2022年高三數學上學期第二次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版

2022年高三數學上學期第二次聯(lián)考試題 文（含解析）新人教A版【試卷綜述】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當面的考察，覆蓋面廣，注重數學思想方法的簡單應用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學生，有利于學生自我評價，有利于指導學生的學習，既重視雙基能力培養(yǎng)，側重學生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查?！绢}文】第 卷（選擇題 共 共 60 分）【題文】一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.【題文】1.設全集U=R，集合A=x|y=,B=y|y=,則=( )A.-1,0 B.(-1,0) C. D. 【知識點】函數的定義域；函數的值域；集合運算. B1 A1 【答案】【解析】C 解析：A=(-1，1)，B=，故=，所以選C. 【思路點撥】先化簡集合A、B，再由補集、交集的意義求得結論. 【題文】2.已知函數，則= （ ）A. B. C. D. 【知識點】分段函數的函數值. B1 【答案】【解析】C 解析：，=，故選C. 【思路點撥】先分析在哪兩個整數之間，利用x1時的條件，把其變換到x<1的情況，再用x<1時的表達式求解. 【題文】3.下列命題中，真命題是（ ）A.對于任意xR，； B.若“p且q”為假命題，則p,q 均為假命題；C.“平面向量的夾角是鈍角”的充分不必要條件是“”；D.存在mR，使是冪函數，且在上是遞減的.【知識點】充分條件；必要條件；基本邏輯聯(lián)結詞及量詞. A2 A3 【答案】【解析】D 解析：x=2時不成立，所以A 是假命題；若“p且q”為假命題，則p,q可以一真一假，所以B是假命題；因為時，向量可能共線反向，即夾角是180°，不是鈍角，所以C是假命題；而當m=2時，是冪函數，且在上是遞減的，所以D成立.故選 D. 【思路點撥】逐個分析每個命題的真假. 【題文】4.設等比數列的前n項和為，若，則公比q=（ ）A.1或-1 B.1 C. -1 D. 【知識點】等比數列及其前n項和. D2 【答案】【解析】A 解析：當q=1 時，成立；當q1時，綜上得q=1或-1,故選A.【思路點撥】分q=1與q1兩種情況討論求解.【題文】5.已知實數x,y滿足約束條件，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【知識點】線性規(guī)劃的應用. E5【答案】【解析】B 解析：因為，所以要求z的最大值，只需求的最小值，畫出可行域可得，使取得最小值的最優(yōu)解為A（，2），代入得所求為，故選B. 【思路點撥】把目標函數化為，則只需求可行域中的點（x,y）與點（-1，-1）確定的直線的斜率的最小值即可. 【題文】6.設向量，其中，若，則=（ ）A. B. C. D. 【知識點】向量數量積的坐標運算；已知三角函數值求角. F2 F3 C7 【答案】【解析】D 解析：因為，所以，又因為，所以因為，所以=，故選D.【思路點撥】利用向量的模與向量數量積的關系，轉化為數量積運算，從而得，再由得結論. 【題文】7.設，若，則的最小值為（ ）A B. 6 C. D. 【知識點】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：由題可知故選A.【思路點撥】根據不等式成立的條件，可湊出應用基本不等式的條件，最后找出結果.【題文】8. 中內角A,B,C,所對的邊分別為a,b,c,若，則角A=( )A. B. C. D. 【知識點】正弦定理 ；余弦定理 C8【答案】【解析】A 解析：由已知條件可知，再由余弦定理可知，【思路點撥】由正弦定理可得到角與邊的關系，再根據余弦定理可求出角的余弦值.【題文】9.已知在處的極值為10，則（ ）A.0或-7 B.-7 C.0 D. 7【知識點】利用導數研究函數的極值 B11【答案】【解析】B 解析：=3x2+2ax+b，由題意得，=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，聯(lián)立解得或，當a=3，b=3時，=3x26x+3=3（x1）2，x1或x1時，0，所以x=1不為極值點，不合題意；經檢驗，a=4，b=11符合題意，所以故答案為：B【思路點撥】求出導函數，令導函數在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值，注意檢驗【題文】10.已知函數，則函數的大致圖像為（ ）【知識點】函數的圖象與性質 B8【答案】【解析】A 解析：由函數的奇偶性可知函數為非奇非偶函數，所以排除B,C,再令，說明當x為負值時，有小于零的函數值，所以排除D.【思路點撥】根據函數的性質排除不正確的選項，現由特殊值判定函數的情況，最后可得解.【題文】11.