2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征 文(含解析)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征 文(含解析) 1. (1)棱柱的結(jié)構(gòu)特征 名稱(chēng) 棱柱 直棱柱 正棱柱 圖形 特征 ①兩底面互相平行, ②其余各面(側(cè)面)都是四邊形, ③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,即側(cè)面都是平行四邊形 側(cè)棱與底面垂直的棱柱 底面是正多邊形 的直棱柱 面積 棱柱側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和 棱柱表面積 體積 柱體的體積 (2)長(zhǎng)方體與正方體 ①長(zhǎng)方體有 6個(gè)面,有 12 條棱。 ②若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是 、 、 ,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng) ,長(zhǎng)方體的表面積為,長(zhǎng)方體的體積為

2、③若正方體的棱長(zhǎng)是,則它的對(duì)角線長(zhǎng) ,每個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為,表面積為,體積為 例1.正三棱柱的高為,底面邊長(zhǎng)為,則它的體積為 ,它的側(cè)面積為 ,它的表面積為 解:底面面積為,體積為 側(cè)面積為 它的表面積為 例2.若一個(gè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、 、 ,求這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)與體積 【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、,則 ∵ ,解得, ∴ . ∴對(duì)角線長(zhǎng).體積為 2. 棱錐的結(jié)構(gòu)特征 名稱(chēng) 棱錐 正棱錐 圖形 特征 ①有一個(gè)面是多邊形, ②其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形. 底面是多邊形,并且各側(cè)面都

3、是全等的等腰三角形的棱錐. 面積 棱錐側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和 棱錐表面積 體積 錐體的體積 例3. 正棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為, 求(1)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高(2)棱錐的表面積與體積 【解析】(1)設(shè)為正四棱錐的高,則, 作,則為中點(diǎn). 連結(jié)、,則,. ,,則,, 在中,; 在中,. ∴側(cè)棱長(zhǎng)為,斜高為. (2)棱錐的表面積為 3. 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 名稱(chēng) 棱臺(tái) 正棱臺(tái) 圖形 特征 ①兩底面互相平行, ②用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分. 用平行于正棱錐的底面平面截得的棱臺(tái) 棱臺(tái)的上下底多邊形一定相似,即上底面

4、與下底面的邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例 面積 棱臺(tái)側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和 棱臺(tái)表面積 體積 臺(tái)體的體積,這個(gè)公式不要求記憶 例4. 正棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)為分別為2與,高為, 求:(1)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.(2)求這個(gè)棱臺(tái)的全面積與體積 4.側(cè)面展開(kāi)圖 例5. 如圖,在正三棱柱中,,,為 的中點(diǎn),是 上一點(diǎn),且由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為,求: (1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng); (2)和的長(zhǎng). 【解析】(1)正三棱柱側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為,寬為的矩形, 其對(duì)角線長(zhǎng)為. (2)如圖,將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)

5、面在同一平面上,點(diǎn)即點(diǎn)的位置,連接,則就是由點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線. 設(shè),即. 在中, , ∴, 解得, ∴. ∵,∴. 第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征作業(yè) 1. 在下圖的幾何體中, ①③⑤⑦ 是柱體(填序號(hào)) 2.下列命題正確的是(D) A.棱柱的底面一定是平行四邊形 B.棱錐的底面一定是三角形 C.棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形 D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn) 3.如圖,能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是(  ) A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.AB=A1B1

6、,BC=B1C1,CA=C1A1 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 D.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 解析:由長(zhǎng)度關(guān)系知===,所以選項(xiàng)C的數(shù)據(jù)表明這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái).故選D. 4. 一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子展開(kāi)后的平面圖如圖所示,A、B、C是 展開(kāi)圖上的三點(diǎn),則在正方體盒子中,∠ABC的大小為(  ) A.30° B.45°C.60° D.90° 解析:將展開(kāi)圖恢復(fù)為無(wú)蓋正方體,連接AB,BC,AC,可得△ABC為正三角形.所以∠ABC=60°.故選C. 5.已知一個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2,求:(1)這個(gè)三棱錐的表面積 (2)這這個(gè)三棱錐的體積 5. 正三棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為3,下底面邊長(zhǎng)為6,高為1,求:這個(gè)正三棱臺(tái)的斜高與側(cè)棱長(zhǎng). 8. 如圖,在高為4直三棱柱中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)、分別在側(cè)棱和上,,求四棱錐的體積. 【解析】如圖,作,垂足為,則平面, . 7. 如圖,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2厘米,高為5厘米,一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為多少厘米? 答案:13

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