2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第2節(jié) 二項(xiàng)式定理教學(xué)案 理 北師大版

第二節(jié)二項(xiàng)式定理最新考綱會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題1二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN)；(2)通項(xiàng)公式：Tr1Canrbr，它表示第r1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C，C，C.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)0rn時(shí)，C與C的關(guān)系是CC.(2)二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cn；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為和.3二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(ab)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：CCCC2n.(2)偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即CCCCCC2n1.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)Canrbr是(ab)n的展開式中的第r項(xiàng)()(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)()(3)(ab)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)()(4)通項(xiàng)Tr1Canrbr中的a和b不能互換()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1(12x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()A6B6C24D24A(12x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C6.故選A.2二項(xiàng)式5的展開式中x3y2的系數(shù)是()A5B20 C20D5A二項(xiàng)式5的通項(xiàng)為Tr1C5r(2y)r.根據(jù)題意，得解得r2.所以x3y2的系數(shù)是C3×(2)25.故選A.3.的值為()A1B2C2 019D2 019×2 020A原式1.故選A.4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為_8令x1，則a0a1a2a3a40，令x1，則a0a1a2a3a416，兩式相加得a0a2a48.考點(diǎn)1二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用形如(ab)n的展開式問題求二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)的3種方法求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)一般需要建立方程求r，再將r的值代回通項(xiàng)求解，注意r的取值范圍(r0,1,2，n)(1)第m項(xiàng)：此時(shí)r1m，直接代入通項(xiàng)；(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變元”，令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程；(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程(1)(2018·全國卷)5的展開式中x4的系數(shù)為()A10B20C40D80(2)若5的展開式中x5的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a_.(3)(2019·浙江高考)在二項(xiàng)式(x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_(1)C(2)2(3)165(1)Tr1C(x2)5rrC2rx103r，由103r4，得r2，所以x4的系數(shù)為C×2240.(2)5的展開式的通項(xiàng)Tr1C(ax2)5r·xCa5r ·x10r，令10r5，得r2，所以Ca380，解得a2.(3)由題意，(x)9的通項(xiàng)為Tr1C()9rxr(r0,1,29)，當(dāng)r0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為T1C()916；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5個(gè)項(xiàng)已知展開式的某項(xiàng)或其系數(shù)求參數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第k1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其參數(shù)教師備選例題190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余數(shù)是()A1B1C87D87B190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10項(xiàng)均能被88整除，余數(shù)是1.1.在(x24)5的展開式中，含x6的項(xiàng)為_160x6因?yàn)?x24)5的展開式的第k1項(xiàng)為Tk1C(x2)5k(4)k(4)kCx102k，令102k6，得k2，所以含x6的項(xiàng)為T3(4)2·Cx6160x6.2若6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)a的值為()A±2B C2D±A6的展開式的通項(xiàng)為Tk1C(x2)6k·kCkx123k，令123k0，得k4.故C·4，即4，解得a±2，故選A.形如(ab)n(cd)m的展開式問題求解形如(ab)n(cd)m的展開式問題的思路(1)若n，m中一個(gè)比較小，可考慮把它展開得到多個(gè)，如(ab)2(cd)m(a22abb2)(cd)m，然后展開分別求解(2)觀察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分別得到(ab)n，(cd)m的通項(xiàng)公式，綜合考慮(1)(2017·全國卷)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為()A15B20 C30D35(2)(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)是()A4B3 C3D4(1)C(2)B(1)因?yàn)?1x)6的通項(xiàng)為Cxr，所以(1x)6展開式中含x2的項(xiàng)為1·Cx2和·Cx4.因?yàn)镃C2C2×30，所以(1x)6展開式中x2的系數(shù)為30.故選C.(2)(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x)于是(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)為C·1C·(1)1·13.求幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問題，可先分別化簡或展開為多項(xiàng)式和的形式，再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項(xiàng)，最后進(jìn)行合并即可1.(x22)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是()A3B2 C2D3D能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，由多項(xiàng)式乘法的定義可知需滿足：第一個(gè)因式取x2項(xiàng)，第二個(gè)因式取項(xiàng)得x2××C(1)45；第一個(gè)因式取2，第二個(gè)因式取(1)5得2×(1)5×C2，故展開式的常數(shù)項(xiàng)是5(2)3，故選D.2若(x2a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.B C1D2D由題意得10的展開式的通項(xiàng)公式是Tk1C·x10k·kCx102k，10的展開式中含x4(當(dāng)k3時(shí))，x6(當(dāng)k2時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為C，C，因此由題意得CaC12045a30，由此解得a2，故選D.形如(abc)n的展開式問題求三項(xiàng)展開式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的方法(1)通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解(2)兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解(3)由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量(1)將3展開后，常數(shù)項(xiàng)是_(2)6的展開式中，x3y3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)(3)設(shè)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，則a1等于_(1)160(2)120(3)240(1)36展開式的通項(xiàng)是C()6k·k(2)k·Cx3k.令3k0，得k3.所以常數(shù)項(xiàng)是C(2)3160.(2)6表示6個(gè)因式x2y的乘積，在這6個(gè)因式中，有3個(gè)因式選y，其余的3個(gè)因式中有2個(gè)選x2，剩下一個(gè)選，即可得到x3y3的系數(shù)即x3y3的系數(shù)是CC×(2)20×3×(2)120.