2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜述】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測(cè)評(píng)學(xué)生，有利于學(xué)生自我評(píng)價(jià)，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時(shí)對(duì)觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 【題文】第 Ⅰ 卷（選擇題 共 共 60 分） 【題文】一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1.設(shè)全集U=R，集

2、合A=｛x|y=｝,B={y|y=},則=( ) A.[-1,0] B.(-1,0) C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域；函數(shù)的值域；集合運(yùn)算. B1 A1 【答案】【解析】C 解析：A=(-1，1)，B=，故=，所以選C. 【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)集合A、B，再由補(bǔ)集、交集的意義求得結(jié)論. 【題文】2.已知函數(shù)，則= （ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的函數(shù)值. B1 【答案】【解析】C 解析：∵，∴=， 故選C. 【思路點(diǎn)撥】先分析在哪兩個(gè)整數(shù)之間，利用x≥1時(shí)的條件，把其變換到x<1

3、的情況，再用x<1時(shí)的表達(dá)式求解. 【題文】3.下列命題中，真命題是（ ） A.對(duì)于任意x∈R，； B.若“p且q”為假命題，則p,q 均為假命題； C.“平面向量的夾角是鈍角”的充分不必要條件是“”； D.存在m∈R，使是冪函數(shù)，且在上是遞減的. 【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；必要條件；基本邏輯聯(lián)結(jié)詞及量詞. A2 A3 【答案】【解析】D 解析：x=2時(shí)不成立，所以A 是假命題；若“p且q”為假命題，則p,q可以一真一假，所以B是假命題；因?yàn)闀r(shí)，向量可能共線反向，即 夾角是180°，不是鈍角，所以C是假命題；而當(dāng)m=2時(shí)，是冪函數(shù)，且在上是遞減的，所以D成立

4、.故選 D. 【思路點(diǎn)撥】逐個(gè)分析每個(gè)命題的真假. 【題文】4.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比q=（ ） A.1或-1 B.1 C. -1 D. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和. D2 【答案】【解析】A 解析：當(dāng)q=1 時(shí)，成立；當(dāng)q≠1時(shí)， ，綜上得q=1或-1,故選A. 【思路點(diǎn)撥】分q=1與q≠1兩種情況討論求解. 【題文】5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃的應(yīng)用. E5 【答案】【解析】B 解析：因?yàn)?，所以要求z的最大值，只需求

5、的最小值，畫出可行域可得，使取得最小值的最優(yōu)解為A（，2）， 代入得所求為，故選B. 【思路點(diǎn)撥】把目標(biāo)函數(shù)化為，則只需求可行域中的點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（-1，-1）確定的直線的斜率的最小值即可. 【題文】6.設(shè)向量，其中，若，則=（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；已知三角函數(shù)值求角. F2 F3 C7 【答案】【解析】D 解析：因?yàn)椋? 所以，又因?yàn)? ， 所以 因?yàn)?，所?，故選D. 【思路點(diǎn)撥】利用向量的模與向量數(shù)量積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，從而得 ，再由得結(jié)論. 【題文】7.設(shè)，若，則

6、的最小值為（ ） A． B. 6 C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式 E6 【答案】【解析】A 解析：由題可知故選A. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)不等式成立的條件，可湊出應(yīng)用基本不等式的條件，最后找出結(jié)果. 【題文】8. 中內(nèi)角A,B,C,所對(duì)的邊分別為a,b,c,若， 則角A=( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理 ；余弦定理 C8 【答案】【解析】A 解析：由已知條件可知，再由余弦定理可知， 【思路點(diǎn)撥】由正弦定理可得到角與邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理可求出角的余弦值. 【題文】9.已知在處的極值為

7、10，則（ ） A.0或-7 B.-7 C.0 D. 7 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 B11 【答案】【解析】B 解析：=3x2+2ax+b， 由題意得，=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a2=10②， 聯(lián)立①②解得或， 當(dāng)a=﹣3，b=3時(shí)，=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2， x＜1或x＞1時(shí)，＞0，所以x=1不為極值點(diǎn)，不合題意； 經(jīng)檢驗(yàn)，a=4，b=﹣11符合題意，所以 故答案為：B 【思路點(diǎn)撥】求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值，注意檢驗(yàn)． 【題文】10.已知函

