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1、2022年高二數(shù)學(xué)12月月考試題 理(VIII)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,有且只有一項符合題目要求.
1.拋物線的準(zhǔn)線方程是( )
A. B. C. D.
2.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則的值為
A. B. C. D.
3.如果方程表示焦點在軸上的橢圓,那么實數(shù)的取值范圍是( )
A. (0,+∞) B. (0,2) C. (-∞,1) D. (0,1)
2、4.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.曲線與曲線的 ( )
A.焦距相等 B.離心率相等 C.焦點相同 D.頂點相同
6.若橢圓的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
7.下列有關(guān)命題的說法正確的是 ( ).
A.命題“若,則”的否命題為:“若,則”.
B.命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方是正數(shù)”的逆命題是“若一個數(shù)的平方不是正數(shù),則它
3、
不是負(fù)數(shù)”
C.命題“若,則”的逆否命題為真命題.
D.命題“使得”的否定是:“均有”.
8. 已知直線:,若以點為圓心的圓與直線相切于點,且在軸
上,則該圓的方程為 ( )
A. B.
C. D.
9. 設(shè)是正三棱錐,是的重心,是上的一點,且,若
,則為( )
A. B. C. D.
10.棱長為1的正方體中,點分別在線段
上,且,給出以下結(jié)論:
① ②異面直線所成的角為60°
③四面體的
4、體積為 ④,
其中正確的結(jié)論的個數(shù)為( )
A.1 B. 2 C.3 D.4
11. 一個正三棱錐(底面為正三角形,頂點在底面上的射影為底面的中心)的四個頂點都在半徑為
1的球面上,其中底面的三個頂點在過該球球心的一個截面上,則該正三棱錐的體積是( )
A. B. C. D.
12. 已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為60°的直線與雙曲線
的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.
5、 B. C. D.
第II卷
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填寫在題中橫線上
13.拋物線上的點到直線距離的最小值是 .
14.在平面直角坐標(biāo)系中,已知的頂點和,頂點在雙曲線
上,則_____.
15. 已知點,,若圓上共有四個點,使得、
、、的面積均為,則的取值范圍是 .
16. 現(xiàn)有一個由長半軸為,短半軸為的橢圓繞其長軸按一定方向旋轉(zhuǎn)所形成的“橄欖球面”.已知一個以橢圓的長軸為軸的圓柱內(nèi)接于該橄欖球面,則這個圓柱的側(cè)面積的最大值是_____.
三、 解答題:(解答應(yīng)寫出文字說明、證明
6、過程或演算步驟.)
17.(10分)已知以點為圓心的圓與直線相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求過圓內(nèi)一點的最短弦所在直線的方程.
18.(12分) 已知點是拋物線的焦點,點是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點,且.以為圓心的動圓與軸分別交于兩點、,延長分別交拋物線于兩點。
(1) 當(dāng)時,求圓的方程;
(2)證明直線的斜率為定值.
19.(12分如圖,四棱錐中,底面為矩形,⊥平面,,,E為線段PD上一點,記. 當(dāng)時,二面角的平面角的余弦值為.
(1)求AB的長;
(2)當(dāng)時,求異面直線與直線所成角的余弦值.
20.(12分
7、)如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直.∥, ,,.
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)線段上是否存在點,使// 平面?
若存在,求出;若不存在,說明理由.
21. (12分)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且
(其中O為原點). 求k的取值范圍.
22.(12分) 已知兩定點,動點滿足,由點向軸作垂線,垂足為,點滿足,點的軌跡為.
(1) 求曲線的方程;
(2) 直線與軸交于點,與曲線交于、兩點,是否存在點,
8、使得為
定值?若存在,請指出點的坐標(biāo),并求出該定值;若不存在,請說明理由
高二年級數(shù)學(xué)(理科)答案
一、 選擇題
ADDA A ACAAD BC
二、 填空題
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
三、解答題
17.解:(1)圓的半徑r==,所以圓的方程為……5分
(2) ……10分
18.解:(1)設(shè)(),由已知得,則
得,,點………4分
設(shè)圓的半徑為,則,故圓的方程為:……6分
(2)設(shè)直線的方程為(),,
由,得,解得
………8分
由已知,直線的斜率為,………10分
9、 即直線的斜率為定值………12分
19.解:(1)(1)因為⊥平面,為矩形,所以兩兩垂直.如圖,以為坐標(biāo)原點,的方向為軸、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則D(0,2,0),E,.
設(shè)B(m,0,0)(m>0),則C(m,2,0),=(m,2,0).
設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,
則即
可取n1=. ………4分
又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量, ………4分
由題設(shè)易知|cos〈n1,n2〉|=,即,
解得m=1.,即AB=1.
10、 ………7分
(2)易得
, ……10分
,
所以異面直線與直線所成角的余弦值為. ………12分
20. 【解法一】(Ⅰ)取中點,連結(jié),.因為,所以......①.
因為四邊形為直角梯形,,,所以四邊形為正方形,所以...... ②.又.......③
由①②③可知平面. 所以 .
………4分
(2) 因為平面平面,且,平面,
故就是直線與平面所成的角,不妨設(shè),則,
,
故直線與平面所成角的正弦值為。 ------
11、-------8分
(3)存在點,且時,有// 平面. 證明如下:
連結(jié)交于,由∥,易證與相似,
.
若線段上存在點,使// 平面,則
由平行線分線段成比例,得---------------------12分
【解法二】(1)同解法一
(2)因為平面平面,且 ,
所以平面,所以. 由兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為三角形為等腰直角三角形,所以,設(shè),所以. 所以 ,平面的一個法向量為. 設(shè)直線與平面所成的角為,所以 ,
即直線與平面所成角的正弦值為.…8分
(3)存在點,且時,有// 平面. 證明如下:
由 ,,所以.
設(shè)平面的法向量為,則有所
12、以 取,得.因為 ,且平面,所以 // 平面. 即點滿足時,有// 平面.…………12分
21. 解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為
由已知得
故雙曲線C的方程為-------------------4分
(Ⅱ)將
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
即 ①
設(shè),則------------------8分
而
于是即解得 ②
由①、②得 ,故k的取值范圍為-------12分
22. 解:(1)易知點的軌跡方程為:,設(shè),
則由可得,代入得:
,即,這就是曲線的方程。-----------5分
(2) 假設(shè)存在點,使得為定值,設(shè),
當(dāng)直線與軸重合時,有,
當(dāng)直線與軸垂直時,,
由,解得,,
所以若存在點,此時,為定值2. …………………8分
根據(jù)對稱性,只需考慮直線過點,設(shè),,
又設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立方程組,
化簡得,所以,,
又,
所以,
將上述關(guān)系代入,化簡可得.
綜上所述,存在點,使得為定值2……………12分