2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓 第2課時(shí) 直線與橢圓的綜合問(wèn)題教學(xué)案 文 北師大版

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1、第2課時(shí)　直線與橢圓的綜合問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第156頁(yè)) ⊙考點(diǎn)1　直線與橢圓的位置關(guān)系 　直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟 (1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程． (2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程． (3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與橢圓相離． 　1.若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) A．m＞1　　　 B．m＞0 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 D　[直線y＝kx＋1恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓＋＝1內(nèi)部或橢圓上，從而≤1，又m＞0，則m≥1，因?yàn)闄E圓＋＝1中，m≠

2、5.所以m的取值范圍是m≥1且m≠5，故選D.] 2．過(guò)點(diǎn)M(－4,4)作橢圓＋＝1的切線，切點(diǎn)N在第一象限，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，則直線NF的斜率為________． 　[設(shè)N(x，y)，直線MN的斜率為k.M(－4,4)，則直線MN的方程為y－4＝k(x＋4)，代入橢圓方程消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋(4m2－12)＝0，其中m＝4k＋4， 由于相切，所以Δ＝0，所以m2＝4k2＋3，所以解得k＝－，－，代入求得切點(diǎn)N，所以直線NF的斜率為kNF＝＝.] 3．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C： (1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；

3、 (2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)沒(méi)有公共點(diǎn)． [解]　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當(dāng)Δ>0，即－33時(shí)，方程③沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

4、可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)． 　T2中求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，可直接使用求根公式x1＝x2＝－(其中a，b分別是一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù))． ⊙考點(diǎn)2　直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題 　弦長(zhǎng)的求解方法 (1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解． (2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝ ＝(k為直線斜率)． (3)若直線的斜率不存在，可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)，再求弦長(zhǎng)． 　(2018·北京高考改編)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩

5、個(gè)不同的交點(diǎn)A，B. (1)求橢圓M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． [解](1)由題意得 解得a＝，b＝1. 所以橢圓M的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 由題意知Δ＝36m2－16(3m2－3)＞0，即－2＜m＜2，此時(shí)x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝＝ ＝. 當(dāng)m＝0，即直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，|AB|最大，最大值為. 　利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有兩個(gè)不同解的情況下進(jìn)行的，不要忽略Δ＞0. [教師備選例題] 　直線經(jīng)過(guò)橢圓＋＝

6、1的左焦點(diǎn)，傾斜角為60°，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|＝________. 　[由題意知直線方程為y＝(x＋2)，代入橢圓方程消元整理得5x2＋16x＝0，所以x＝0，或x＝－， 所以交點(diǎn)A(0,2)，B， 所以|AB|＝＝.] 　1.已知橢圓＋y2＝1與直線y＝x＋m交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．±1　　　B．± C.　　　D．± A　[由消去y并整理， 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 由題意知Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由題

7、意，得|AB|＝＝＝，解得m＝±1.] 2．橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e＝，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8. (1)求橢圓E的方程； (2)若直線AB的斜率為，求△ABF2的面積． [解](1)由題意知，4a＝8，所以a＝2， 又e＝，所以＝，c＝1， 所以b2＝22－1＝3， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線AB的方程為y＝(x＋1)， 由得5x2＋8x＝0， 解得x1＝0，x2＝－， 所以y1＝，y2＝－. 所以S＝c·|y1－y2|＝1×＝. ⊙考點(diǎn)3　弦中點(diǎn)問(wèn)題 　處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的兩種

8、方法 (1)點(diǎn)差法 設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率． (2)根與系數(shù)的關(guān)系 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解． (1)在橢圓＋＝1中，以點(diǎn)M(1,2)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為________． (2)(2019·南寧模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4,1)，則橢圓的離心率e＝________. (1)9x＋32y－73＝0　(2)　[(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為