8、數(shù)，則函數(shù)的大致圖像為（ ） 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象與性質(zhì) B8 【答案】【解析】A 解析：由函數(shù)的奇偶性可知函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以排除B,C,再令，說明當(dāng)x為負(fù)值時(shí)，有小于零的函數(shù)值，所以排除D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)排除不正確的選項(xiàng)，現(xiàn)由特殊值判定函數(shù)的情況，最后可得解. 【題文】11.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用 H4 【答案】【解析】C 解析：將圓C的方

9、程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣4）2+y2=1， ∴圓心C（4，0），半徑r=1， ∵直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)， ∴只需圓C′：（x﹣4）2+y2=4與y=kx﹣2有公共點(diǎn)， ∵圓心（4，0）到直線y=kx﹣2的距離d=≤2， 解得：0≤k≤．故答案為：[0，]． 【思路點(diǎn)撥】將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，得到以C為圓心，2為半徑的圓與直線y=kx﹣2有公共點(diǎn)，即圓心到直線y=kx﹣2的距離小于等于2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)

10、于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范圍． 【題文】12.已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程 B9 【答案】【解析】B 解析：由題可知有一個(gè)根，即，所以可變?yōu)榕c只有一個(gè)交點(diǎn)的問題，由兩個(gè)函數(shù)的圖象可知，所以選B. 【思路點(diǎn)撥】函數(shù)與方程的問題，也是數(shù)形結(jié)合的問題，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)系可求出結(jié)果. 【題文】第 Ⅱ 卷（非選擇題共90 分） 【題文】二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共20 分.將答案填在題中的橫線上. 【題文】13. 已知，則的值為_______

11、_. 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式;二倍角公式.. C2 C7 【答案】【解析】 解析： 【思路點(diǎn)撥】用已知角表示未知角，再結(jié)合二倍角公式即可。 【題文】14. . 某空間幾何體的三視圖如圖所示， 則這個(gè)空間幾何體的表面積是________． 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． G2 【答案】【解析】 解析：由三視圖可知，該幾何體為上部為半徑為的球，下部為半徑為1，高為2的半個(gè)圓柱，幾何體的表面積為等于球的表面積：4π×=π，半圓柱的底面面積為2××=，半圓柱的側(cè)面積為2×（2+）=4+2．幾何體的表面積為：． 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知，該幾何體為

12、上部為半徑為的球，下部為半徑為1，高為2的半個(gè)圓柱，利用相關(guān)的面積公式求解即可解答． 【題文】15. 已知雙曲線 C ：的離心率為， A B 為左、右頂點(diǎn)，點(diǎn) P 為雙曲線 C 在第一象限的任意一點(diǎn)，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA， PB ，PO 的斜率分別為，記，則 m 的取值范圍為________. 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． H6 【答案】【解析】 解析：∵雙曲線 C ：的離心率為， ∴∴,設(shè)P ,∵點(diǎn) P 為雙曲線 C 在第一象限的任意一點(diǎn)，∴,即,∵A B 為左、右頂點(diǎn)，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA， PB ，PO 的斜率分別為，∴, 又∵雙曲線漸近線為,∴,∴

13、0<<,故答案為. 【思路點(diǎn)撥】由已知條件推導(dǎo)出，， ，由此能求出的取值范圍． 【題文】16. 設(shè)集合為平面直角坐標(biāo)系 xoy 內(nèi)的點(diǎn)集，若對(duì)于任意，存在，使得，則稱點(diǎn)集 M 滿足性質(zhì) P . 給出下列四個(gè)點(diǎn)集： ① ② ③ ④ 其中所有滿足性質(zhì) P 的點(diǎn)集的序號(hào)是______． 【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.A2 【答案】【解析】③④ 解析：對(duì)于①，；，定義域是R，對(duì)于任意，不存在，使得，①不滿足點(diǎn)集M滿足性質(zhì)P． 對(duì)于②，；的定義域，對(duì)于任意，不妨取（1，0），不存在，使得，②不滿足點(diǎn)集M滿足性質(zhì)P． 對(duì)于③，．圖形是圓，對(duì)于任意，存在，x2與x1符號(hào)相

