2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4篇 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4篇 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 平面向量的數(shù)量積 3、4、8 平面向量的夾角及垂直問題 2、5、9 平面向量的模 1、6、7 平面向量數(shù)量積的綜合問題 10、11、12 平面向量與其他知識交匯問題 13、14、15、16 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(xx高考遼寧卷)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為(　A　) (A)(,-) (B)（,-） (C)（-,） (D)（-,） 解析:=(3,-4),則與同方向的單位向量為=(3,-4)=

2、（,-）.故選A. 2.(xx高考四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m等于(　D　) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 解析:法一　由已知得c=(m+4,2m+2),因?yàn)閏os=, cos=,所以=,又由已知得|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,即2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故選D. 法二　易知c是以ma,b為鄰邊的平行四邊形的對角線向量,因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角,則m>0,所以該平行四邊形為菱形,又由已知得|b|=2|a|

3、,故m=2.故選D. 3.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,則a·b等于(　A　) (A)-10 (B)-6 (C)0 (D)6 解析:由a∥b得2x=-4,x=-2, 故a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10.故選A. 4.若向量a,b滿足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則|b|等于(　B　) (A)2 (B) (C)1 (D) 解析:利用向量的運(yùn)算列式求解. 由題意知 即 將①×2-②得,2a2-b2=0, ∴b2=|b|2=2a2=2|a|2=2, 故|b|=. 故選B. 5.在△ABC中,=(cos 18°,cos 72

4、°),=(2cos 63°,2cos 27°),則角B等于(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:·=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27° =2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin 18° =2sin(27°+18°) =2sin 45° =. 而||=1,||=2,∴cos B==, 又B∈(0,π), ∴B=. 故選B. 二、填空題 6.(xx四川成都石室模擬)已知向量a、b滿足a=(1,0),b=(2,4),則|a+b|=　　　　.? 解析:|a+b|=|(3,4)|==5. 答案:5 7.(xx高考江西卷

5、)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β=　　　　.? 解析:a·b=(3e1-2e2) ·(3e1-e2) =9+2-9×1×1×=8, ∵|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9. ∴|a|=3. 同理,|b|=2. ∴cos β===. 答案: 8. 正三角形ABC中,D是邊BC上的點(diǎn),AB=3,BD=1,則·=　　　　.? 解析:法一　·=3×3×cos 60°=, =+=+=+(-) =+, ∴·=·（+） =+·=. 法二　 以B為原點(diǎn),BC所在的直線

6、為x軸,建立坐標(biāo)系, 則B(0,0),A（,）,D(1,0). 所以=（-,-）, =（-,-）, 所以·=（-）×（-）+（-）2=. 答案: 9.(xx安徽巢湖模擬)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a與b的夾角為銳角,則λ的取值范圍是　　　　.? 解析:由題意知,a·b>0且a與b不共線, 所以解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值范圍是（-∞,-）∪（0,）∪（,+∞）. 答案:（-∞,-）∪（0,）∪（,+∞） 10.關(guān)于平面向量a,b,c,有以下命題: ①若a·b=a·c,則b=c. ②若a=(1,k),b=(-2,6),a⊥b,則k=. ③非

7、零向量a和b,滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為60° ④非零向量a和b,滿足|a+b|=|a-b|,則a⊥b 其中真命題的序號為　　　　.? 解析:命題①明顯不正確;對于②向量垂直的充要條件易得k=,命題②正確;對于③,可結(jié)合平行四邊形法則,得a與a+b的夾角為30°,命題③不正確;對于④,由|a+b|=|a-b|得(a+b)2=(a-b)2,∴a·b=0,∴a⊥b,命題④正確. 答案:②④ 三、解答題 11.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若a⊥b,求x的值; (2)若a∥b,求|a-b|. 解:(1)由a⊥b,得a

8、·b=0, 故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3. (2)a-b=(-2x-2,2x), 因?yàn)閍∥b,所以x(2x+3)+x=0, 解得x=0或x=-2. 當(dāng)x=0時(shí),a-b=(-2,0),|a-b|==2. 當(dāng)x=-2時(shí),a-b=(2,-4),|a-b|==2. 綜上,|a-b|為2或2. 12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1)求a與b的夾角θ; (2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求△ABC的面積. 解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b

9、|=3, ∴64-4a·b-27=61, ∴a·b=-6. ∴cos θ===-. 又0≤θ≤π,∴θ=. (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|=. (3)∵與的夾角θ=, ∴∠ABC=π-=. 又||=|a|=4,||=|b|=3, ∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3. 能力提升 13.已知向量=(2,2),=(4,1),在x軸上存在一點(diǎn)P使·有最小值,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是(　C　) (A)(-3,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(4,0) 解析:設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

10、x,0), 則=(x-2,-2),=(x-4,-1). ·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1. 當(dāng)x=3時(shí),·有最小值1. ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0).故選C. 14.(xx河南鄭州模擬)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,其內(nèi)切圓切AC邊于D點(diǎn),O為圓心.若||=2||=2,則·=　　　　.? 解析:以CA所在的直線為x軸,CB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0)、O(1,1)、A(3,0). 設(shè)直角三角形內(nèi)切圓與AB邊交于點(diǎn)E,與CB邊交于點(diǎn)F,則由圓的切線長定理可得BE=BF,AD=AE=2,設(shè)BE=BF=x,在R

11、t△ABC中,可得CB2+CA2=AB2,即(x+1)2+9=(x+2)2,解得x=3,故B(0,4). ∴·=(1,-3)·(-3,0)=-3. 答案:-3 15.(xx西安模擬)在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(-sin A,cos A),若|m+n|=2. (1)求角A的大小; (2)若b=4,且c=a,求△ABC的面積. 解:(1)|m+n|== =, 所以4+4cos（+A）=4,所以cos（+A）=0. 又因?yàn)锳∈(0,π),故+A=,所以A=. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

12、A,即a2=(4)2+(a)2-2×4×acos ,解得a=4,所以c=8,所以S△ABC=×4×8×=16. 探究創(chuàng)新 16.(xx衡水中學(xué)調(diào)研)已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有極值,則向量a與b的夾角的范圍是(　C　) (A)[0,) (B)(,π] (C)(,π] (D)(,π) 解析:設(shè)a與b的夾角為θ. ∵f(x)=x3+|a|x2+a·bx, ∴f′(x)=x2+|a|x+a·b. ∵函數(shù)f(x)在R上有極值, ∴方程x2+|a|x+a·b=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, 即Δ=|a|2-4a·b>0,∴a·b<, 又∵|a|=2|b|≠0,∴cos θ=<=, 即cos θ<,又∵θ∈[0,π],∴θ∈(,π],故選C.