2021高考數(shù)學一輪復習 第9章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學案 文 北師大版

第9章 平面解析幾何全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般為2道小題和1道解答題，分值約占22分.2.考查內容高考小題重點考查直線與圓的位置關系、圓錐曲線的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系及兩種圓錐曲線的綜合問題解答題一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等問題，難度較大.3.備考策略(1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律求圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程問題；圓錐曲線的幾何性質及應用問題；直線與圓、圓錐曲線的位置關系問題；圓錐曲線的定點、定值、最值、范圍問題.(2)重視函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論思想的應用.第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程最新考綱1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關系(對應學生用書第143頁)1直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角當直線l與x軸平行時，它的傾斜角為0°.(2)傾斜角的范圍為0°180°.2斜率公式(1)直線l的傾斜角為90°，則斜率ktan_，當90°時，直線斜率不存在(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0，A2B20平面內所有直線都適用1牢記傾斜角與斜率k的關系(1)當且由0增大到時，k的值由0增大到.(2)當時，k也是關于的單調函數(shù)，當在此區(qū)間內由增大到()時，k的值由趨近于0(k0)2特殊直線的方程(1)直線過點P1(x1，y1)，垂直于x軸的方程為xx1；(2)直線過點P1(x1，y1)，垂直于y軸的方程為yy1；(3)y軸的方程為x0；(4)x軸的方程為y0.一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(3)過定點P0(x0，y0)的直線都可用方程yy0k(xx0)表示()(4)經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1若過點M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1B4C1或3D1或4A由題意得1，解得m1.2已知直線l經過點P(2,5)，且斜率為，則直線l的方程為()A3x4y140B3x4y140C4x3y140D4x3y140A由y5(x2)得3x4y140，故選A.3已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，則經過點A(a，b)，B(a，c)的直線的傾斜角為_，直線AB的方程為_xa由題意知，直線AB垂直于x軸，因此直線AB的傾斜角為，直線AB的方程為xa.4在x軸，y軸上的截距分別是4，3的直線方程為_3x4y120由題意知，直線方程為1，即3x4y120.(對應學生用書第144頁)考點1直線的傾斜角和斜率斜率取值范圍的兩種求法數(shù)形結合法作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數(shù)的單調性確定函數(shù)圖像法根據(jù)正切函數(shù)圖像，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可1.(2019·安慶模擬)直線x(a22)y10的傾斜角不可能為()A.B.C.D.D設直線x(a22)y10的傾斜角為，0，)，則tan .又tan，故不可能為.2若直線l的斜率k1,1，則直線l的傾斜角的范圍是_當1k0時，當0k1時，0.因此的取值范圍是.3直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為_(，1，)如圖，kAP1，kBP，k(，1，)直線的傾斜角和斜率的范圍互求時，要充分利用ytan x的單調性考點2直線方程1求解直線方程的兩種方法直接法根據(jù)已知條件，選擇適當?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程待定系數(shù)法設所求直線方程的某種形式；由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；解這個方程(組)求出參數(shù)；把參數(shù)的值代入所設直線方程2.謹防三種失誤(1)應用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在(2)應用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.(3)應用一般式AxByC0確定直線的斜率時注意討論B是否為0.(1)若直線經過點A(5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為_(2)若直線經過點A(，3)，且傾斜角為直線xy10的傾斜角的一半，則該直線的方程為_(3)在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，則直線MN的方程為_(1)x2y10或2x5y0(2)xy60(3)5x2y50(1)當橫截距、縱截距均為零時，設所求的直線方程為ykx，將(5,2)代入ykx中，得k，此時，直線方程為yx，即2x5y0.當橫截距、縱截距都不為零時，設所求直線方程為1，將(5,2)代入所設方程，解得a，此時，直線方程為x2y10.綜上所述，所求直線方程為x2y10或2x5y0.(2)由xy10得此直線的斜率為，所以傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為.又直線過點A(，3)，所以所求直線方程為y3(x)，即xy60.(3)設C(x0，y0)，則M，N.因為點M在y軸上，所以0，所以x05.因為點N在x軸上，所以0，所以y03，即C(5，3)，所以M，N(1,0)，所以直線MN的方程為1，即5x2y50.當直線在x軸、y軸上的截距相等或具有倍數(shù)關系時，一般要分截距為零和不為零兩種情況求解，當出現(xiàn)截距之和或橫截距大于縱截距時，此時橫、縱截距均不為零，可直接用待定系數(shù)法求解1.經過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為_2x3y0或xy50設直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過點(0,0)和(3,2)，l的方程為yx，即2x3y0.若a0，則設l的方程為1，l過點(3,2)，1，a5，l的方程為xy50，綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.2過點(1,2)，傾斜角的正弦值是的直線方程是_xy10或xy30由題意知，傾斜角為或，所以斜率為1或1，直線方程為y2x1或y2(x1)，即xy10或xy30.3過點P(3,0)有一條直線l，它夾在兩條直線l1：2xy20與l2：xy30之間的線段恰被點P平分，則直線l的方程為_8xy240設直線l與l1，l2的交點分別為A，B，設A(x1，y1)，則B(6x1，y1)由題意得解得即A.直線l的方程為，即8xy240.考點3直線方程的綜合應用與直線方程有關問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關的最值問題：先設出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值(2)求參數(shù)值或范圍：注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的性質或基本不等式求解過點P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標原點(1)當AOB面積最小時，求直線l的方程；(2)當|OA|OB|取最小值時，求直線l的方程解設直線l：1(a0，b0)，因為直線l經過點P(4,1)，所以1.(1)12，所以ab16，當且僅當a8，b2時等號成立，所以當a8，b2時，AOB的面積最小，此時直線l的方程為1，即x4y80.(2)因為1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)·5529，當且僅當a6，b3時等號成立，所以當|OA|OB|取最小值時，直線l的方程為1，即x2y60.涉及與直線在x軸，y軸上的截距有關的問題，可設直線方程為截距式教師備選例題如圖，在兩條互相垂直的道路l1，l2的一角，有一個電線桿，電線桿底部到道路l1的垂直距離為4米，到道路l2的垂直距離為3米，現(xiàn)在要過電線桿的底部靠近道路的一側修建一條人行直道，使得人行道與兩條垂直的道路圍成的直角三角形的面積最小，則人行道的長度為_米10如圖建立平面直角坐標系，設人行道所在直線方程為y4k(x3)(k0)，所以A，B(0,43k)，所以ABO的面積S(43k)，因為k0，所以9k224，當且僅當9k，即k時取等號，此時，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的長度為10米1.一條直線經過點A(2,2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_x2y20或2xy20設所求直線的方程為1.A(2,2)在直線上，1.又因直線與坐標軸圍成的三角形面積為1，|a|·|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程組(2)無解故所求的直線方程為1或1，即x2y20或2xy20為所求直線的方程2已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當0a2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)a_.由題意知直線l1，l2恒過定點P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a4，當a時，四邊形的面積最小，故實數(shù)a的值為.- 8 -