2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式教學(xué)案 理 北師大版

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式最新考綱1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2 cos2 1，tan .2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±，±的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限1同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sin ±cos )21±2sin cos ；sin tan ·cos .2誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若，為銳角，則sin2cos21.()(2)若R，則tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的條件是為銳角()(4)若sin(k)(kZ)，則sin .()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1化簡sin 690°的值是()A B C DBsin 690°sin(720°30°)sin 30°.選B.2若sin ，則tan _.，cos ，tan .3已知tan 2，則的值為_3原式3.4化簡·sin()·cos(2)的結(jié)果為_sin2原式·(sin )·cos sin2.考點(diǎn)1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用技巧(1)弦切互化：利用公式tan 實(shí)現(xiàn)角的弦切互化(2)和(差)積轉(zhuǎn)換：利用(sin ±cos )21±2sin cos 進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化(3)“1”的變換：1sin2cos2cos2·(tan21)sin2·.“知一求二”問題(1)一題多解已知cos k，kR，則sin()()ABC± Dk(2)(2019·福州模擬)若，sin()，則tan ()A BC D(1)A(2)C(1)法一：(直接法)由cos k，得sin ，所以sin()sin .故選A.法二：(排除法)易知k0，從而sin()sin 0，排除選項(xiàng)BCD，故選A.(2)因?yàn)?，sin ，所以cos ，所以tan .利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達(dá)到解決問題的目的，此時(shí)應(yīng)注意在利用sin2cos21求sin 或cos 時(shí)，符號(hào)的選取弦切互化(1)(2019·鄭州模擬)已知5，則cos2sin 2的值是()A B C3 D3(2)已知為第四象限角，sin 3cos 1，則tan _.(1)A(2)(1)由5得5，可得tan 2，則cos2sin 2cos2sin cos .故選A.(2)由(sin 3cos )21sin2cos2，得6sin cos 8cos2，又因?yàn)闉榈谒南笙藿牵詂os 0，所以6sin 8cos ，所以tan .若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型sin ±cos 與sin cos 關(guān)系的應(yīng)用(1)若|sin |cos |，則sin4cos4()A. B.C. D.(2)已知為第二象限角，sin ，cos 是關(guān)于x的方程2x2(1)xm0(mR)的兩根，則sin cos ()A. B.C. D.(1)B(2)B(1)因?yàn)閨sin |cos |，兩邊平方，得1|sin 2|.所以|sin 2|.所以sin4cos412sin2cos21sin22.故選B.(2)因?yàn)閟in ，cos 是方程2x2(1)xm0(mR)的兩根，所以sin cos ，sin ·cos ，可得(sin cos )212sin ·cos 1m，解得m.因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以sin 0，cos 0，即sin cos 0，因?yàn)?sin cos )212sin ·cos 1m1，所以sin cos .故選B.對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，知一可求二，若令sin cos t(t，)，則sin cos ，sin cos ±(注意根據(jù)的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用1.已知sin()，則tan值為()A2 B2C D±2D因?yàn)閟in()，所以sin ，cos ±，tan±2.故選D.2已知tan 2，則sin2的值為()A. B.C. D.C原式sin2，將tan 2代入，得原式.故選C.3已知sin xcos x，x(0，)，則tan x()A BC DD因?yàn)閟in xcos x，且x(0，)，所以12sin xcos x1，所以2sin xcos x0，所以x為鈍角，所以sin xcos x，結(jié)合已知解得sin x，cos x，則tan x.4若3sin cos 0，則的值為_3sin cos 0cos 0tan ，.考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用應(yīng)用誘導(dǎo)公式的一般思路(1)化大角為小角，化負(fù)角為正角；(2)角中含有加減的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉的整數(shù)倍(1)設(shè)f()(12sin 0)，則f_.(2)已知cosa，則cossin的值是_(1)(2)0(1)因?yàn)閒()，所以f.(2)因?yàn)閏oscoscosa，sinsincosa，所以cossin0.(1)已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的應(yīng)用(2)對給定的式子進(jìn)行化簡或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防止符號(hào)及三角函數(shù)名出錯(cuò)1.化簡：_.1原式·1.2已知角終邊上一點(diǎn)P(4,3)，則的值為_原式tan ，根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan .考點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用求解誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系綜合問題的基本思路和化簡要求基本思路分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；利用公式化成單角三角函數(shù)；整理得最簡形式化簡要求化簡過程是恒等變換；結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值已知f(x)(nZ)(1)化簡f(x)的表達(dá)式；(2)求ff的值解(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時(shí)，f(x)sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時(shí)，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin2cos21.(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號(hào)的影響教師備選例題已知x0，sin(x)cos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由已知，得sin xcos x，兩邊平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x，由x0知，sin x0，又sin xcos x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.(2).1.已知為銳角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，則sin 的值是()A. B.C. D.C由已知可得2tan 3sin 50.tan 6sin 10，解得tan 3，又為銳角，故sin .2已知tan()，且，則_.由tan()，得tan ，則.3已知sin cos ，且，則的值為_由sin cos 平方得sin cos ，sin cos ，.10