9、A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程得 兩式相減得 ＋＝0， 所以＝－， 即－＝， 因?yàn)閤1＋x2＝2，y1＋y2＝4， 所以＝－， 故該直線方程為y－2＝－(x－1)， 即9x＋32y－73＝0. (2)設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直線AB的斜率k＝＝1. 由兩式相減得 ＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是橢圓的離心率e＝＝＝.] 　用點(diǎn)差法求參數(shù)的值(或范圍)時(shí)，要檢驗(yàn)直線與橢圓是否相交． 　1.已知橢圓＋y2＝1，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓相

10、交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為(　　) A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0 C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0 C　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式作差得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因?yàn)閤2＋x1＝1，y2＋y1＝1，＝kAB，代入后求得kAB＝－，所以弦所在的直線方程為y－＝－，即x＋9y－5＝0.] 2．焦點(diǎn)為F(0,5)，并截直線y＝2x－1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． ＋＝1　[設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，直線被橢圓所截弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由

11、題意，可得弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且＝，＝－. 將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得 兩式相減并化簡(jiǎn)，得＝－·＝－2×＝3， 所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50， 所以a2＝75，b2＝25， 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.] ⊙考點(diǎn)4　橢圓與向量的綜合問(wèn)題 　解決橢圓與向量有關(guān)問(wèn)題的方法 (1)將向量條件用坐標(biāo)表示，再利用函數(shù)、方程知識(shí)建立數(shù)量關(guān)系． (2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系． (3)利用向量運(yùn)算的幾何意義轉(zhuǎn)化成圖形中位置關(guān)系解題． 　(2019·長(zhǎng)春模擬)已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

12、 (2)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若＝2，求直線l的斜率k的值． [解](1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 由解得 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由題意得直線l的方程為y＝k(x＋1)(k＞0)， 聯(lián)立 整理得y2－y－9＝0， 則Δ＝＋144＞0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝，y1y2＝， 又＝2，所以y1＝－2y2， 所以y1y2＝－2(y1＋y2)2， 則3＋4k2＝8，解得k＝±， 又k＞0，所以k＝. 　解答本題應(yīng)注意： (1)根據(jù)＝2，確定y1與y2的關(guān)系，從而確定直線與橢

13、圓方程聯(lián)立消去x； (2)根據(jù)y1＝－2y2得到y(tǒng)1＋y2＝－y2，(y1＋y2)2＝y(tǒng)，從而y1y2＝－2(y1＋y2)2； (3)也可以根據(jù)求出y1，y2，再利用y1y2＝求解． [教師備選例題] 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，e＝，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且＝λ(其中λ＞1)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求實(shí)數(shù)λ的值． [解](1)由橢圓的焦距為2，知c＝1， 又e＝，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由＝λ，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線， 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，

14、點(diǎn)B(x2，y2)． 若直線AB⊥x軸， 則x1＝x2＝1，不符合題意； 當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)， 設(shè)l的方程為y＝k(x－1)． 由消去y得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.① ①的判別式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12) ＝144(k2＋1)＞0， ∴ ∴x1＋x2＝＝2×＝， ∴k2＝. 將k2＝代入方程①， 得4x2－2x－11＝0， 解得x＝. 又＝(1－x1，－y1)， ＝(x2－1，y2)，＝λ， 即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝， 又λ＞1，∴λ＝. 　(2019·保定模擬)設(shè)點(diǎn)P在以F1(－2,0)，F(xiàn)

15、2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上． (1)求橢圓C的方程； (2)經(jīng)過(guò)F2作直線m交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M.若＝λ1，＝λ2，且λ1λ2＝1，求λ1與λ2的值． [解](1)因?yàn)辄c(diǎn)P在以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上， 所以2a＝＋＝2，所以a＝. 又因?yàn)閏＝2，所以b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)A，B，M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)． 因?yàn)椋溅?， 所以(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)， 所以x1＝，y1＝，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得＋＝1. 去分母整理得18λ＋60λ1＋30－5y＝0.同理，由＝λ2可得18λ＋60λ2＋30－5y＝0，λ1，λ2是方程18λ2＋60λ＋30－5y＝0的兩個(gè)根． 則λ1＋λ2＝－，又λ1λ2＝1， 二者聯(lián)立解得λ1＝－3，λ2＝－，或λ1＝－，λ2＝－3. - 9 -