14、反，即可使得，③滿足點(diǎn)集M滿足性質(zhì)P． 對(duì)于④，．圖形是雙曲線，對(duì)于任意，存在，x2與x1符號(hào)相反，即可使得，④滿足點(diǎn)集M滿足性質(zhì)P． 正確判斷為③④． 【思路點(diǎn)撥】分析性質(zhì)P的含義，說明數(shù)量積小于0，向量的夾角是鈍角，推出結(jié)果即可． 三、解答題：本大題共 6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. . 【題文】17.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像與直線(a為常數(shù))相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求的表達(dá)式及a的值； (2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)，求其單調(diào)增區(qū)間. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 三角函數(shù)的圖

15、象與性質(zhì) C3 C7 【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)由題意得，由解析式可知函數(shù)的最小正周期為 (2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到，再向上平移1個(gè)單位，得到，即 由，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 【思路點(diǎn)撥】把式子化成一個(gè)三角函數(shù)的形式，即可求出最小正周期，再根據(jù)圖象的平移可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 【題文】18.(本小題滿分12分) 已知正項(xiàng)數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，且. (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè)，，求 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 D2 D4 【答案】【解析】(1) an=2n﹣1 (2) 解析：（1）由題設(shè)條件知4Sn=

16、（an+1）2，得4Sn+1=（an+1+1）2，兩者作差，得4an+1=（an+1+1）2﹣（an+1）2． 整理得（an+1﹣1）2=（an+1）2． 又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an+1﹣1=an+1，即an+1=an+2， 故數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為2，又4S1=4a1=（a1+1）2，解得a1=1，故有an=2n﹣1 （2）由（1）可得 ∴Tn= 【思路點(diǎn)撥】（1）由4Sn=（an+1）2，得4Sn+1=（an+1+1）2，兩者作差，研究{an}的相鄰項(xiàng)的關(guān)系，由此關(guān)系求其通項(xiàng)即可． （2）由（1）可，裂項(xiàng)求和即可． 【題文】19．（本小題滿分 12 分）

17、 在如圖所示的多面體 PMBCA 中，平面 PAC平面 ABC ，PAC是邊長(zhǎng)為 2 的正三角 形， PM / / BC ，且, . （1）求證： PA BC ； （2）若多面體 PMBCA 的體積為,求 PM 的長(zhǎng). 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積． G7 【答案】【解析】（1）見解析;（2）2 解析：(1) ∵，, ,∴，∴⊥ ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC， ∴BC⊥平面PAC， ∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA． ……………………6 分 (2)過點(diǎn) A作AD⊥PC垂足為D ,設(shè) PM 的長(zhǎng)為x ,由(1)知， BC⊥平面 PAC

18、, ∴BC⊥AD , ,∵BCPC =C, ∴AD⊥平面 BCPM , ∴AD為多面體 PMBCA 的高,且AD = ……………………8 分 又 PM / / BC ，且, ∴四邊形 BCPM 是上下底分別為x ,4, 高為2的直角梯形, ∴多面體 PMBCA的體積為, 解得,即 PM 的長(zhǎng)為 2. ……………………12 分 【思路點(diǎn)撥】（1）先證明AC⊥BC，再利用平面PAC⊥平面ABC，證明BC⊥平面PAC，即可證明PA⊥BC；（2）作AD⊥PC于點(diǎn)D，證明AD⊥平面BCPM，求出四邊形BCPM的面積，再根據(jù)多面體PMBCA的體積求出PM 的長(zhǎng)即可． 【題文】20．（本小題滿

