高考數(shù)學一輪復習 第十章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 課時跟蹤檢測（四十八）合情推理與演繹推理 文

高考數(shù)學一輪復習 第十章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 課時跟蹤檢測（四十八）合情推理與演繹推理 文一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1已知數(shù)列an中，a11，n2時，anan12n1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是_解析：a11，a24，a39，a416，猜想ann2.答案：ann22設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結論我們可以得到的一個真命題為：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則_成等比數(shù)列解析：利用類比推理把等差數(shù)列中的差換成商即可答案：T4，3由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：“mnnm”類比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb·c”；“(m·n)tm(n·t)”類比得到“(a·b)·ca·(b·c)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”；“”類比得到“”以上的式子中，類比得到的結論正確的個數(shù)是_解析：正確，錯誤答案：24對于命題：若O是線段AB上一點，則有··0.將它類比到平面的情形是：若O是ABC內一點，則有SOBC·SOCA·SOBA·0.將它類比到空間的情形應該是：若O是四面體ABCD內一點，則有_解析：將平面中的相關結論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積，因此依題意可知：若O為四面體ABCD內一點，則有VOBCD·VOACD·VOABD·VOABC·0.答案：VOBCD·VOACD·VOABD·VOABC·05(xx·南京調研)已知函數(shù)f(x)x3x，對于等差數(shù)列an滿足：f(a21)2，f(a2 0163)2，Sn是其前n項和，則S2 017_.解析：因為函數(shù)f(x)x3x為奇函數(shù)，且在R上單調遞增，又因為f(a21)2，f(a2 0163)2，則a21(a2 0163)，即a2a2 0164，即a1a2 0174.則S2 017(a1a2 017)4 034.答案：4 0346(xx·啟東檢測) x表示不超過x的最大整數(shù)，例如：3.S13，S210，S321，依此規(guī)律，那么S10_.解析：因為x表示不超過x的最大整數(shù)，所以S11×33，S22×510，S33×721，Snn×(2n1)，所以S1010×21210.答案：210二保高考，全練題型做到高考達標1二維空間中，圓的一維測度(周長)l2r，二維測度(面積)Sr2；三維空間中，球的二維測度(表面積)S4r2，三維測度(體積)Vr3.應用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V8r3，則其四維測度W_.解析：在二維空間中，圓的二維測度(面積)Sr2，則其導數(shù)S2r，即為圓的一維測度(周長)l2r；在三維空間中，球的三維測度(體積)Vr3，則其導數(shù)V4r2，即為球的二維測度(表面積)S4r2；應用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V8r3，則其四維測度W2r4.答案：2r42觀察下列等式1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個等式可為_解析：觀察規(guī)律可知，第n個式子為12223242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n13(xx·南京第十三中學檢測)某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預計第10年樹的分枝數(shù)為_解析：因為211,321,532，即從第三項起每一項都等于前兩項的和，所以第10年樹的分枝數(shù)為213455.答案：554給出以下數(shù)對序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)記第i行的第j個數(shù)對為aij，如a43(3,2)，則anm_.解析：由前4行的特點，歸納可得：若an m(a，b)，則am，bnm1，所以an m(m，nm1)答案：(m，nm1)5在平面幾何中：ABC的C內角平分線CE分AB所成線段的比為.把這個結論類比到空間：在三棱錐A­BCD中(如圖)，平面DEC平分二面角A­CD­B且與AB相交于E，則得到類比的結論是_解析：由平面中線段的比轉化為空間中面積的比可得.答案：6設n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，觀察上述結果，可推測一般的結論為_解析：因為f(21)，f(22)>2，f(23)>，f(24)>，所以歸納得f(2n).答案：f(2n)7(xx·海門中學測試) 有一個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：1371321591523111725192729則第30行從左到右第3個數(shù)是_解析：由歸納推理可得第30行的第1個數(shù)是146810601929.