2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案 理 北師大版

《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案 理 北師大版（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講　函數(shù)與方程 一、知識(shí)梳理 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)． (2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． 2．函數(shù)零點(diǎn)的判定 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)的一條曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)·f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解． 3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)

2、系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的圖像 與x軸的交點(diǎn) (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 無(wú)交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩個(gè) 一個(gè) 零個(gè) 常用結(jié)論 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的三個(gè)結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)． (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)． (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)． 二、教材衍化 1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表： x 1 2 3 4 5 6 y 12

3、4.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6 則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有(　　) A．2個(gè)　　　　　　　　 B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 解析：選B.由零點(diǎn)存在性定理及題中的對(duì)應(yīng)值表可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)內(nèi)均有零點(diǎn)，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3個(gè)零點(diǎn)．故選B. 2．函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的大致范圍是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C.和(3，4) D．(4，＋∞) 解析：選B.易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2

4、)·f(3)＜0.故選B. 3．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______． 解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 答案：1 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(　　) (3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值．(　　) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4

5、ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)．(　　) (5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 二、易錯(cuò)糾偏 (1)錯(cuò)用零點(diǎn)存在性定理； (2)誤解函數(shù)零點(diǎn)的定義； (3)忽略限制條件； (4)錯(cuò)用二次函數(shù)在R上無(wú)零點(diǎn)的條件． 1．函數(shù)f(x)＝x＋的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______． 解析：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)． 答案：0 2．函數(shù)f(x)＝x2－3x的零點(diǎn)是______． 解析：由f(x

6、)＝0，得x2－3x＝0， 即x＝0和x＝3. 答案：0和3 3．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在區(qū)間(0，4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______． 解析：二次函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝1.若在區(qū)間(0，4)上存在零點(diǎn)，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8

7、 x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0，1)　　　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：選B.因?yàn)閒(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，所以f(1)·f(2)＜0， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ln x＋x－2的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)，所以f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1，2)． 2．若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(

8、－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi) 解析：選A.因?yàn)閍＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0， f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)．因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A. 3．設(shè)函數(shù)y1＝x3與y2＝的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是______． 解析：令f(x)＝x3－， 則f(x0)＝0，易知f(x)為增函數(shù)， 有f(1)<0，f(2)>0，

9、所以x0所在的區(qū)間是(1，2)． 答案：(1，2) 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 (1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上． (2)圖象法：把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，看它的交點(diǎn)所在區(qū)間． (3)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)． (4)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷．　 　　　　　　函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(師生共研) (1)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____

10、__． (2)函數(shù)f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____． 【解析】　(1)當(dāng)x≤0時(shí)，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．又因?yàn)閒(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. (2)f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y1＝sin

11、 2x(x>－1)與 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，可知有兩個(gè)交點(diǎn)，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)． 【答案】　(1)2　(2)2 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 (1)解方程法：所對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理法：利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷． (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．　 1．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　

12、) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，所以0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)x＞0時(shí)，令f(x)＝ex＋x－3＝0. 則ex＝－x＋3. 分別畫(huà)出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)． 又根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x＜0時(shí)函數(shù)f(x)也有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 2．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____． 解析：由f(x)＝0，得|log0.5x|＝，作出函數(shù)y1＝|log0.5x|和y2＝的圖象，

13、 由右圖知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)， 故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)． 答案：2 　　　　　　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(多維探究) 角度一　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù) (2020·安徽合肥二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B． C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1] 【解析】　令g(x)＝f(x)－b＝0，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(x)＝b有三個(gè)根，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex(x＋1)，則f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2 )，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，

14、此時(shí)f(x)為減函數(shù)，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2

15、，＋∞) 【解析】　(1)由題意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，設(shè)t＝x＋，x∈，則t的取值范圍是.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. (2)函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m的零點(diǎn)就是方程f(x)＋x＝m的根，畫(huà)出h(x)＝f(x)＋x＝的大致圖象(圖略)．觀察它與直線y＝m的交點(diǎn)，得知當(dāng)m≤0或m＞1時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)． 【答案】　(1)D　(2)D 角度三　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù) 若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，2)內(nèi)，則m的取值范圍是______． 【解析】　依題意，結(jié)合函

16、數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足 即 解得

17、(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______． 解析：函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1. 答案：a≥－1 [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·河南商丘九校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝(x2－1)·的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選B.要使函數(shù)有意義，則x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－

18、4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選B. 2．函數(shù)y＝x－4·的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：選B.因?yàn)閥＝f(x)＝x－4＝x－是R上連續(xù)遞增的函數(shù)，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函數(shù)y＝x－4·的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)．故選B. 3．(2020·福建晉江四校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y＝log3x與y＝3－x的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3

19、，4) 解析：選C.令m(x)＝log3x＋x－3，則函數(shù)m(x)＝log3x＋x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間即為函數(shù)y＝log3x與y＝3－x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間．因?yàn)閙(x)＝log3x＋x－3遞增且連續(xù)，且滿足m(2)m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零點(diǎn)在(2，3)內(nèi)，從而可知方程log3x＋x－3＝0的解所在的區(qū)間是(2，3)，即函數(shù)y＝log3x與y＝3－x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0所在的區(qū)間是(2，3)．故選C. 4．(2020·河南焦作統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)在(－6，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選