在平面直角坐標系xoy中，圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則實數k的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【知識點】直線和圓的方程的應用 H4【答案】【解析】C 解析：將圓C的方程整理為標準方程得：（x4）2+y2=1，圓心C（4，0），半徑r=1，直線y=kx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，只需圓C：（x4）2+y2=4與y=kx2有公共點，圓心（4，0）到直線y=kx2的距離d=2，解得：0k故答案為：0，【思路點撥】將圓C的方程整理為標準形式，找出圓心C的坐標與半徑r，根據直線y=kx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，得到以C為圓心，2為半徑的圓與直線y=kx2有公共點，即圓心到直線y=kx2的距離小于等于2，利用點到直線的距離公式列出關于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范圍【題文】12.已知函數，若函數有且只有一個零點，則實數a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【知識點】函數與方程 B9【答案】【解析】B 解析：由題可知有一個根，即，所以可變?yōu)榕c只有一個交點的問題，由兩個函數的圖象可知，所以選B.【思路點撥】函數與方程的問題，也是數形結合的問題，根據函數的圖象關系可求出結果.【題文】第 卷（非選擇題共90 分）【題文】二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共20 分.將答案填在題中的橫線上.【題文】13. 已知，則的值為_. 【知識點】誘導公式;二倍角公式. C2 C7 【答案】【解析】 解析： 【思路點撥】用已知角表示未知角，再結合二倍角公式即可。 【題文】14. . 某空間幾何體的三視圖如圖所示， 則這個空間幾何體的表面積是_【知識點】由三視圖求面積、體積 G2 【答案】【解析】 解析：由三視圖可知，該幾何體為上部為半徑為的球，下部為半徑為1，高為2的半個圓柱，幾何體的表面積為等于球的表面積：4×=，半圓柱的底面面積為2××=，半圓柱的側面積為2×（2+）=4+2幾何體的表面積為：故答案為：【思路點撥】由三視圖可知，該幾何體為上部為半徑為的球，下部為半徑為1，高為2的半個圓柱，利用相關的面積公式求解即可解答【題文】15. 已知雙曲線 C ：的離心率為， A B 為左、右頂點，點 P 為雙曲線 C 在第一象限的任意一點，點 O 為坐標原點，若直線PA， PB ，PO 的斜率分別為，記，則 m 的取值范圍為_. 【知識點】雙曲線的簡單性質 H6 【答案】【解析】 解析：雙曲線 C ：的離心率為，,設P ,點 P 為雙曲線 C 在第一象限的任意一點，,即,A B 為左、右頂點，點 O 為坐標原點，若直線PA， PB ，PO 的斜率分別為，,又雙曲線漸近線為,0<<,故答案為.【思路點撥】由已知條件推導出，由此能求出的取值范圍【題文】16. 設集合為平面直角坐標系 xoy 內的點集，若對于任意，存在，使得，則稱點集 M 滿足性質 P .給出下列四個點集：其中所有滿足性質 P 的點集的序號是_【知識點】命題的真假判斷與應用.A2 【答案】【解析】 解析：對于，；，定義域是R，對于任意，不存在，使得，不滿足點集M滿足性質P對于，；的定義域，對于任意，不妨?。?，0），不存在，使得，不滿足點集M滿足性質P對于，圖形是圓，對于任意，存在，x2與x1符號相反，即可使得，滿足點集M滿足性質P對于，圖形是雙曲線，對于任意，存在，x2與x1符號相反，即可使得，滿足點集M滿足性質P正確判斷為 【思路點撥】分析性質P的含義，說明數量積小于0，向量的夾角是鈍角，推出結果即可三、解答題：本大題共 6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. .【題文】17.已知函數，若函數的圖像與直線(a為常數)相切，并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數列.(1)求的表達式及a的值；(2)將函數的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數，求其單調增區(qū)間.【知識點】三角函數的化簡求值 三角函數的圖象與性質 C3 C7【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)由題意得，由解析式可知函數的最小正周期為 (2)將函數的圖象向左平移個單位，得到，再向上平移1個單位，得到，即 由，整理得，所以函數的單調增區(qū)間是【思路點撥】把式子化成一個三角函數的形式，即可求出最小正周期，再根據圖象的平移可求出函數的單調區(qū)間.【題文】18.(本小題滿分12分)已知正項數列中，其前n項和為，且.(1) 求數列的通項公式；(2) 設，求【知識點】數列的求和；數列遞推式 D2 D4【答案】【解析】(1) an=2n1 (2) 解析：（1）由題設條件知4Sn=（an+1）2，得4Sn+1=（an+1+1）2，兩者作差，得4an+1=（an+1+1）2（an+1）2整理得（an+11）2=（an+1）2又數列an各項均為正數，所以an+11=an+1，即an+1=an+2，故數列an是等差數列，公差為2，又4S1=4a1=（a1+1）2，解得a1=1，故有an=2n1（2）由（1）可得Tn=【思路點撥】（1）由4Sn=（an+1）2，得4Sn+1=（an+1+1）2，兩者作差，研究an的相鄰項的關系，由此關系求其通項即可（2）由（1）可，裂項求和即可【題文】19（本小題滿分 12 分）在如圖所示的多面體 PMBCA 中，平面 PAC平面 ABC ，PAC是邊長為 2 的正三角形， PM / / BC ，且, .