2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系檢測(cè)評(píng)估

2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系檢測(cè)評(píng)估一、 填空題 1. 設(shè)A,B為直線(xiàn)y=x與圓x2+y2=1 的兩個(gè)交點(diǎn),則AB=. 2. 直線(xiàn)x-y=0截圓(x-2)2+y2=4所得劣弧所對(duì)的圓心角是. 3. (xx·煙臺(tái)模擬)若點(diǎn)P(1,1)為圓x2+y2-6x=0的弦MN的中點(diǎn),則弦MN所在直線(xiàn)的方程為. 4. (xx·池州一中)已知圓C的圓心是直線(xiàn)x-y+1=0與x軸的交點(diǎn),且圓C與直線(xiàn)x+y+3=0相切,那么圓C的方程為. 5. (xx·湖北卷)若直線(xiàn)l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=. 6. (xx·全國(guó)卷)已知直線(xiàn)l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線(xiàn).若l1與l2的交點(diǎn)為(1,3),則直線(xiàn)l1與l2的方程分別為. 7. (xx·江西卷)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為. 8. (xx·重慶卷)已知直線(xiàn)ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且ABC為等邊三角形,那么實(shí)數(shù)a=.二、 解答題 9. (xx·江蘇模擬)已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且被圓x2+y2=25截得的弦長(zhǎng)為8,求直線(xiàn)l的方程.10. 已知圓O的方程為x2+y2=1,直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)A(3,0),且與圓O相切.(1) 求直線(xiàn)l1的方程;(2) 設(shè)圓O與x軸交于P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線(xiàn)為l2,直線(xiàn)PM交直線(xiàn)l2于點(diǎn)P',直線(xiàn)QM交直線(xiàn)l2于點(diǎn)Q',求證:以P'Q'為直徑的圓C恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).11. 已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),C(m,n).(1) 若m=1,n=,求ABC的外接圓的方程;(2) 若以線(xiàn)段AB為直徑的圓O過(guò)點(diǎn)C(異于點(diǎn)A,B),直線(xiàn)x=2交直線(xiàn)AC于點(diǎn)R,線(xiàn)段BR的中點(diǎn)為D,試判斷直線(xiàn)CD與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.第57課直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系1. 2解析:直線(xiàn)y=x過(guò)圓x2+y2=1的圓心C(0,0),則AB=2. 2. 解析:圓心(2,0)到直線(xiàn)x-y=0的距離d=1,故所求的圓心角為. 3. 2x-y-1=0解析:x2+y2-6x=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=9,因?yàn)镻(1,1)為圓(x-3)2+y2=9的弦MN的中點(diǎn),所以圓心與點(diǎn)P確定的直線(xiàn)斜率為=-,所以弦MN所在直線(xiàn)的斜率為2,所以弦MN所在直線(xiàn)的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.4. (x+1)2+y2=2解析:令y=0,得x=-1,所以圓心C的坐標(biāo)為(-1,0).因?yàn)橹本€(xiàn)x+y+3=0與圓C相切,所以圓心C(-1,0)到直線(xiàn)的距離等于圓C的半徑,即r=,所以圓C的方程為(x+1)2+y2=2.5. 2解析:依題意得,圓心O到兩直線(xiàn)l1:y=x+a,l2:y=x+b的距離相等,且每段弧長(zhǎng)都等于圓周的,即=1×sin45°,得 |a|=|b|=1,故a2+b2=2.6. 7x+y-10=0,x-y+2=0解析:顯然兩條切線(xiàn)l1,l2的斜率都存在.設(shè)過(guò)(1,3)的圓x2+y2=2的切線(xiàn)方程為y-3=k(x-1),則圓心(0,0)到直線(xiàn)kx-y+3-k=0的距離等于半徑,即=,解得k=-7或1.所以直線(xiàn)l1與l2的方程分別為7x+y-10=0,x-y+2=0.7. 解析:由題意知,圓C必過(guò)點(diǎn)O(0,0),故要使圓C的面積最小,則點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為圓C的直徑,即2r=,所以r=,所以S=.8. 4±解析:由題意可知圓C的圓心為C(1,a),半徑r=2,則圓心C到直線(xiàn)ax+y-2=0的距離d=.因?yàn)锳BC為等邊三角形,所以AB=r=2,又AB=2,所以2=2,即a2-8a+1=0,解得a=4±.9. 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k不存在時(shí),l的方程為x=-3,代入x2+y2=25,得y1=4,y2=-4,弦長(zhǎng)為|y1-y2|=8,符合題意.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k存在時(shí),設(shè)其方程為y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0.由已知,弦心距為=3,所以=3,解得k=-,此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y+=-(x+3),即3x+4y+15=0.綜上,直線(xiàn)l的方程為x+3=0或3x+4y+15=0.10. (1) 因?yàn)橹本€(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)A(3,0),且與圓O:x2+y2=1相切,可設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,則圓心O(0,0)到直線(xiàn)l1的距離d=1,解得k=±,故直線(xiàn)l1的方程為y=±(x-3).(2) 對(duì)于圓x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直,所以直線(xiàn)l2的方程為x=3,設(shè)M(s,t),則直線(xiàn)PM的方程為y=(x+1).解方程組得P'.同理可得Q'.所以以P'Q'為直徑的圓C的方程為(x-3)(x-3)+=0,又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,令解得x=3±2,y=0.所以圓C總過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為(3±2,0). 11. (1) 設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意可得解得D=E=0,F=-4,故ABC的外接圓方程為x2+y2-4=0,即x2+y2=4.(2) 直線(xiàn)CD與圓O相切.證明如下:由題意可知以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為x2+y2=4,設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,t).因?yàn)锳,C,R三點(diǎn)共線(xiàn),所以,而=(m+2,n),=(4,t),則4n=t(m+2),所以t=,所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為,點(diǎn)D的坐標(biāo)為,直線(xiàn)CD的斜率為k=,而m2+n2=4,所以m2-4=-n2,所以k=-,則直線(xiàn)CD的方程為y-n=-(x-m),化簡(jiǎn)得mx+ny-4=0,所以圓心O到直線(xiàn)CD的距離d=2=r,所以直線(xiàn)CD與圓O相切.