2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第10節(jié) 實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模教學(xué)案 文 北師大版

第十節(jié)實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第35頁(yè))1常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0)(2)反比例函數(shù)模型：yb(k，b為常數(shù)且k0)(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(4)指數(shù)函數(shù)模型：ya·bxc(a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0)(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0)(6)冪函數(shù)模型：ya·xnb(a0)2三種函數(shù)模型之間增長(zhǎng)速度的比較函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性遞增遞增遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢因n而異圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxnax3.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題形如f(x)x(a0)的函數(shù)模型稱(chēng)為“對(duì)勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)內(nèi)單調(diào)遞增，在，0)和(0，上單調(diào)遞減(2)當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最小值2，當(dāng)x0時(shí)，x時(shí)取最大值2.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y2x與函數(shù)yx2的圖像有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)()(2)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，恒有h(x)f(x)g(x)()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()(注：結(jié)余收入支出)A收入最高值與收入最低值的比是31B結(jié)余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元D由題圖可知，收入最高值為90萬(wàn)元，收入最低值為30萬(wàn)元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060(萬(wàn)元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個(gè)月的平均收入為×(406030305060)45(萬(wàn)元)，故D錯(cuò)誤2在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()Ay2xByx21Cy2x2Dylog2 xD根據(jù)x0.50，y0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿(mǎn)足題意，故選D.3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬(wàn)元)一萬(wàn)件售價(jià)為20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為_(kāi)萬(wàn)件18利潤(rùn)L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)有最大值4用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為_(kāi)3設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x(0x6)，矩形面積為y，則yx×2x(6x)2(x3)218，當(dāng)x3時(shí)，y最大(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第36頁(yè))考點(diǎn)1用函數(shù)圖像刻畫(huà)變化過(guò)程判斷函數(shù)圖像與實(shí)際問(wèn)題中兩變量變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖像的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案1.(2019·遵義模擬)如圖，有一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，若P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是4 m和a m(0a12)不考慮樹(shù)的粗細(xì)，現(xiàn)用16 m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹(shù)圍在矩形花圃?xún)?nèi)，則函數(shù)uf(a)(單位：m2)的圖像大致是()ABCDB設(shè)AD的長(zhǎng)為x m，則CD的長(zhǎng)為(16x)m，則矩形ABCD的面積為x(16x)m2.因?yàn)橐獙Ⅻc(diǎn)P圍在矩形ABCD內(nèi)，所以ax12.當(dāng)0a8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x8時(shí)，u64；當(dāng)8a12時(shí)，ua(16a)畫(huà)出函數(shù)圖像可得其形狀與B選項(xiàng)接近，故選B.2有一個(gè)盛水的容器，由懸在它的上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿(mǎn)，在注水過(guò)程中時(shí)間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示若圖中PQ為一線段，則與之對(duì)應(yīng)的容器的形狀是()A BC DB由函數(shù)圖像可判斷出該容器必定有不同規(guī)則的形狀，且函數(shù)圖像的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細(xì)再由PQ為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，選B.3汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車(chē)最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最多C甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油D根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車(chē)最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車(chē)燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車(chē)消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車(chē)的燃油效率比乙車(chē)高，因此相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油，故選項(xiàng)D對(duì)準(zhǔn)確掌握常見(jiàn)函數(shù)模型圖像的變化趨勢(shì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵考點(diǎn)2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為W(x)萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，W(x)x2x(萬(wàn)元)在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，W(x)6x38(萬(wàn)元)每件產(chǎn)品售價(jià)為5元通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)年銷(xiāo)售收入固定成本流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬(wàn)件商品銷(xiāo)售收入為5x萬(wàn)元，依題意得，當(dāng)0x8時(shí)，L(x)5x3x24x3；當(dāng)x8時(shí)，L(x)5x335.所以L(x)(2)當(dāng)0x8時(shí)，L(x)(x6)29.此時(shí)，當(dāng)x6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)9萬(wàn)元，當(dāng)x8時(shí)，L(x)35352352015，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x10時(shí)，L(x)取得最大值15萬(wàn)元因?yàn)?15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為15萬(wàn)元解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意自變量的取值范圍，如本例中x(0，)一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過(guò)8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)_min，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一16當(dāng)t0時(shí)，ya，當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaeb ta，eb t(e8 b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過(guò)16 min.考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟構(gòu)造二次函數(shù)、分段函數(shù)模型國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？解(1)設(shè)每團(tuán)人數(shù)為x，由題意得0x75(xN*)，飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y即y(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S即S因?yàn)镾900x15 000在區(qū)間(0,30上為增函數(shù)，故當(dāng)x30時(shí)，S取最大值12 000.又S10(x60)221 000，x(30,75，所以當(dāng)x60時(shí)，S取得最大值21 000.故當(dāng)x60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)解題過(guò)程謹(jǐn)防兩種失誤(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性等解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)(2)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，然后比較大小得解構(gòu)造yx(a0)模型某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購(gòu)買(mǎi)飼料，已知該養(yǎng)殖場(chǎng)每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購(gòu)買(mǎi)飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元求該養(yǎng)殖場(chǎng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少解設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)x(xN*)天購(gòu)買(mǎi)一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y元因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.036(元)，所以x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元)從而有y(3x23x300)200×1.83x3572357417，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x10時(shí)，y有最小值故該養(yǎng)殖場(chǎng)10天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少利用模型f(x)ax求解最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型(1)世界人口在過(guò)去40年翻了一番，則每年人口平均增長(zhǎng)率約是(參考數(shù)據(jù)lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5%B1.6%C1.7%D1.8%(2)十三屆全國(guó)人大一次會(huì)議政府工作報(bào)告指出：過(guò)去五年來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力躍上新臺(tái)階國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬(wàn)億元增加到82.7萬(wàn)億元，年均增長(zhǎng)7.1%，占世界經(jīng)濟(jì)比重從11.4%提高到15%左右，對(duì)世界經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)貢獻(xiàn)率超過(guò)30%,2018年發(fā)展的預(yù)期目標(biāo)是國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)6.5%左右如果從2018年開(kāi)始，以后每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么2020年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為(提示：1.06531.208)()A93.8萬(wàn)億元B99.9萬(wàn)億元C97萬(wàn)億元D106.39萬(wàn)億元(1)C(2)B(1)設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率為x，則(1x)402，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，則40lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%.故選C.(2)由題意可知，2020年我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7×(16.5%)399.9(萬(wàn)億元)故選B.(1)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)函數(shù)模型(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需要通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖像求解最值問(wèn)題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)1.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不超過(guò)0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少，至少應(yīng)過(guò)濾_次才能達(dá)到市場(chǎng)要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)8設(shè)至少過(guò)濾n次才能達(dá)到市場(chǎng)要求，則2%0.1%，即，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.2某景區(qū)提供自行車(chē)出租，該景區(qū)有50輛自行車(chē)供游客租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò)6元，則自行車(chē)可以全部租出；若超出6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車(chē)就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車(chē)的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車(chē)一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車(chē)的日凈收入(即一日中出租自行車(chē)的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？解(1)當(dāng)x6時(shí)，y50x115，令50x1150，解得x2.3，x為整數(shù)，3x6，xZ.當(dāng)x6時(shí)，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，結(jié)合x(chóng)為整數(shù)得6x20，xZ.y(2)對(duì)于y50x115(3x6，xZ)，顯然當(dāng)x6時(shí)，ymax185；對(duì)于y3x268x1153(6x20，xZ)，當(dāng)x11時(shí)，ymax270.270185，當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多- 8 -