(3)(x23x2)5(x1)5(x2)5，其展開式中x的系數(shù)a1C(1)4×(2)5(1)5C(2)4240.二項(xiàng)式定理研究兩項(xiàng)和的展開式，對于三項(xiàng)式問題，一般是通過合并、拆分或進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式定理的形式去求解1.(2015·全國卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2項(xiàng)的系數(shù)為()A10B20C30D60C法一：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項(xiàng)為T3C(x2x)3·y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·xCx5.所以x5y2項(xiàng)的系數(shù)為CC30.故選C.法二：利用組合知識求解(x2xy)5為5個(gè)x2xy之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30.故選C.2.6的展開式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為()A30B60 C90D120B展開式中含xy的項(xiàng)來自C(y)15，5展開式通項(xiàng)為Tr1(1)rCx5r，令5r1r3，5展開式中x的系數(shù)為(1)3C，所以6的展開式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為C(1)C(1)360，故選B.考點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問題賦值法在求各項(xiàng)系數(shù)和中的應(yīng)用(1)對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.(1)在n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為321，則x2的系數(shù)為()A50B70C90D120(2)(2019·汕頭質(zhì)檢)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實(shí)數(shù)m的值為_(1)C(2)3或1(1)令x1，則n4n，所以n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以2n32，解得n5.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr1Cx5rrC3rx5r，令5r2，得r2，所以x2的系數(shù)為C3290，故選C.(2)令x0，則(2m)9a0a1a2a9，令x2，則m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9·m939，m(2m)3，m3或m1. (1)利用賦值法求解時(shí)，注意各項(xiàng)的系數(shù)是指某一項(xiàng)的字母前面的數(shù)值(包括符號)(2)在求各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值的和時(shí)，首先要判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號，然后將絕對值去掉，再進(jìn)行賦值1.在二項(xiàng)式(12x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為()A960B960 C1 120D1 680C因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n1128，所以n17，n8，則展開式共有9項(xiàng)，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，因?yàn)?12x)8的展開式的通項(xiàng)Tr1C(2x)rC(2)rxr，所以T5C(2)4x4，其系數(shù)為C(2)41 120.2在(1x)(1x)4的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是b.若(2bx)7a0a1xa7x7，則a1a2a7_.128在(1x)(1x)4的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是b，則bCC2.在(22x)7a0a1xa7x7中，令x0得a027，令x1，得a0a1a2a70.a1a2a7027128.3(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.3設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.考點(diǎn)3二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(ab)n中n的奇偶及二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)求解1.二項(xiàng)式n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為()A3B5 C6D7D根據(jù)n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n20，n的展開式的通項(xiàng)為Tr1C·(x)20r·r()20r·C·x20，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需r是3的倍數(shù)，r0,3,6,9,12,15,18，x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有7項(xiàng)2(2019·南昌模擬)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若15a8b，則m_.7(xy)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為aC，(xy)2m1展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為bC，因?yàn)?5a8b，所以15C8C，即158，解得m7.3已知(13x)n的展開式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_C(3x)7和C(3x)8由已知得CCC121，則n·(n1)n1121，即n2n2400，解得n15(舍去負(fù)值)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T8C(3x)7和T9C(3x)8.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)式系數(shù)是指C，C，C，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)項(xiàng)的系數(shù)的最值問題二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法如求(abx)n(a，bR)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，An1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用 從而解出k來，即得已知(x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，則在2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_，系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)為_8 06415 360x4由題意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故2n32，解得n5.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，10的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T6C(2x)558 064.設(shè)第k1項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，則Tk1C·(2x)10k·k(1)kC·210k·x102k，令 得 即 解得k.kZ，k3.故系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，T4C·27·x415 360x4.展開式中項(xiàng)的系數(shù)一般不同于二項(xiàng)式系數(shù)，求解時(shí)務(wù)必分清教師備選例題已知(x3x2)n的展開式中第3項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解(1)易知n5，故展開式共有6項(xiàng)，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、第四兩項(xiàng)所以T3C(x)3·(3x2)290x6，T4C(x)2·(3x2)3270x.(2)設(shè)展開式中第r1項(xiàng)的系數(shù)最大Tr1C(x)5r·(3x2)rC·3r·x，故有即解得r.因?yàn)閞N，所以r4，即展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大T5C·x·(3x2)4405x.若n的展開式中第6項(xiàng)系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)為()A210B10 C462D252A第6項(xiàng)系數(shù)最大，且項(xiàng)的系數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，n的值可能是9,10,11.設(shè)常數(shù)項(xiàng)為Tr1Cx3(nr)x2rCx3n5r，則3n5r0，其中n9,10,11，rN，n10，r6，故不含x的項(xiàng)為T7C210.10