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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征 文(含解析)
1. (1)棱柱的結(jié)構(gòu)特征
名稱(chēng)
棱柱
直棱柱
正棱柱
圖形
特征
①兩底面互相平行,
②其余各面(側(cè)面)都是四邊形,
③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,即側(cè)面都是平行四邊形
側(cè)棱與底面垂直的棱柱
底面是正多邊形
的直棱柱
面積
棱柱側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和
棱柱表面積
體積
柱體的體積
(2)長(zhǎng)方體與正方體
①長(zhǎng)方體有 6個(gè)面,有 12 條棱。
②若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是 、 、 ,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng) ,長(zhǎng)方體的表面積為,長(zhǎng)方體的體積為
2、③若正方體的棱長(zhǎng)是,則它的對(duì)角線長(zhǎng) ,每個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為,表面積為,體積為
例1.正三棱柱的高為,底面邊長(zhǎng)為,則它的體積為 ,它的側(cè)面積為 ,它的表面積為
解:底面面積為,體積為
側(cè)面積為 它的表面積為
例2.若一個(gè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、 、 ,求這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)與體積
【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、,則
∵ ,解得, ∴ .
∴對(duì)角線長(zhǎng).體積為
2. 棱錐的結(jié)構(gòu)特征
名稱(chēng)
棱錐
正棱錐
圖形
特征
①有一個(gè)面是多邊形,
②其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.
底面是多邊形,并且各側(cè)面都
3、是全等的等腰三角形的棱錐.
面積
棱錐側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和
棱錐表面積
體積
錐體的體積
例3. 正棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,
求(1)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高(2)棱錐的表面積與體積
【解析】(1)設(shè)為正四棱錐的高,則,
作,則為中點(diǎn).
連結(jié)、,則,.
,,則,,
在中,;
在中,.
∴側(cè)棱長(zhǎng)為,斜高為.
(2)棱錐的表面積為
3. 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
名稱(chēng)
棱臺(tái)
正棱臺(tái)
圖形
特征
①兩底面互相平行,
②用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分.
用平行于正棱錐的底面平面截得的棱臺(tái)
棱臺(tái)的上下底多邊形一定相似,即上底面
4、與下底面的邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例
面積
棱臺(tái)側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和
棱臺(tái)表面積
體積
臺(tái)體的體積,這個(gè)公式不要求記憶
例4. 正棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)為分別為2與,高為,
求:(1)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.(2)求這個(gè)棱臺(tái)的全面積與體積
4.側(cè)面展開(kāi)圖
例5. 如圖,在正三棱柱中,,,為 的中點(diǎn),是
上一點(diǎn),且由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為,求:
(1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng);
(2)和的長(zhǎng).
【解析】(1)正三棱柱側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為,寬為的矩形,
其對(duì)角線長(zhǎng)為.
(2)如圖,將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)
5、面在同一平面上,點(diǎn)即點(diǎn)的位置,連接,則就是由點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線.
設(shè),即.
在中,
,
∴,
解得,
∴.
∵,∴.
第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征作業(yè)
1. 在下圖的幾何體中, ①③⑤⑦ 是柱體(填序號(hào))
2.下列命題正確的是(D)
A.棱柱的底面一定是平行四邊形 B.棱錐的底面一定是三角形
C.棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形 D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)
3.如圖,能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.AB=A1B1
6、,BC=B1C1,CA=C1A1
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
D.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
解析:由長(zhǎng)度關(guān)系知===,所以選項(xiàng)C的數(shù)據(jù)表明這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái).故選D.
4. 一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子展開(kāi)后的平面圖如圖所示,A、B、C是
展開(kāi)圖上的三點(diǎn),則在正方體盒子中,∠ABC的大小為( )
A.30° B.45°C.60° D.90°
解析:將展開(kāi)圖恢復(fù)為無(wú)蓋正方體,連接AB,BC,AC,可得△ABC為正三角形.所以∠ABC=60°.故選C.
5.已知一個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2,求:(1)這個(gè)三棱錐的表面積
(2)這這個(gè)三棱錐的體積
5. 正三棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為3,下底面邊長(zhǎng)為6,高為1,求:這個(gè)正三棱臺(tái)的斜高與側(cè)棱長(zhǎng).
8. 如圖,在高為4直三棱柱中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)、分別在側(cè)棱和上,,求四棱錐的體積.
【解析】如圖,作,垂足為,則平面,
.
7. 如圖,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2厘米,高為5厘米,一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為多少厘米?
答案:13