2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何初步 第4節(jié) 垂直關(guān)系教學(xué)案 文 北師大版

第四節(jié)垂直關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題(對應(yīng)學(xué)生用書第131頁)1直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 ab2.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面(2)二面角的度量二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角3平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直l1若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面2一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直3兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面4過一點有且只有一條直線與已知平面垂直5過一點有且只有一個平面與已知直線垂直一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()(3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行()答案(1)×(2)×(3)×二、教材改編1下列命題中錯誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面B如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么lA兩個平面垂直，一個平面內(nèi)只有垂直于交線的直線才垂直于另一個平面，故A錯誤選A.2如圖，正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S­EFG中必有()ASGEFG所在平面BSDEFG所在平面CGFSEF所在平面DGDSEF所在平面A四面體S­EFG如圖所示：由SGGE，SGGF.且GEGFG得SGEFG所在的平面故選A.3如圖，三棱錐V­ABC中，VAVBACBC2，AB2，VC1，則二面角V­AB­C的度數(shù)為_60°如圖，取AB的中點D，連接VD，CD.由VAVBACBC知，VDAB，CDAB，從而VDC就是二面角V­AB­C的平面角在VAB和ABC中分別求得VDCD1，因此VDC是等邊三角形，故VDC60°.4在三棱錐P­ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PAPBPC，則點O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點O是ABC的_心(1)外(2)垂(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心圖1圖2(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG為ABC邊AB上的高同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心(對應(yīng)學(xué)生用書第132頁)考點1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直”(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理證明直線與平面垂直如圖，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，M為棱BC的中點，BB13，AB1，CBB160°.(1)求證：AM平面BCC1B1；(2)求斜三棱柱ABC­A1B1C1的體積解(1)證明：如圖，連接B1M，因為底面ABC是邊長為2的正三角形，且M為棱BC的中點，所以AMBC，且AM，因為BB13，CBB160°，BM1，所以B1M212322×1×3×cos 60°7，所以B1M.又因為AB1，所以AM2B1M210AB，所以AMB1M.又因為B1MBCM，所以AM平面BCC1B1.(2)設(shè)斜三棱柱ABC­A1B1C1的體積為V，則V3VB1­ABC3VA­B1BC3×SB1BC·|AM|×2×3×sin 60°×.所以斜三棱柱ABC­A1B1C1的體積為.(1)已知線段的長度，一般情況下用勾股定理的逆定理證明線線垂直，如本例第(1)問(2)解答本例第(2)問時，易誤認(rèn)為B1M是斜三棱柱ABC­A1B1C1的高，從而得到錯誤答案證明空間兩條直線垂直(2019·成都模擬)如圖，在多面體ABCDFE中，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且ABEF，AF2，EF2AB4AD4，平面ABCD平面ABEF.(1)求證：BEDF；(2)求三棱錐C­AEF的體積V.解(1)證明：取EF的中點G，連接AG.EF2AB，ABEG.又ABEG，四邊形ABEG為平行四邊形，AGBE，且AGBEAF2.在AGF中，GFEF2，AGAF2，AG2AF2GF2，AGAF.四邊形ABCD是矩形，ADAB.又平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，AD平面ABEF.又AG平面ABEF，ADAG.ADAFA，AG平面ADF.又AGBE，BE平面ADF.又DF平面ADF，BEDF.(2)連接DE.CDAB，且CD平面ABEF，AB平面ABEF，CD平面ABEF，VC­AEFVD­AEF.由(1)得，AD平面ABEF，SAEF×4×4，VC­AEFVD­AEF×4×.證明線線垂直一般是先證線面垂直，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直教師備選例題(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐A­BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因為ABAD，EFAD，所以EFAB.又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因為AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC，所以ADAC.如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.