又第n行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大2n，第3個數(shù)比第2個數(shù)大2n2，所以第30行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大60，第3個數(shù)比第2個數(shù)大62，故第30行從左到右第3個數(shù)是9296062 1 051.答案：1 0518如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：由題意知，凸函數(shù)滿足f，又ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則sin Asin Bsin C3sin3sin.答案：9(xx·蘇州調研)已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)x2xm.(1)當m0時，求函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0，a的最大值；(2)證明：當m3時，不等式f(x)g(x)<x2(x2)ex對任意x均成立(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718)解：(1)當m0時，F(xiàn)(x)ln xx2x，x(0，)，則F(x)，x(0，)，當0<x<1時，F(xiàn)(x)>0；當x>1時，F(xiàn)(x)<0，所以F(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，所以當0<a1時，F(xiàn)(x)的最大值為F(a)ln aa2a；當a>1時，F(xiàn)(x)的最大值為F(1)0.(2)證明：f(x)g(x)<x2(x2)ex可化為m>(x2)exln xx，設h(x)(x2)exln xx，x，要證m3時，m>h(x)對任意x均成立，只要證h(x)max<3即可，下證此結論成立因為h(x)(x1)，所以當<x<1時，x1<0，設u(x)ex，則u(x)ex>0，所以u(x)在上單調遞增，又因為u(x)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，且u2<0，u(1)e1>0，所以x0，使得u(x0)0，即ex0，ln x0x0，當x時，u(x)<0，h(x)>0；當x(x0,1)時，u(x)>0，h(x)<0；所以函數(shù)h(x)在上單調遞增，在(x0,1上單調遞減，所以h(x)maxh(x0)(x02)ex0ln x0x0(x02)·2x012x0.因為y12x在x上單調遞增，所以h(x0)12x0<1223，即h(x)max<3，所以當m3時，不等式f(x)g(x)<x2(x2)ex對任意x均成立. 10已知O是ABC內任意一點，連結AO，BO，CO并延長，分別交對邊于A，B，C，則1，這是一道平面幾何題，其證明常采用“面積法”：1.請運用類比思想，對于空間中的四面體ABCD，存在什么類似的結論，并用“體積法”證明解：在四面體ABCD中，任取一點O，連結AO，DO，BO，CO并延長，分別交四個面于E，F(xiàn)，G，H點則1.證明：在四面體OBCD與ABCD中，.同理有；.所以1.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1觀察下列事實：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為_解析：由|x|y|1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|y|n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|y|20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.答案：802古希臘的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)N(n,3)n2n四邊形數(shù)N(n,4)n2五邊形數(shù)N(n,5)n2n六邊形數(shù)N(n,6)2n2n可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(20,15)的值為_解析：原已知式子可化為N(n,3)n2nn2n；N(n,4)n2n2n；N(n,5)n2nn2n；N(n,6)2n2nn2n.故N(n，k)n2n，N(20,15)×202×202 490.答案：2 4903.(xx·東臺中學檢測)如圖，已知雙曲線1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左右兩個焦點，點M在雙曲線上(1)若F1MF290°，求F1MF2的面積；(2)若F1MF2120°，F(xiàn)1MF2的面積是多少？若F1MF260°， F1MF2的面積又是多少？(3)觀察以上結果，你能猜出隨著F1MF2的度數(shù)的變化，F(xiàn)1MF2的面積將怎樣變化嗎？試證明你的結論解：由雙曲線方程知a2，b3，c，設MF1r1，MF2r2(r1>r2)，由雙曲線的定義，得r1r22a4，將r1r24兩邊平方得rr2r1r216，(1)若F1MF290°，在RtF1MF2中，有F1F4SF1MF216，即52164SF1MF2，解得SF1MF29.(2)若F1MF2120°，在F1MF2中，由余弦定理得F1Frr2r1r2cos 120°，即F1F(r1r2)23r1r2，即(2)2423r1r2，所以r1r212，可得SF1MF2r1r2sin 120°3.同理可得，若F1MF260°時，SF1MF29.(3)由此猜想：隨著F1MF2的度數(shù)的逐漸增大，F(xiàn)1MF2的面積將逐漸減小證明如下：令F1MF2(0<<)，則SF1MF2r1r2sin ，由雙曲線的定義及余弦定理，得得r1r2，所以SF1MF2，因為0<<，0<<，所以當時，tan 是增函數(shù)而當tan 逐漸增大時，SF1MF2將逐漸減小，所以隨著F1MF2的度數(shù)的逐漸增大，F(xiàn)1MF2的面積將逐漸減小