2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 第31講 數(shù)列求和學(xué)案

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1、 第31講 數(shù)列求和 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式. 2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法. 2016·全國卷Ⅱ,17 2016·江蘇卷,18 2016·北京卷,12 利用公式求數(shù)列的前n項和,利用常見求和模型求數(shù)列的前n項和. 分值:5分 1.公式法與分組求和法 (1)公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和. ①等差數(shù)列的前n項和公式: Sn==__na1+d__. ②等比數(shù)列的前n項和公式: Sn= (2)分組求和法 若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則

2、求和時可用分組求和法分別求和后相加減. 2.倒序相加法與并項求和法 (1)倒序相加法 如果一個數(shù)列的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的. (2)并項求和法 在一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和. 形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 3.裂項相消法 (

3、1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和. (2)常見的裂項技巧 ①=-. ②=. ③=. ④=-. 4.錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的. 1.思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”). (1)如果已知等差數(shù)列的通項公式,則在求其前n項和時使用公式Sn=較為合理.( √ ) (2)如果數(shù)列為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項和Sn=.( √ ) (3)當(dāng)n≥2時,=-.( × ) (4)求Sn=a+2a2+

4、3a3+…+nan時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.( × ) (5)如果數(shù)列是周期為k的周期數(shù)列,那么Skm=mSk(m,k為大于1的正整數(shù)).( √ ) 解析 (1)正確.根據(jù)等差數(shù)列求和公式以及運算的合理性可知. (2)正確.根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和通項公式可知. (3)錯誤.直接驗證可知=. (4)錯誤.含有字母的數(shù)列求和常需要分類討論,此題需要分a=0,a=1,以及a≠0且a≠1三種情況求和,只有當(dāng)a≠0且a≠1時才能用錯位相減法求和. (5)正確.根據(jù)周期性可得. 2.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,則a5=( D ) A.1

5、+ln 2   B.2+ln 3   C.3+ln 5   D.2+ln 5 解析 因為an+1-an=ln =ln =ln (n+1)-ln n, 所以a5-a1=(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1) =(ln 5-ln 4)+(ln 4-ln 3)+(ln 3-ln 2)+(ln 2-ln 1) =ln 5-ln 1=ln 5,所以a5=a1+ln 5=2+ln 5,故選D. 3.若數(shù)列的通項公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列的前n項和為( C ) A.2n+n2-1   B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2   D.2n+n-2 解析

6、 Sn=a1+a2+a3+…+an =(21+2×1-1)+(22+2×2-1)+(23+2×3-1)+…+(2n+2n-1)=(2+22+…+2n)+2(1+2+3+…+n)-n =+2×-n=2(2n-1)+n2+n-n =2n+1+n2-2. 4.若數(shù)列的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+a3+…+a10=( A ) A.15   B.12   C.-12   D.-15 解析 ∵an=(-1)n(3n-2),∴a1+a2+a3+…+a10 =-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28 =(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(

7、-19+22)+(-25+28)=3×5=15. 5.已知數(shù)列的前n項和為Sn且an=n·2n(n∈N*),則Sn=__(n-1)2n+1+2__. 解析 ∵an=n·2n, ∴Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n.① ∴2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1.② ①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1 =-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2. ∴Sn=(n-1)2n+1+2. 一 分組法求和 分組求和法的常見類型 (1)若an=bn±cn,且,為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法

8、求的前n項和. (2)通項公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列,是等比或等差數(shù)列,可采用分組求和法. 【例1】 已知等差數(shù)列滿足a5=9,a2+a6=14. (1)求的通項公式; (2)若bn=an+qan(q>0),求數(shù)列的前n項和Sn. 解析 (1)設(shè)數(shù)列的公差為d, 則由a5=9,a2+a6 =14,得解得 所以的通項公式為an=2n-1. (2)由an=2n-1得bn=2n-1+q2n-1. 當(dāng)q>0且q≠1時,Sn=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+(q1+q3+q5+q7+…+q2n-1)=n2+; 當(dāng)q=1時,bn=2n,則Sn=n(n+1). 所以數(shù)列的前n項

9、和Sn= 二 錯位相減法求和 利用錯位相減法求和的兩點注意 (1)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達式. (2)在應(yīng)用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.同時要注意等比數(shù)列的項數(shù)是多少. 【例2】 若公比為q的等比數(shù)列的首項a1=1,且滿足an=(n=3,4,5,…). (1)求q的值; (2)設(shè)bn=n·an,求數(shù)列的前n項和Sn. 解析 (1)由題意易知2an=an-1+an-2, 即2a1qn-1=a1qn-2+a1qn-3. ∴2q2-q-1=0,解