19、分 12 分） 設(shè)函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2） 若 ， k 為整數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)， 且當(dāng)時(shí)，，求 k 的最大值． 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． B11 B12 【答案】【解析】（1）f（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增;（2）2 解析：（1）函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2的定義域是R，f′（x）=ex﹣a， 若a≤0，則f′（x）=ex﹣a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增． 若a＞0，則當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex﹣a＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，

20、f′（x）=ex﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增． （2）由于a=1，所以，（x﹣k） f′（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1 故當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k） f′（x）+x+1＞0等價(jià)于k＜（x＞0）① 令g（x）=，則g′（x）= 由（I）知，函數(shù)h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為α，則有α∈（1，2） 當(dāng)x∈（0，α）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（α，+∞）時(shí)，g′（x）

21、＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3） 由于①式等價(jià)于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2 【思路點(diǎn)撥】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母a，故應(yīng)按a的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間；（2）由題設(shè)條件結(jié)合（I），將不等式，（x﹣k） f′（x）+x+1＞0在x＞0時(shí)成立轉(zhuǎn)化為k＜（x＞0）成立，由此問題轉(zhuǎn)化為求g（x）=在x＞0上的最小值問題，求導(dǎo)，確定出函數(shù)的最小值，即可得出k的最大值. 【題文】21. （本小題滿分 12 分） 如圖，拋物線4x 的焦準(zhǔn)距

22、(焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)與橢圓 的長(zhǎng)半軸相等，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為 A，在第一象限的交點(diǎn)為 B，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 △OAB的面積為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過 A 點(diǎn)作直線交于 C、 D 兩點(diǎn)，射線 OC、 OD 分別交于 E、F 兩點(diǎn)， 記△OEF，△OCD 的面積分別為，問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求橢圓的方程；直線與圓錐曲線. H5 H8 【答案】【解析】（1）；（2）存在直線或x-y-2=0，使得，理由：見解析. 解析：(1)因?yàn)?，所以焦?zhǔn)距p=2， 由拋物線與橢圓的長(zhǎng)半軸相等知a=2，-

23、------1分 因?yàn)?所以，代入拋物線方程得，--3分 又 B 點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，解得， 故橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程是：--------5分 （2）因?yàn)橹本€不垂直于y 軸，故直線的方程可設(shè)為 x＝my＋2， 由得. 設(shè)，故.-----7分 . --------8分 又直線 OC 的斜率為，故直線 OC 的方程為：x＝， 由得，同理. 所以， --------11分 又，解得， 故存在直線或x-y-2=0，使得.-----12分 【思路點(diǎn)撥】(1)易得a=2,再由△OAB的面積及點(diǎn)B在拋物線上，得點(diǎn)B坐標(biāo)，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入橢圓方程求得b值即可；（2）由于直線不垂y

24、 軸，故直線的方程可設(shè)為 x＝my＋2， 代入拋物線方程得，由韋達(dá)定理得C、D縱坐標(biāo)關(guān)于m的等式；再用C、D縱坐標(biāo)表示E、F的縱坐標(biāo)，最后用C、D、E、F的縱坐標(biāo)表示，從而得關(guān)于m的方程，求得m值. 【題文】22. （本小題滿分 10 分） 已知函數(shù). （1）解不等式； （2）若a>0,求證：. 【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用. E2 N4. 【答案】【解析】(1) ；(2)證明：見解析. 解析：（1）由題意，得， 因此只須解不等式 ------------2分 當(dāng)x≤1時(shí)，原不式等價(jià)于-2x+3≤2，即； 當(dāng)時(shí)，原不式等價(jià)于1≤2，即； 當(dāng)x>2時(shí)，原不式等價(jià)于2x-3≤2，即. 綜上,原不等式的解集為. -------5 分 （2）由題. 當(dāng)a>0時(shí) ，= ---------10分 【思路點(diǎn)撥】（1）分段討論解含絕對(duì)值的不等式；（2）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)： 證明結(jié)論.