2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 三角函數(shù)、解三角形 第7節(jié) 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例教學(xué)案 文 北師大版

第七節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例最新考綱能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第78頁(yè))測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角方位角的范圍是0°360°方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如北偏東，即由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向，南偏西，即由正南方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向，其他方向角類似例：(1)北偏東：(2)南偏西：一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是.()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)m.50由正弦定理得，又B30°，AB50(m)2.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角為60°，則山高h(yuǎn)_米a由題圖可得PAQ30°，BAQ15°，PAB中，PAB15°，又PBC60°，BPA(90°)(90°)30°，PBa，PQPCCQPB·sin asin a×sin 60°asin 15°a.3.如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB_.a由已知得DAC30°，ADC為等腰三角形，ACa，所以在RtACB中，ABAC·sinACBa.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第79頁(yè))考點(diǎn)1解三角形中的實(shí)際問(wèn)題利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)分析理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖(2)建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解(1)江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距_m.(2)如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳 B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120°；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150°；從D處再攀登800米可到達(dá)C處，則索道AC的長(zhǎng)為_(kāi)米(1)10(2)400(1)如圖，OMAOtan 45°30(m)，ONAOtan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)(2)在ABD中，BD400米，ABD120°.因?yàn)锳DC150°，所以ADB30°.所以DAB180°120°30°30°.由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150°，由余弦定理得AC2AD2CD22·AD·CD·cosADC(400)280022×400×800×cos 150°4002×13，解得AC400(米)故索道AC的長(zhǎng)為400米(1)實(shí)際測(cè)量中的常見(jiàn)問(wèn)題求AB圖形需要測(cè)量的元素解法求豎直高度底部可達(dá)ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可達(dá)ACB，ADB，CDa解兩個(gè)直角三角形AB求水平距離山兩側(cè)ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河兩岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河對(duì)岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC；在BDC中，BC；在ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB(2)三角應(yīng)用題求解的關(guān)鍵是正確作圖(平面圖、立體圖)，并且條件對(duì)應(yīng)好(仰角、俯角、方向角等)1.一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60°的方向上，行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°的方向上，這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)km.30如圖，由題意知，BAC30°，ACB105°，B45°，AC60，由正弦定理得，BC30(km)2.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_(kāi)在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.考點(diǎn)2平面幾何中的解三角形問(wèn)題與平面圖形有關(guān)的解三角形問(wèn)題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問(wèn)題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果如圖，在平面四邊形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面積；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.解(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22AB·BC·cosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面積SABCAB·BC·sinABC×1××.(2)設(shè)CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA，由正弦定理得，即，兩式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又因?yàn)閟in2cos21，所以sin ，即sinCAD.做題過(guò)程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問(wèn)題如圖，在平面四邊形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面積為，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的長(zhǎng)解(1)因?yàn)锳BD的面積SAD×ABsinDAB×2×3sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosDABcos .由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)因?yàn)锳BBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DC·BCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的長(zhǎng)為.考點(diǎn)3與三角形有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題解三角形問(wèn)題中，求解某個(gè)量(式子)的最值(范圍)的基本思路為：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大(1)(2019·安徽六安模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，b4，則ABC的面積的最大值為()A4B2C2D.(2)(2019·福建漳州二模)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3acos Abcos Cccos B，bc3，則a的最小值為()A1B. C2D3(1)A(2)B(1)在ABC中，(2ac)cos Bbcos C，(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)sin A，cos B，即B，由余弦定理可得16a2c22accos Ba2c2ac2acac，ac16，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào)，ABC的面積Sacsin Bac4.故選A.(2)在ABC中，3acos Abcos Cccos B，3sin Acos Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A，即3sin Acos Asin A，又A(0，)，sin A0，cos A.bc3，兩邊平方可得b2c22bc9，由b2c22bc，可得92bc2bc4bc，解得bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立，由a2b2c22bccos A，可得a2b2c2bc(bc)29×3，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立，a的最小值為.故選B.求解三角形中的最值、范圍問(wèn)題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)涉及求范圍的問(wèn)題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)注意題目中的隱含條件，如本例中銳角三角形的條件，又如ABC，0A，bcabc，三角形中大邊對(duì)大角等1.在鈍角ABC中 ，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acos Absin A，則sin Asin C的最大值為()A.B.C1D.Bacos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又B為鈍角，BA，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A2，sin Asin C的最大值為.2在ABC中，b，B60°.(1)求ABC周長(zhǎng)l的范圍；(2)求ABC面積最大值解(1)lac，b23a2c22accos 60°a2c2ac，(ac)23ac3，(ac)233ac3×，ac2，當(dāng)僅僅當(dāng)ac時(shí)，取“”，又ac，2l3.(2)b23a2c2ac2acac，ac3，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，取“”，SABCacsin B×3×sin 60°，ABC面積最大值為.教師備選例題設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，abtan A，且B為鈍角(1)證明：BA；(2)求sin Asin C的取值范圍解(1)證明：由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sinBsin .因?yàn)锽為鈍角，所以A為銳角，所以A，則BA，即BA.(2)由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A12.因?yàn)?A，所以0sin A，因此2.由此可知sin Asin C的取值范圍是.- 10 -