（1）求證： PA BC ；（2）若多面體 PMBCA 的體積為,求 PM 的長.【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積 G7 【答案】【解析】（1）見解析;（2）2解析：(1) ，, ,，平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BC平面PAC，PA平面PAC，BCPA 6 分(2)過點 A作ADPC垂足為D ,設 PM 的長為x ,由(1)知， BC平面 PAC ,BCAD , ,BCPC =C, AD平面 BCPM ,AD為多面體 PMBCA 的高,且AD = 8 分又 PM / / BC ，且, 四邊形 BCPM 是上下底分別為x ,4, 高為2的直角梯形,多面體 PMBCA的體積為,解得,即 PM 的長為 2. 12 分【思路點撥】（1）先證明ACBC，再利用平面PAC平面ABC，證明BC平面PAC，即可證明PABC；（2）作ADPC于點D，證明AD平面BCPM，求出四邊形BCPM的面積，再根據多面體PMBCA的體積求出PM 的長即可【題文】20（本小題滿分 12 分）設函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2） 若 ， k 為整數，為的導函數， 且當時，求 k 的最大值【知識點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性 B11 B12 【答案】【解析】（1）f（x）在（，lna）單調遞減，在（lna，+）上單調遞增;（2）2 解析：（1）函數f（x）=exax2的定義域是R，f（x）=exa，若a0，則f（x）=exa0，所以函數f（x）=exax2在（，+）上單調遞增若a0，則當x（，lna）時，f（x）=exa0；當x（lna，+）時，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）單調遞減，在（lna，+）上單調遞增（2）由于a=1，所以，（xk） f´（x）+x+1=（xk） （ex1）+x+1故當x0時，（xk） f´（x）+x+10等價于k（x0）令g（x）=，則g（x）=由（I）知，函數h（x）=exx2在（0，+）上單調遞增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）=exx2在（0，+）上存在唯一的零點，故g（x）在（0，+）上存在唯一的零點，設此零點為，則有（1，2）當x（0，）時，g（x）0；當x（，+）時，g（x）0；所以g（x）在（0，+）上的最小值為g（）又由g（）=0，可得e=+2所以g（）=+1（2，3）由于式等價于kg（），故整數k的最大值為2【思路點撥】（1）求函數的單調區(qū)間，可先求出函數的導數，由于函數中含有字母a，故應按a的取值范圍進行分類討論研究函數的單調性，給出單調區(qū)間；（2）由題設條件結合（I），將不等式，（xk） f´（x）+x+10在x0時成立轉化為k（x0）成立，由此問題轉化為求g（x）=在x0上的最小值問題，求導，確定出函數的最小值，即可得出k的最大值.【題文】21. （本小題滿分 12 分）如圖，拋物線4x 的焦準距(焦點到準線的距離)與橢圓的長半軸相等，設橢圓的右頂點為 A，在第一象限的交點為 B，O 為坐標原點，且OAB的面積為. (1)求橢圓的標準方程；(2)過 A 點作直線交于 C、 D 兩點，射線 OC、 OD 分別交于 E、F 兩點，記OEF，OCD 的面積分別為，問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由【知識點】待定系數法求橢圓的方程；直線與圓錐曲線. H5 H8【答案】【解析】（1）；（2）存在直線或x-y-2=0，使得，理由：見解析. 解析：(1)因為，所以焦準距p=2，由拋物線與橢圓的長半軸相等知a=2，-1分因為,所以，代入拋物線方程得，-3分又 B 點在橢圓上，代入橢圓方程，解得，故橢圓 的標準方程是：-5分（2）因為直線不垂直于y 軸，故直線的方程可設為 xmy2，由得.設，故.-7分. -8分又直線 OC 的斜率為，故直線 OC 的方程為：x，由得，同理.所以， -11分又，解得，故存在直線或x-y-2=0，使得.-12分【思路點撥】(1)易得a=2,再由OAB的面積及點B在拋物線上，得點B坐標，把點B坐標代入橢圓方程求得b值即可；（2）由于直線不垂y 軸，故直線的方程可設為 xmy2，代入拋物線方程得，由韋達定理得C、D縱坐標關于m的等式；再用C、D縱坐標表示E、F的縱坐標，最后用C、D、E、F的縱坐標表示，從而得關于m的方程，求得m值. 【題文】22. （本小題滿分 10 分）已知函數.（1）解不等式；（2）若a>0,求證：.【知識點】絕對值不等式的解法；絕對值不等式性質的應用. E2 N4. 【答案】【解析】(1) ；(2)證明：見解析. 解析：（1）由題意，得，因此只須解不等式 -2分當x1時，原不式等價于-2x+32，即；當時，原不式等價于12，即；當x>2時，原不式等價于2x-32，即.綜上,原不等式的解集為. -5 分（2）由題.當a>0時 ，=-10分【思路點撥】（1）分段討論解含絕對值的不等式；（2）利用絕對值不等式的性質：證明結論.