8，aln ln 83ln 2，a3.利用奇偶性將所求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求函數(shù)解析式函數(shù)yf(x)是R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x，則函數(shù)f(x)的解析式為_f(x)當x0時，x0，x0時，f(x)2x，當x0時，f(x)2x.f(x)是R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)f(x)2x.又yf(x)的定義域為R且為奇函數(shù)，f(0)0.函數(shù)f(x)的解析式為f(x)不要忽視x0時的解析式1.若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k_.±1若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，即，化簡得(k21)(22x1)0，即k210，解得k±1.2已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于_3f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.3(2019·湖南永州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，則f(a)_.0設(shè)F(x)f(x)1x3sin x，顯然F(x)為奇函數(shù)又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，從而f(a)0.考點3函數(shù)的周期性及其應用函數(shù)周期性的判定與應用判定判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題應用根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期(1)(2019·貴陽模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)，當x(0,2時，f(x)2xlog2x，則f(2 019)()A5BC2D2(2)函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)(xR)，且在區(qū)間(2，2上，f(x)則f(f(15)的值為_(1)D(2)(1)由f(x)f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2 019)f(504×43)f(3)f(12)f(1)(20)2.(2)由函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)(xR)，可知函數(shù)f(x)的周期是4，所以f(15)f(1)，所以f(f(15)fcos .利用周期性將所求值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的函數(shù)值設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當x2,1)時，f(x)則f_.由題意可得f f f 4×22，f .8