2022年高三數(shù)學第一次模擬考試試卷 文（含解析）新人教A版

2022年高三數(shù)學第一次模擬考試試卷 文（含解析）新人教A版注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、選擇題（題型注釋）1已知集合（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】試題分析：先求出集合，然后根據(jù)集合與集合的交集可得，.故應(yīng)選D.考點：集合的基本運算.2已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)等于（ ）A.2 B. C. D.【答案】A.【解析】試題分析：利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的定義知，解得.故應(yīng)選A.考點：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（ ）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 【答案】B.【解析】試題分析：若，則，由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)知，在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，即“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分條件；反過來，若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則，即，不能推出，即“”不是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的必要條件.綜上所述，“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分不必要條件，故應(yīng)選B.考點：二次函數(shù)的單調(diào)性；充分條件與必要條件.4已知函數(shù)，則實數(shù)的值等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B.【解析】試題分析：根據(jù)分段函數(shù)的解析式，由即可得到，故應(yīng)選B.考點：分段函數(shù)求值.5已知兩個不同的平面和兩個不重合的直線m、n，有下列四個命題：若； 若；若； 若.其中正確命題的個數(shù)是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D.【解析】試題分析：對于，因為，所以直線與平面所成的角為，又因為，所以直線與平面所成的角也為，即命題成立，故正確；對于，若，則經(jīng)過作平面，設(shè)，又因為，所以在平面內(nèi)，所以直線、是平行直線.因為，所以.經(jīng)過作平面，設(shè)，用同樣的方法可以證出.因為、是平面內(nèi)的相交直線，所以，故正確；對于，因為，所以.又因為，所以，故正確；對于，因為，當直線在平面內(nèi)時，成立，但題設(shè)中沒有在平面內(nèi)這一條件，故不正確.綜上所述，其中正確命題的個數(shù)是3個，應(yīng)選D.考點：平面的基本性質(zhì)及推論.6若實數(shù)滿足條件，則的最大值是（ ）A.8 B.7 C.4 D.2【答案】B.【解析】試題分析：首先根據(jù)題意畫出約束條件所表示的區(qū)域如下圖所示，然后令，則，要求的最大值，即是求的截距最大，由圖可知，當直線過點C時，其截距最大，聯(lián)立直線方程，解之得，即點C的坐標為，將其代入得，.考點：線性規(guī)劃.7一個三棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正三角形，其正（主）視圖如右圖所示.該三棱錐側(cè)面積和體積分別是（ ）A. B.C. D. 【答案】A.【解析】試題分析： 如圖，由題意得三棱錐中，高，是邊長為2的等邊三角形，所以，所以該三棱錐的體積.又因為平面，所以點是的重心，所以，所以，所以該三棱錐側(cè)面積.故應(yīng)選A.考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積.8若函數(shù)的大致圖像如右圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖像是（ ）【答案】B.【解析】試題分析：由函數(shù)的圖像為減函數(shù)可知，再由圖像的平移知，的圖像由向左平移可知，故函數(shù)的大致圖像為B選項.考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).9已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】試題分析：雙曲線的漸近線方程是，過右焦點分別作兩條漸近線的平行線和，由下圖圖像可知，符合條件的直線的斜率的范圍是.故應(yīng)選A.考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；雙曲線的簡單性質(zhì).10設(shè)向量，定義一種運算“”。向量.已知，點的圖象上運動，點Q在的圖象上運動且滿足（其中O為坐標原點），則的最小值為（ ）A. B. C.2 D.【答案】B.【解析】試題分析：由題意知，點P的坐標為，則，又因為點Q在的圖象上運動，所以點Q的坐標滿足的解析式，即.所以函數(shù)的最小值為-2.故應(yīng)選B.考點：平面向量的坐標運算.第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題（題型注釋）11某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值等于 .