10、得q=1或q=-. (2)①當(dāng)q=1時,a1=1,bn=n,Sn=. ②當(dāng)q=-時,an=n-1,bn=n·n-1, Sn=1·0+2·1+3·2+…+n·n-1, -Sn=1·1+2·2+…+(n-1)·n-1+n·n,  兩式相減,得Sn=1-n·n+,  整理得Sn=-·n. 三 裂項相消法求和 常見的裂項方法 數(shù)列(n∈N*) 裂項方法(n∈N*) (k為非零常數(shù)) = = = =(-) (a>0,a≠1) loga=loga(n+1)-logan =- 【例3】 已知正項數(shù)列的前n項和為Sn,且Sn,an,成等差數(shù)列. (1

11、)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)若bn=log2an+3,求數(shù)列的前n項和Tn. 解析 (1)證明:由題意知2an=Sn+. 當(dāng)n=1時,2a1=a1+,∴a1=. 當(dāng)n≥2時,Sn =2an-,Sn-1=2an-1-, 兩式相減,得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1. ∵為正項數(shù)列,∴=2(n≥2), ∴數(shù)列是以為首項,以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知an=a1·2n-1=2n-2,∴bn=log22n-2+3=n-2+3=n+1. ∴==-. ∴Tn=++++…+=-=. 1.已知等比數(shù)列中,a2·a8=4a5,等差數(shù)列中,b4+b6=

12、a5,則數(shù)列的前9項和S9=( B ) A.9   B.18   C.36   D.72 解析 ∵a2·a8=4a5,即a=4a5,∴a5=4, ∴a5=b4+b6=2b5=4,∴b5=2.∴S9=9b5=18,故選B. 2.已知正項數(shù)列滿足a-6a=an+1an.若a1=2,則數(shù)列的前n項和為__3n-1__. 解析 ∵a-6a=an+1an,∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0. ∵an>0,∴an+1=3an.又a1=2, ∴是首項為2,公比為3的等比數(shù)列.∴Sn==3n-1. 3.在數(shù)列中,a1=1,an+1·an=an-an+1. (1)求數(shù)列的通項公式

13、; (2)若bn=lg,求數(shù)列的前n項和Sn. 解析 (1)由題意得-=1. 又因為a1=1,所以=1.所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以=n,即an=,所以數(shù)列的通項公式為an=. (2)由(1)得bn=lg n-lg(n+2). 所以Sn=lg 1-lg 3+lg 2-lg 4+lg 3-lg 5+…+lg(n-2)-lg n+lg(n-1)-lg(n+1)+lg n-lg(n+2)=lg 1+lg 2-lg(n+1)-lg(n+2)=lg. 4.設(shè)數(shù)列滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N*). (1)求數(shù)列的通項; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列的前n

14、項和Sn. 解析 (1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,① ∴a1= , a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2) ,② ①-②,得3n-1an=-=(n≥2),化簡得an=(n≥2). 顯然,a1=也滿足上式,故an=(n∈N*). (2)由(1)得bn=n·3n. 于是Sn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n ,③ 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1 ,④ ③-④,得-2Sn=3+32+33+…+3n-n·3n+1, 即-2Sn=-n·3n+1.∴Sn=·3n+1+. 易錯點1 求和時數(shù)不清項數(shù) 錯因分

15、析:弄清和式的構(gòu)成規(guī)律是數(shù)清項數(shù)的關(guān)鍵. 【例1】 設(shè)f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n≥-3,n∈Z),則f(n)=(  ) A.(8n-1)   B.(8n+1-1) C.(8n+3-1)   D.(8n+4-1) 解析 1=3×1-2,3n+10=3(n+4)-2,所以f(n)是首項為2,公比為8的等比數(shù)列的前n+4項的和. 由求和公式得f(n)==(8n+4-1).選D. 答案:D 【跟蹤訓(xùn)練1】 把一數(shù)列依次按第一個括號內(nèi)一個數(shù),第二個括號內(nèi)兩個數(shù),第三個括號內(nèi)三個數(shù),第四個括號內(nèi)一個數(shù),……,循環(huán)分組為(1),(3,5),(7,9,11),(13)

16、,(15,17),(19,21,23),(25),…,則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為__392__. 解析 將三個括號作為一組,則由50=16×3+2,知第50個括號應(yīng)為第17組的第二個括號,即第50個括號中應(yīng)是兩個數(shù).又因為每組中含有6個數(shù),所以第48個括號的最末一個數(shù)為數(shù)列{2n-1}的第16×6=96項,第50個括號的第一個數(shù)應(yīng)為數(shù)列{2n-1}的第98項,即為2×98-1=195,第二個數(shù)為2×99-1=197,故第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為195+197=392. 易錯點2 找不到裂項相消的規(guī)律 錯因分析:看清是相鄰項相消還是隔項相消,同時注意系數(shù). 【例2】 求和:++…+.

