2021高考數(shù)學一輪復習 第8章 立體幾何初步 第6節(jié) 立體幾何中的綜合問題教學案 文 北師大版

第六節(jié)立體幾何中的綜合問題(對應(yīng)學生用書第140頁)考點1線面位置關(guān)系與體積計算轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用(1)證明線面平行、面面平行可轉(zhuǎn)化為證明線線平行；證明線線平行可以轉(zhuǎn)化為證明線面平行或面面平行(2)從解題方法上講，由于線線垂直、線面垂直、面面垂直之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個解題過程始終沿著線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化途徑進行(3)求幾何體的體積也常用轉(zhuǎn)化法如三棱錐頂點和底面的轉(zhuǎn)化，幾何體的高利用平行、中點，比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化等(2019·鄭州模擬)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PAD是等腰直角三角形，且APD90°，ABC90°，ABCD，AB2CD2BC8，平面PAD平面ABCD，M是PC的三等分點(靠近C點處)(1)求證：平面MBD平面PAD；(2)求三棱錐D­MAB的體積解(1)證明：由題易得BDAD4，AB2AD2BD2，BDAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)過點P作POAD交AD于點O(圖略)，平面PAD平面DAB，平面PAD平面DABAD，PO平面DAB，點P到平面DAB的距離為PO2.VD­MABVM­DABSDAB·PO××(4)2××2.解答本例第(2)問時，利用比例關(guān)系求出點M到平面ABCD的距離已知邊長為2的正方形ABCD與菱形ABEF所在平面互相垂直，M為BC中點(1)求證：EM平面ADF；(2)若ABE60°，求四面體M­ACE的體積解(1)證明：四邊形ABCD是正方形，BCAD.BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.四邊形ABEF是菱形，BEAF.BE平面ADF，AF平面ADF，BE平面ADF.BC平面ADF，BE平面ADF，BCBEB，平面BCE平面ADF.EM平面BCE，EM平面ADF.(2)取AB中點P，連接PE.在菱形ABEF中，ABE60°，AEB為正三角形，EPAB.AB2，EP.平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，EP平面ABCD，EP為四面體E­ACM的高VM­ACEVE­ACMSACM·EP××1×2×.考點2平面圖形的翻折問題解決平面圖形翻折問題的步驟(2019·全國卷)圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積解(1)證明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中點M，連接EM，DM.因為ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且EBC60°，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四邊形ACGD的面積為4.(1)解答本例第(1)問的關(guān)鍵是折疊后ADBE，CGBE不變(2)解答本例第(2)問的關(guān)鍵是，根據(jù)DE平面BCGE，四邊形BCGE是菱形找出四邊形ACGD的高教師備選例題如圖1，在平面五邊形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60°，CDED，cosEDC.將CDE沿CE折起，使點D到P的位置，且AP，得到如圖2所示的四棱錐P­ABCE.圖1圖2(1)求證：AP平面ABCE；(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：ABl.證明(1)在CDE中，CDED，cosEDC，由余弦定理得CE2.連接AC，AE2，AEC60°，AC2.又AP，在PAE中，AP2AE2PE2，即APAE.同理，APAC.ACAEA，AC平面ABCE，AE平面ABCE，AP平面ABCE.(2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl，ABl.(2019·濟南模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，BAD45°，AB2CD4，點E為AB的中點將ADE沿DE折起，使點A到達P的位置，得到如圖2所示的四棱錐P­EBCD，點M為棱PB的中點圖1圖2(1)求證：PD平面MCE；(2)若平面PDE平面EBCD，求三棱錐M­BCE的體積解(1)證明：在題圖中，BEABCD，且BECD，四邊形EBCD是平行四邊形，如圖，連接BD，交CE于點O，連接OM，O是BD的中點，又點M是棱PB的中點，OMPD，PD平面MCE，OM平面MCE，PD平面MCE.(2)在題圖中，EBCD是平行四邊形，DEBC，四邊形ABCD是等腰梯形，ADBC，ADDE，BAD45°，ADDE，如圖，PDDE，又平面PDE平面EBCD，且平面PDE平面EBCDDE，PD平面EBCD.由(1)知OMPD，OM平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，AE2，ADDE，OMPDAD，SBCESADE1，三棱錐M­BCE的體積VM­BCESBCE·OM.考點3線面位置關(guān)系中的存在性問題存在性問題的一般解題方法先假設(shè)其存在，然后把這個假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進行推理論證和計算在推理論證和計算無誤的前提下，如果得到了一個合理的結(jié)論，則說明存在；如果得到了一個不合理的結(jié)論，則說明不存在而對于探求點的問題，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明(2019·北京高考)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(1)求證：BD平面PAC；(2)若ABC60°，求證：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在點F，使得CF平面PAE？說明理由解(1)證明：因為PA平面ABCD，所以PABD.因為底面ABCD為菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)證明：因為PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因為底面ABCD為菱形，ABC60°，且E為CD的中點，所以AECD.所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因為AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在點F，使得CF平面PAE.取PB的中點F，PA的中點G，連接CF，F(xiàn)G，EG，則FGAB，且FGAB.因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四邊形CEGF為平行四邊形所以CFEG.因為CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.解答本例第(3)問的難點在于如何探索出點F是PB的中點，可結(jié)合點E是CD的中點，CF平面PAE探求教師備選例題如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為正方形，BCPD2，E為PC的中點，CB3CG.(1)求證：PCBC；(2)AD邊上是否存在一點M，使得PA平面MEG？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由解(1)證明：因為PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因為四邊形ABCD是正方形，所以BCCD.又PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以BC平面PCD.因為PC平面PCD，所以PCBC.(2)連接AC，BD交于點O，連接EO，GO，延長GO交AD于點M，連接EM，則PA平面MEG.證明如下：因為E為PC的中點，O是AC的中點，所以EOPA.因為EO平面MEG，PA平面MEG，所以PA平面MEG.因為OCGOAM，所以AMCG，所以AM的長為.(2018·全國卷)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC平面PBD？說明理由解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因為BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)當P為AM的中點時，MC平面PBD.證明如下：如圖，連接AC交BD于O.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC中點連接OP，因為P為AM中點，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.- 8 -