【答案】.【解析】試題分析：當時，第一次執(zhí)行循環(huán)體：，；第二次執(zhí)行循環(huán)體：，；第三次執(zhí)行循環(huán)體：，；第四次執(zhí)行循環(huán)體：，此時輸出.考點：程序框圖與算法.12函數(shù)的圖像，其部分圖象如圖所示，則_.【答案】.【解析】試題分析：由圖像可知，所以，所以，所以，即函數(shù)，由五點對應(yīng)法可知，當時，有，所以，所以，所以.故應(yīng)填.考點：由函數(shù)的部分圖像確定其解析式.13已知圓C過點，且圓心在軸的負半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則圓C的標準方程為 .【答案】.【解析】試題分析：設(shè)圓C的圓心C的坐標為，則圓C的標準方程為.圓心C到直線的距離為：，又因為該圓過點，所以其半徑為.由直線被該圓所截得的弦長為以及弦心距三角形知，即，解之得：或（舍）.所以，所以圓C的標準方程為.考點：圓的標準方程；直線與圓的位置關(guān)系.14下面給出的四個命題中：以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為；若，則直線與直線相互垂直；命題“，使得”的否定是“，都有”；將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象。其中是真命題的有_（將你認為正確的序號都填上）【答案】.【解析】試題分析：拋物線是焦點為，圓的半徑為，所以圓的方程為，正確；當時，兩直線方程為和，兩直線垂直，所以正確；根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可知其正確；函數(shù)向右平移，得到的函數(shù)為，所以不正確.所以正確的命題有.故應(yīng)填.考點：特稱命題；命題的否定；函數(shù)的圖像變換；拋物線的簡單性質(zhì).15已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】.【解析】試題分析：因為，所以由基本不等式知，當且僅當即等號成立.問題恒成立轉(zhuǎn)化為，即，由一元二次不等式解法知，.考點：一元二次不等式及其解法；均值不等式的應(yīng)用.評卷人得分三、解答題（題型注釋）16在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為，且滿足，.（1）求的面積；（2）若、的值.【答案】（1）2；（2），.【解析】試題分析：（1）首先利用倍角公式可求得的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出的值；然后運用數(shù)量積的定義化簡得出；最后運用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；（2）由（1）知，因為已知，可求出，利用余弦定理可計算出的值，再由正弦定理即可求出的值，即為所求.試題解析：（1）,而 又， （2）而， 又，考點：向量的數(shù)量積；余弦定理；正弦定理.17如圖所示，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點.（1）求證：BC/平面EFG；（2）求證：平面AEG；（3）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比.【答案】（1）因為BCAD,ADEF,所以BCEF.因為，所以平面EFG；（2）因為PA平面ABCD，所以PADH ，即 AEDH因為ADGDCH ，所以HDC=DAG，AGD+DAG=90°，所以AGD+HDC=90°，所以DHAG 又因為AEAG=A，所以DH平面AEG；（3）.【解析】試題分析：（1）首先利用平行公理即平行的傳遞性證明BCEF，再由已知條件并運用線面平行的判定，證明平面EFG；（2）由已知PA平面ABCD，可得PADH即證明了AEDH，然后利用ADGDCH 得出對應(yīng)角相等即HDC=DAG，AGD+DAG=90°即證明了DHAG，從而由直線與平面的判定定理可證DH平面AEG；（3）由三棱錐的等體積可得，然后根據(jù)三棱錐和四棱錐的體積計算公式即可求出其體積比.試題解析：（1）因為BCAD,ADEF,所以BCEF.因為，所以平面EFG.（2）因為PA平面ABCD，所以PADH ，即 AEDH因為ADGDCH ，所以HDC=DAG，AGD+DAG=90°，所以AGD+HDC=90°，所以DHAG 又因為AEAG=A，所以DH平面AEG.（3）.考點：組合幾何體的面積、體積問題；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定.18某公司有男職員45名，女職員15名，按照分層抽樣的方法組建了一個4人的科研攻關(guān)小組.（1）求某職員被抽到的概率及科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；（2）經(jīng)過一個月的學習、討論，這個科研攻關(guān)組決定選出兩名職員做某項實驗，方法是先從小組里選出1名職員做實驗，該職員做完后，再從小組內(nèi)剩下的職員中選一名做實驗，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率；（21）試驗結(jié)束后，第一次做試驗的職員得到的試驗數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74，第二次做試驗的職員得到的試驗數(shù)據(jù)為69，70，70，72，74，請問哪位職員的實驗更穩(wěn)定？并說明理由.【答案】（1）某職員被抽到的概率為；男、女職員的人數(shù)分別為3,1；（2）；（3）第二次做試驗的職員做的實驗更穩(wěn)定.