2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和教學(xué)案 文 北師大版

第四節(jié)數(shù)列求和最新考綱1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第102頁(yè))1公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn2分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解3裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和4錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解5倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解6并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1一些常見的數(shù)列前n項(xiàng)和公式(1)1234n；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.2常用的裂項(xiàng)公式(1)；(2)；(3)；(4)logaloga(n1)logan.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn.()(2)當(dāng)n2時(shí)，.()(3)求Sna2a23a3nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得()(4)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°44.5.()答案(1)(2)(3)×(4)二、教材改編1數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，則S5等于()A1B.C.D.Ban，S5a1a2a51.故選B.2若Sn123456(1)n1·n，則S50_.25S50(12)(34)(4950)25.3數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項(xiàng)和Sn等于_n21Sn135(2n1)n2n21.4若x0，且x1，則12x3x2nxn1_.設(shè)Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，所以Sn.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第102頁(yè))考點(diǎn)1分組轉(zhuǎn)化求和分組轉(zhuǎn)化求和的兩個(gè)常見類型(1)若anbn±cn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和；(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n.a1也滿足ann，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.母題探究在本例(2)中，若條件不變，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解由本例(1)知bn2n(1)n·n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.所以Tn通項(xiàng)公式中出現(xiàn)(1)n，在求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，要分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況討論1.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()A2nn21B2n1n21C2n1n22D2nn2CSna1a2a3an(212×11)(222×21)(232×31)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2×n2(2n1)n2nn2n1n22.故選C.2已知數(shù)列an中，a1a21，an2則數(shù)列an的前20項(xiàng)和為()A1 121B1 122C1 123D1 124C由題意可知，數(shù)列a2n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列a2n1是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列an的前20項(xiàng)和為10×1×21 123.選C.考點(diǎn)2錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和的四個(gè)步驟(2019·天津高考)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nN*)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.依題意，得解得故an33(n1)3n，bn3×3n13n.所以，an的通項(xiàng)公式為an3n，bn的通項(xiàng)公式為bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(6×3112×3218×336n×3n)3n26(1×312×32n×3n)記Tn1×312×32n×3n，則3Tn1×322×33n×3n1，得，2Tn332333nn×3n1n×3n1.所以，a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n23×(nN*)錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆]有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào)(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n1項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d1時(shí)，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意得即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.教師備選例題(2017·山東高考)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)an的公比為q，由題意知：a1(1q)6，aqa1q2，又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，兩式相減得Tn，所以Tn5.考點(diǎn)3裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法求和的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)通項(xiàng)公式能裂為兩項(xiàng)差的形式，求和時(shí)能產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)(2)消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩到第幾項(xiàng)，后邊就剩到倒數(shù)第幾項(xiàng)形如an型已知數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4Sna2an3對(duì)任意的正整數(shù)n都成立(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，4S1a2a13，即a2a130，解得a13或a11(舍去)，由4Sna2an3，得當(dāng)n2時(shí)，4Sn1a2an13，兩式相減，得4anaa2an2an1，即(anan1)(anan12)0，又an0，anan120，即anan12(n2)，數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，an32(n1)2n1.(2)由an2n1，得Sn·nn(n2)，bn，Tnb1b2b3bn1bn.本例在求前n項(xiàng)和Tn時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)bn裂成兩項(xiàng)差時(shí)，不要漏掉系數(shù).(2)求和消項(xiàng)后，前邊剩兩項(xiàng)，后邊也剩兩項(xiàng)，注意符號(hào)不同教師備選例題在等差數(shù)列an中，a24，a1a4a730，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.法一：由已知可得即解得所以ana1(n1)d1(n1)×33n2.法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1a4a73a430，解得a410，所以d3，所以ana2(n2)d4(n2)×33n2.(2)由(1)知Sn，所以Sn2n2n，所以.所以Tn××.形如an型已知函數(shù)f(x)x的圖像過(guò)點(diǎn)(4,2)，令an，nN*，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 020()A.1B.1C.1D.1C由f(4)2，得42，解得，則f(x)x.an，S2 020a1a2a3a2 020()()()()()1，故選C.本例中通項(xiàng)公式的裂項(xiàng)使用了分母有理化1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anlg，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3，則項(xiàng)數(shù)n()A99B101C999D1001Canlglglg(n1)lg n，Sna1a2a3an(lg 2lg 1)(lg 3lg 2)(lg 4lg 3)lg(n1)lg nlg(n1)，令Snlg(n1)3得n1103，解得n999，故選C.2已知等差數(shù)列an滿足a37，a5a726.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn，nN*，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題意可得解得所以an32(n1)2n1.(2)因?yàn)閏n，所以cn，所以Tn.課外素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)文化與數(shù)列(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第105頁(yè))縱觀近幾年高考，數(shù)列以數(shù)學(xué)文化為背景的問(wèn)題，層出不窮，讓人耳目一新，同時(shí)它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無(wú)法打開下面通過(guò)對(duì)典型例題的剖析、數(shù)學(xué)文化的介紹、及精選模擬題的求解，讓學(xué)生提升審題能力，增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，提升數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化【例1】(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為()A.fB.fC.fD.fD從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于，第一個(gè)單音的頻率為f，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，記為an，則第八個(gè)單音頻率為a8f·()81f，故選D.評(píng)析根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成等比數(shù)列【例2】(2019·邵陽(yáng)模擬)九章算術(shù)中有如下問(wèn)題：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺蒲生日自半，莞生日自倍問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？意思是：今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需時(shí)間為()(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1)A2.2天B2.4天C2.6天D2.8天C設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列an，其a13，公比為，其前n項(xiàng)和為An.莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列bn，其b11，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn.則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n6,2n1(舍去)n12.6.估計(jì)2.6天蒲、莞長(zhǎng)度相等，故選C.評(píng)析問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和相等問(wèn)題【素養(yǎng)提升練習(xí)】1中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了()A192里B96里C48里D24里B依題意，每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列an，且n6，公比q，S6378，設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，依題意有378，解得a1192.所以a2192×96.即第二天走了96里等差數(shù)列與數(shù)學(xué)文化【例3】(2019·九江模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四尺斬末一尺，重二斤問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根5尺長(zhǎng)的金杖，一頭粗，一頭細(xì)在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，問(wèn)中間3尺的重量為()A6斤B9斤 C9.5斤D12斤B依題意，金杖由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為an，則a14，a52，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2a4a1a52a36，所以a33，所以中間3尺的重量為a2a3a43a39(斤)故選B.評(píng)析金杖由粗到細(xì)，每一尺的重量成等差數(shù)列，可用等差數(shù)列的性質(zhì)求解【素養(yǎng)提升練習(xí)】2(2019·石家莊模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家提出的“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁(yè)，堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們定理涉及的是數(shù)的整除問(wèn)題，其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)、當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活中都有著廣泛應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2 019這2 019個(gè)整數(shù)中能被5除余2且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A58B59 C60D61A由數(shù)能被5除余2且被7除余2的數(shù)就是能被35整除余2的數(shù)，故an2(n1)3535n33，由an35n332 019，得n58，nN*，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為58.- 11 -