17、 解析 an==×, ∴原式= = =-. 【跟蹤訓(xùn)練2】 數(shù)列1,,,,…,的前n項和為( B ) A.   B. C.   D. 解析 ==2, 數(shù)列1,,,,…,的前n項和為2= 2=,故選B. 課時達標(biāo) 第31講 [解密考綱]考查數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和的方法,主要考查公式法、裂項相消法和錯位相減法求前n項和,以及利用Sn與an的關(guān)系求通項公式,三種題型均有考查,位于各類題型的中間靠后位置. 一、選擇題 1.?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn,若an=,則S6=( D ) A.   B. C.   D. 解析 因為an==-,所以S6=1-+-+…+-=1-=

18、. 2.已知Sn=+++…+,若Sm=10,則m=( C ) A.11   B.99 C.120   D.121 解析 因為==-,所以Sm=-+-+…+-=-1.由已知得-1=10,所以m=120,故選C. 3.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1-an=sin ,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2 018=( D ) A.1 006   B.1 007 C.1 008   D.1 010 解析 由題意,得an+1=an+sin,所以a2=a1+sin π=1,a3=a2+sin=0,a4=a3+sin 2π=0,a5=a4+sin=1,…,因此,數(shù)列{an}是一個以

19、4為周期的周期數(shù)列,而2 018=4×504+2,所以S2 018=504×(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=1 010,故選D. 4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項和為( A ) A.   B. C.   D. 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d. ∵a5=5,S5=15,∴ ∴∴an=a1+(n-1)d=n. ∴==-,∴數(shù)列的前100項和為1-+-+…+-=1-=. 5.?dāng)?shù)列{an}的通項公式an=ncos ,其前n項和為Sn,則S2 018=( B ) A.2 017   B.-1 010 C.504

20、   D.0 解析 因為an=ncos,所以當(dāng)n為奇數(shù)時,an=0, 當(dāng)n為偶數(shù)時,an=其中m∈N*, 所以S2 018=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2 016+a2 017+a2 018 =a2+a4+a6+a8+…+a2 016+a2 018 =-2+4-6+8-10+12-14+…+2 016-2 018 =(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+ (-2 014+2 016)-2 018=2×504-2 018=-1 010,故選B. 6.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S2 018=(

21、 B ) A.22 018-1   B.3×21 009-3 C.3×21 009-1   D.3×22 018-2 解析 依題意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有 =2,即=2,數(shù)列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1為首項、2為公比的等比數(shù)列;數(shù)列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2為首項、2為公比的等比數(shù)列,于是有S2 018=(a1+a3+a5+…+a2 017)+(a2+a4+a6+…+a2 018)=+=3×21 009-3. 二、填空題 7.在數(shù)列{an}中,an=++…+,又bn=,則數(shù)列{bn}的前n項和為____.

22、 解析 ∵an==,∴bn==8. ∴b1+b2+…+bn=8=. 8.(2018·河南鄭州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-10(n∈N*),則|a1|+|a2|+…+|a15|=__130__. 解析 由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8為首項,2為公差的等差數(shù)列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以當(dāng)n<5時,an<0; 當(dāng)n≥5時,an≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130. 9.若數(shù)列{an}是正項數(shù)列,且++…+=n2+3n(n∈N*),則++…+=__2n2+6

23、n__. 解析 令n=1,得=4,∴a1=16. 當(dāng)n≥2時,++…+=(n-1)2+3(n-1). 與已知式相減,得=(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2. ∴an=4(n+1)2,當(dāng)n=1時,a1適合an. ∴an=4(n+1)2,∴=4n+4, ∴++…+==2n2+6n. 三、解答題 10.在數(shù)列{an}中,a1=3,an=2an-1+(n-2) (n≥2,n∈N*). (1)求a2,a3的值; (2)證明:數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式; (3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解析 (1)令n=2得a2=2a1=6. 令n

24、=3,得a3=2a2+1=13. (2)證明:因為an+n=2[an-1+(n-1)],a1+1=4≠0,所以an+n≠0,所以=2, 所以數(shù)列{an+n}是首項為4,公比為2的等比數(shù)列, 所以an+n=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-n. (3)因為an=2n+1-n, 所以Sn=(22+23+…+2n+1)-(1+2+…+n) =-=2n+2-. 11.(2018·安徽淮南模擬)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求d,an; (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 解析 (1

25、)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2, 所以d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4, 所以an=-n+11或an=4n+6. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn. 因為d<0,所以d=-1,an=-n+11. 當(dāng)n≤11時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n; 當(dāng)n≥12時,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)=-Sn+2S11= n2-n+110. 綜上所述,|a1|+|a2|+…+|an|= 12.(2016·山東卷)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn

26、=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列的通項公式; (2)令cn=,求數(shù)列的前n項和Tn. 解析 (1)由題意知,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1= 6n+5. 當(dāng)n=1時,a1=S1=11,所以an=6n+5. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d. 由即可解得b1=4,d=3. 所以bn=3n+1. (2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1. 又Tn=c1+c2+…+cn, 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],兩式作差, 得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3×=-3n·2n+2. 所以Tn=3n·2n+2. 13

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