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，由總?cè)藬?shù)與抽取的人數(shù)，計算可得某職員被抽到的概率，進而設(shè)出該科研攻關(guān)小組中男職員的人數(shù)為，由分層抽樣的方法可得，解之可得的值，即可得出該科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù)；（2）先計算出選出兩名職員的基本事件數(shù)，有共12種；再算出恰有一名女職員的事件數(shù)，最后由古典概型的計算公式即可得出所求的概率；（3）由題意計算出兩名職員的平均數(shù)和方差，并比較大小，依據(jù)在均值相同的情況下，方差越小其穩(wěn)定程度越好，即可判斷哪位職員做的實驗更穩(wěn)定.試題解析：（1）所以某職員被抽到的概率為.設(shè)有名男職員，則，所以，所以男、女職員的人數(shù)分別為3,1.（2）把3名男職員和1名女職員記為，則選取兩名職員的基本事件有共12種，其中有一名女職員的有6種.所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為.（3），第二次做試驗的職員做的實驗更穩(wěn)定.考點：古典概型及其計算公式；極差、方差與標準差；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.19在數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足的前項和.【答案】（1）；（2）因為，所以.因為，公差，所以數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列.（3）.【解析】試題分析：（1）直接由題意知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式知，即為所求；（2）將（1）中的結(jié)論代入中，化簡得，由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列.即為所證.（3）由（1）和（2）知，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列.所以數(shù)列的前項和可用分組求和進行計算得出結(jié)果.試題解析：（1）,數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，.（2）因為，所以.因為，公差，所以數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列.（3）由（1）知，, 所以 所以.考點：等差數(shù)列；等比數(shù)列；分組求和.20已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；（3）設(shè)在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）；（3）當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為.【解析】試題分析：（1）先求出導函數(shù)，分別令導函數(shù)大于0即可求出增區(qū)間，導數(shù)小于0即可求出減區(qū)間；（2）首先設(shè)出切點坐標，然后直接利用切線的斜率即為切點處的導數(shù)值以及切點是直線與曲線的共同點可得方程組，解之即可求實數(shù)的值；（3）先求出的導函數(shù)，分三種情況討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即當，即時， 在區(qū)間上為增函數(shù)，所以最小值為；當，即時，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以最小值為；當，即時，最小值=.進而求得其在區(qū)間上的最小值.試題解析：（1），（），在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）設(shè)切點坐標為，則 ,解得，.（3），則，令，解得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最小值為.當，即時，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最小值為.當，即時，最小值=.綜上所述，當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為.考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值.21已知橢圓過點，且長軸長等于4.（1）求橢圓C的方程；（2）是橢圓C的兩個焦點，圓O是以為直徑的圓，直線與圓O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A，B，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由題意長軸長為4求得的值，在由橢圓過點建立方程求解即可求出其標準方程；（2）由于圓O是以為直徑的圓，直線與圓O相切，利用直線與圓相切的充要條件得到一個等式，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用整體代換的思想，根據(jù)建立k的方程求k即可.試題解析：（1）由題意，橢圓的長軸長，得，因為點在橢圓上，所以得，所以橢圓的方程為.（2）由直線l與圓O相切，得，即，設(shè)，由消去y，整理得由題意可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交，所以.所以因為，所以.又因為，所以，得k的值為.考點：橢圓的標準方程.