考點2面面垂直的判定與性質(zhì)證明面面垂直的兩種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決，注意：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)(2019·全國卷)如圖，點N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點，則()ABMEN，且直線BM，EN是相交直線BBMEN，且直線BM，EN是相交直線CBMEN，且直線BM，EN是異面直線DBMEN，且直線BM，EN是異面直線B取CD的中點F，DF的中點G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB，BD，BE.點N為正方形ABCD的中心，點N在BD上，且為BD的中點ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨設(shè)AB2，則FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG，BM.BMEN.BM，EN是DBE的中線，BM，EN必相交故選B.(2)(2019·青島模擬)如圖，四棱錐P­ABCD中，PCD為等邊三角形，CDAD2AB，E，S，T，Q為CD，PA，PB，AD的中點，ABCBCDPEA90°，平面STRQ平面ABCDRQ.證明：平面PAE平面STRQ；若AB1，求三棱錐Q­BCT的體積解證明：因為E為CD的中點，CD2AB，ABCBCD90°，所以四邊形ABCE為矩形，所以AECD.由已知易得RQCD，所以RQAE.因為PEA90°，PECDE，故AE平面PCD，又因為AE平面ABCD.故平面PCD平面ABCD.因為PECD，所以PE平面ABCD.因為RQ平面ABCD，所以RQPE.又PEAEE，所以RQ平面PAE.所以平面PAE平面STRQ.由可知，PE平面ABCD，又T是PB的中點，點T到平面BCQ的距離為PE，易知SBCQS梯形ABCD××(12)×.故三棱錐Q­BCT的體積V××.解答本例T(2)第(2)問時，借助已知的點面距求高，這是常用的方法，求SBCQ時，可先求底邊和高，再求面積(2018·全國卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90°.以AC為折痕將ACM折起，使點M到達(dá)點D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BPDQDA，求三棱錐Q­ABP的體積解(1)證明：由已知可得，BAC90°，BAAC.又BAAD，且AC平面ACD，AD平面ACD，ACADA，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足為E，則QEDC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐Q­ABP的體積為VQ­ABP×QE×SABP×1××3×2sin 45°1.考點3點到平面的距離求點到平面的距離(高)的兩種方法(1)定義法：求幾何體的高或點到面的距離，經(jīng)常根據(jù)高或距離的定義在幾何體中作出高或點到面的距離其步驟為：一作、二證、三求如何作出點到面的距離是關(guān)鍵，一般的方法是利用輔助面法，所作的輔助面，一是要經(jīng)過該點，二是要與所求點到面的距離的面垂直，這樣在輔助面內(nèi)過該點作交線的垂線，點到垂足的距離即為點到面的距離(2)等體積法：求棱錐的高或點到平面的距離常常利用同一個三棱錐變換頂點及底面的位置，其體積相等的方法求解定義法求距離(高)(1)(2019·全國卷)已知ACB90°，P為平面ABC外一點，PC2，點P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_如圖，過點P作PO平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離再過O作OEAC于E，OFBC于F，連接PC，PE，PF，則PEAC，PFBC.又PEPF，所以O(shè)EOF，所以CO為ACB的平分線，即ACO45°.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以O(shè)E1，所以PO.(2)(2018·全國卷)如圖，在三棱錐P­ABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點證明：PO平面ABC；若點M在棱BC上，且MC2MB，求點C到平面POM的距離解證明：因為APCPAC4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP2.連接OB.因為ABBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC，OB平面ABC，AC平面ABC，OBACO，知PO平面ABC.作CHOM，垂足為H.又由可得OPCH，OP平面POM，OM平面POM，OPOMO，所以CH平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離由題設(shè)可知OCAC2，CMBC，ACB45°，所以O(shè)M，CH.所以點C到平面POM的距離為.解答本例T(2)第問時也可以使用等體積法求解教師備選例題如圖，在四棱錐P­ABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，且四棱錐P­ABCD的體積為，求該四棱錐的高及四棱錐的側(cè)面積解(1)證明：由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，因為APPDP，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD，所以PE為四棱錐的高由AB平面PAD，得ABAD，又ABCD，ABCD，則四邊形ABCD為矩形設(shè)ABx，則由已知可得ADx，PEx.故四棱錐P­ABCD的體積VP­ABCDAB·AD·PEx3.由題設(shè)得x3，解得x2.故四棱錐的高PE，從而PAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱錐P­ABCD的側(cè)面積為PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°62.等體積法求距離(高)如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB1，AA1，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO平面ABB1A1.(1)證明：BCAB1；(2)若OCOA，求三棱柱ABC­A1B1C1的高解(1)證明：在矩形ABB1A1中，由平面幾何知識可知AB1BD，又CO平面ABB1A1，AB1CO，COBDO，BD，CO平面BCD，AB1平面BCD.因為BC平面BCD，BCAB1.(2)在矩形ABB1A1中，由平面幾何知識可知OA，OB，OCOA，OC，AC1，BC，SABC，設(shè)三棱柱ABC­A1B1C1的高為h，即三棱錐A1­ABC的高為h.又SABA1，由VC­ABA1VA1­ABC得SABC·hSABA1·OC，h.