20、C.由題知函數(shù)f(x)＝在(－6，＋∞)上有零點(diǎn)，則或解得x＝2或x＝4或x＝e－6，即函數(shù)f(x)在(－6，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C. 5．(2020·河北張家口模擬)已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B． C．(0，1) D． 解析：選A.g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，即y＝f(x)與y＝mx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，作出y＝f(x)和y＝mx的圖象如圖．當(dāng)y＝mx與y＝f(x)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ln x0)，則解得m＝.則當(dāng)0

21、故選A. 6．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m的零點(diǎn)在(0，1]上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____． 解析：由題意知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m在定義域上遞增，又由函數(shù)f(x)在(0，1]上存在零點(diǎn)，得即解得－4≤m<0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－4，0)． 答案：[－4，0) 7．已知函數(shù)f(x)＝－cos x，則f(x)在[0，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析：如圖，作出g(x)＝與h(x)＝cos x的圖象，可知其在[0，2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 答案：3 8．函數(shù)f(x)＝＋2co

22、s πx(－4≤x≤6)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_______． 解析：可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y＝與y＝－2cos πx在[－4，6]上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)均關(guān)于x＝1對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)在x＝1兩側(cè)的交點(diǎn)對(duì)稱，則每對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2，分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象易知兩個(gè)函數(shù)在x＝1兩側(cè)分別有5個(gè)交點(diǎn)，所以5×2＝10. 答案：10 9．關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0，2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0

23、＝x＋在(0，2]上的取值范圍是[2，＋∞)，所以1－m≥2，所以m≤－1，故m的取值范圍是(－∞，－1]． 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)． (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)當(dāng)0

24、 [綜合題組練] 1．已知[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)＝[x]為取整函數(shù)，x0是函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)，則g(x0)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B.f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故選B. 2．(2020·湖南婁底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，則x1x2等于(　　) A．1 B．－1 C．e D． 解析：選A.考慮到x1，x2是函數(shù)y＝ex、函數(shù)y＝ln x與函數(shù)y＝的圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，而A，B兩點(diǎn)關(guān)于y＝x

25、對(duì)稱，因此x1x2＝1.故選A. 3．(2020·湘贛十四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______． 解析：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝ax－3(x>0)必有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)椋?0，故a＋2＋a>0，解得a>1；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，若x>0，則f(x)＝ax－3<0，若x≤0，則f(x)＝ax2＋2x＋a，此時(shí)，f(x)恒小于0，所以當(dāng)a<0時(shí)，f(x)無(wú)零點(diǎn)，故答案為a＝0或a>1. 答案：a＝0或a>1 4．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析： 在

26、同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)和y＝a|x|的圖象可知，若滿足條件，則a＞0. 當(dāng)a≥2時(shí)，在y軸右側(cè)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)， 此時(shí)在y軸左側(cè)，射線y＝－ax(x≤0)與拋物線y＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)需相切． 由消去y， 得x2＋(5－a)x＋4＝0. 由Δ＝(5－a)2－16＝0，解得a＝1或a＝9. a＝1與a≥2矛盾，a＝9時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，不符合題意． 當(dāng)0＜a＜2，此時(shí)，在y軸右側(cè)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，若滿足條件，則－a＜－1，即a＞1.故1＜a＜2. 答案：(1，2) 5．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)求g

27、(f(1))的值； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)利用解析式直接求解得 g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)y＝g(t)(t<1)的圖象如圖，由圖象可知，當(dāng)1≤a<時(shí)，函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝，x∈R且x≠1. (1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)

28、＋f(10)的值； (2)就m的取值情況，討論關(guān)于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的個(gè)數(shù)． 解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝，則f＝＝＝－， 則f(x)＋f＝0， 則f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f(8)＋f＋f(6)＋f＋f(4)＝0. (2)根據(jù)題意，設(shè)g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2， 令t＝x－1，又由x∈[2，3]，則t∈[1，2]， 則設(shè)h(t)＝t＋＋2，有h′(t)＝1－＝， 分析可得，在區(qū)間[1，)上，h(t)遞減，在區(qū)間[，2]上，h(t)遞增； 則h(t)在[1，2]有最小值h(

29、)＝2＋2， 且h(1)＝h(2)＝5， 則函數(shù)h(t)在區(qū)間[1，2]上有最大值5，最小值2＋2， 方程f(x)＋x＝m的解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)與直線y＝m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)， 分析可得，當(dāng)m＜2＋2時(shí)，函數(shù)g(x)與直線y＝m沒(méi)有交點(diǎn)，方程f(x)＋x＝m無(wú)解； 當(dāng)m＝2＋2時(shí)，函數(shù)g(x)與直線y＝m有1個(gè)交點(diǎn)，方程f(x)＋x＝m有1個(gè)解； 當(dāng)2＋2＜m≤5時(shí)，函數(shù)g(x)與直線y＝m有2個(gè)交點(diǎn)，方程f(x)＋x＝m有2個(gè)解； 當(dāng)m＞5時(shí)，函數(shù)g(x)與直線y＝m沒(méi)有交點(diǎn)，方程f(x)＋x＝m無(wú)解； 綜上可得，當(dāng)m＜2＋2或m＞5時(shí)，方程f(x)＋x＝m無(wú)解； 當(dāng)m＝2＋2時(shí)，方程f(x)＋x＝m有1個(gè)解； 當(dāng)2＋2＜m≤5時(shí)方程f(x)＋x＝m有2個(gè)解． 14