解答本例第(2)問的關(guān)鍵是把三棱柱的高轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，再利用等體積法求解教師備選例題如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且BAD60°，EAEDAB2EF4，EFAB，M為BC的中點(1)求證：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求點F到平面BDE的距離解(1)證明：取BD中點O，連接OM，OE，因為O，M分別為BD，BC中點，所以O(shè)MCD且OMCD，由已知EFAB且EFAB，又在菱形ABCD中，ABCD且ABCD，所以EFCD且EFCD.所以O(shè)MEF且OMEF，所以四邊形OMFE為平行四邊形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)由(1)得FM平面BDE，所以F到平面BDE的距離等于M到平面BDE的距離取AD的中點H，連接EH，BH，因為EAED，所以EHAD，因為平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD.由已知得EH2，BE2，所以等腰三角形BDE的面積為SBDE×2×2.又SBDMSBCD×2，設(shè)F到平面BDE的距離為h，由VE­BDMVM­BDE得·SBDM·EH·SBDE·h，即×2×2×h×2，解得h，所以點F到平面BDE的距離為.(2019·武漢模擬)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，DAB，平面PAD平面ABCD，PAPD.(1)證明：PBBC；(2)求點A到平面PBC的距離解(1)如圖，取AD的中點H，連接PH，HB，BD.底面ABCD是邊長為1的菱形，ADAB1，AHAD，由BH2AB2AH22AB·AH·cosDAB，得BH212×1××，BH，AH2BH2AB2，BHAD.PAPD，H為AD的中點，PHAD，又PHBHH，AD平面PHB，又PB平面PHB，ADPB，又ADBC, PBBC.(2)法一(定義法)：ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC，點A與點H到平面PBC的距離相等由(1)知AD平面PHB，BC平面PHB，又BC平面PBC，平面PBC平面PHB.過點H作HMPB于M.由平面PHB平面PBCPB，知HM即點H到平面PBC的距離平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PH平面PAD，PHAD，PH平面ABCD，又BH平面ABCD，PHBH.PH，BH，PB，HM.法二(等體積法)：由(1)知，在PAD中，PH，在ABD中，BH，在PHB中，PB.又PBBC，SPBC，設(shè)點A到平面PBC的距離為h，則有SPBC·hSABC·PH，即h×1×1×sin×，解得h.考點4直線與平面所成的角求直線和平面所成角的步驟(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角(1)(2018·全國卷)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A8B6C8D8C如圖，連接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C，AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，AC1B30°.又ABBC2，在RtABC1中，AC14.在RtACC1中，CC12，V長方體AB×BC×CC12×2×28.(2)(2018·天津高考)如圖，在四面體ABCD中，ABC是等邊三角形，平面ABC平面ABD，點M為棱AB的中點，AB2，AD2，BAD90°.求證：ADBC；求異面直線BC與MD所成角的余弦值；求直線CD與平面ABD所成角的正弦值解證明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，可得AD平面ABC，故ADBC.如圖，取棱AC的中點N，連接MN，ND.又因為M為棱AB的中點，所以MNBC.所以DMN(或其補角)為異面直線BC與MD所成的角在RtDAM中，AM1，故DM.因為AD平面ABC，所以ADAC.在RtDAN中，AN1，故DN.在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN.所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為.如圖，連接CM.因為ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，所以CMAB，CM.又因為平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，而CM平面ABC，故CM平面ABD，所以CDM為直線CD與平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4.在RtCMD中，sinCDM.所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.在相互垂直的平面內(nèi)作交線的垂線，是得到線面垂直的常用方法1.已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，點E是線段CC1的中點，則直線D1E與平面ADE所成角的余弦值為()A.B.C.D.A如圖所示，過點D1作D1FDE，垂足為F，而ADD1F，ADDED，故D1F平面ADE，則D1EF為D1E與平面ADE所成的角，不妨設(shè)AB2，則D1E，DFDD1·cosD1DFDD1·sinCDE，EF，故cosD1EF.故選A.2(2019·天津高考)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PCD為等邊三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3.(1)設(shè)G，H分別為PB，AC的中點，求證：GH平面PAD；(2)求證：PA平面PCD；(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值解(1)證明：連接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BGPG，故GHPD.又因為GH平面PAD，PD平面PAD，所以GH平面PAD.(2)證明：取棱PC的中點N，連接DN.依題意，得DNPC.又因為平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC.又PA平面PAC，所以DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA平面PCD.(3)連接AN，由(2)中DN平面PAC，可知DAN為直線AD與平面PAC所成的角因為PCD為等邊三角形，CD2且N為PC的中點，所以DN.又DNAN，在RtAND中，sinDAN.所以，直線AD與平面PAC所成角的正弦值為.- 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