2022年高三數(shù)學10月月考試題 理（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學10月月考試題 理（含解析） 【試卷綜析】試卷全面考查了考試說明中要求的內(nèi)容，如復數(shù)、旋轉(zhuǎn)體、簡易邏輯試卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中數(shù)學的主干知識如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其是解答題，涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學的重點知識.明確了中學數(shù)學的教學方向和考生的學習方向.注重考查數(shù)學的各種思想和能力 ?函數(shù)與方程的思想、變換的思想、充分體現(xiàn)，挖掘考生的各項數(shù)學能力、體現(xiàn)寬口徑，多角度的命題思路.? 第Ｉ卷 一、選擇題（本大題10個小題，每題5分，共50分,請將答案涂在答題卡上) 【題文】1．已知集合

2、A={}，集合B為整數(shù)集，則AB=（ ） A. B. C. D. 【知識點】交集及其運算A1 【答案解析】D解析：解：由（x+1）（﹣x+2）≥0，得﹣1≤x≤2， ∴A={x|（x+1）（﹣x+2）≥0}={x|﹣1≤x≤2}，又B為整數(shù)集， 則A∩B={﹣1，0，1，2}．故選：D． 【思路點撥】求解一元二次不等式化簡集合A，然后直接利用交集運算得答案 【題文】2．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（ ） A.

3、向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移1個單位長度 D.向右平移1個單位長度 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換 C4 【答案解析】A解析：解：因為函數(shù)y=cos（2x+1）=cos[2（x+）]， 所以要得到函數(shù)y=cos（2x+1）的圖象，只要將函數(shù)y=cos2x 的圖象向左平移個單位． 故選A 【思路點撥】化簡函數(shù)y=cos（2x+1），然后直接利用平移原則，推出平移的單位與方向即可 【題文】3．已知，其中是虛數(shù)單位，那么實數(shù)的值為（ ） A. 1

4、 B. 2 C. D. 【知識點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【答案解析】C 解析：解：∵（a﹣i）2=2i，∴a2﹣1﹣2ai=2i，∴，解得a=﹣1．故選：C． 【思路點撥】利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等即可得出 【題文】4．若則一定有（ ） A. B. C. D. 【知識點】不等式比較大?。徊坏汝P系與不等式 E1 【答案解析】D 解析：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1， 則，，∴A、B不正確； ，=﹣， ∴C不正確

5、，D正確． 故選：D． 【思路點撥】利用特例法，判斷選項即可 【題文】5．若是的對稱軸，則的初相是（ ） A. B. C. D. 【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)．C5 【答案解析】C解析：解：已知x=﹣是f（x）=cosx+asinx的對稱軸， 所以cos（﹣）+asin（﹣）=，解得：a=﹣， 則：f（x）=cosx﹣sinx=2sin（x+），故選：C． 【思路點撥】首先根據(jù)函數(shù)的對稱軸建立關于a的方程求出a值，進一步對f（x）=cosx+asinx的關系進行恒等變換，整理成f（x

6、）=2sin（x+）的形式，最后求出結(jié)果． 【題文】6．已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列（ ） A.一定是等差數(shù)列 B.一定是等比數(shù)列 C.或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列 D.既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列 【知識點】等比關系的確定 D5 【答案解析】C 解析：解：①當a=1時，Sn=0， 且a1=a﹣1=0，an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣1）﹣（an﹣1﹣1）=0，（n＞1） an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（an﹣1﹣1）﹣（an﹣2﹣1）=0，∴an﹣an﹣1=0， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列． ②當a≠1時，

7、 a1=a﹣1， an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣1）﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，（n＞1） an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（an﹣1﹣1）﹣（an﹣2﹣1）=an﹣1﹣an﹣2，（n＞2） ，（n＞2） ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 綜上所述，數(shù)列{an}或是等差數(shù)列或是等比數(shù)列． 故選C． 【思路點撥】由題意可知，當a=1時，Sn=0，判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列；當a≠1時，利用 ，判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列． 【題文】7．如圖所示的莖葉圖表示甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為（ ） A

8、. B. C. D. 【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖 K8 【答案解析】C 解析：解：由已知中的莖葉圖可得 甲的5次綜合測評中的成績分別為88，89，90，91，92， 則甲的平均成績==90 設污損數(shù)字為X， 則乙的5次綜合測評中的成績分別為83，83，87，99，90+X 則乙的平均成績==88.4+ 當X=8或9時，≤ 即甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為= 則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率P=1﹣= 故選C 【思路點撥】由已知的莖葉圖，我們可以求出甲乙兩人的平均成績，然后求出≤即甲的平

9、均成績不超過乙的平均成績的概率，進而根據(jù)對立事件減法公式得到答案 【題文】8．某程序框圖如圖所示，若使輸出的結(jié)果不大于 37， 則輸入的整數(shù)i的最大值為（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【知識點】循環(huán)結(jié)構 L2 【答案解析】C 解析：解：經(jīng)過第一次循環(huán)得到S=2，n=1， 經(jīng)過第二次循環(huán)得到S=5，n=2， 經(jīng)過第三次循環(huán)得到S=10，n=3， 經(jīng)過第四次循環(huán)得到S=19，n=4， 經(jīng)過第五次循環(huán)得到S=36，n=5， 經(jīng)過第六次循環(huán)得到S=69，n=6， ∵輸出的結(jié)果不大于37 ∴n的最大值為4 ∴i的最大值為5 故選B

10、 【思路點撥】按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，據(jù)題目對輸出s的要求，求出n的最大值，據(jù)判斷框中n與i的關系求出i的最大值 【題文】9．用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義 A*B=。若A={1,2} B=，且A*B=1， 設實數(shù)的所有可能取值集合是S，則C(S)=（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【知識點】集合的確定性、互異性、無序性 A1 【答案解析】B 解析：解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等價于

11、 x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②， 又由A={1，2}，且A*B=1， ∴集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合， 1°集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實根，②無實數(shù)根， ∴a=0； 2°集合B是三元素集合，則方程①有兩不相等實根，②有兩個相等且異于①的實數(shù)根， 即，解得a=±2，綜上所述a=0或a=±2， ∴C（S）=3．故答案為 B． 【思路點撥】根據(jù)A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，可知集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，然后對方程|x2+ax+1|=1的根的個數(shù)進行討論，即可求得a的

12、所有可能值，進而可求C（S）． 【題文】10．如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，D為AC中點，且△ADE也是等邊三角形，在△ADE以點A為中心向下轉(zhuǎn)動到穩(wěn)定位置的過程中，的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算 F3 【答案解析】A解析：解：設∠BAD=θ，（0≤θ≤），則∠CAE=θ， 則?=（﹣）?（﹣）=?﹣?﹣?+?= =1×1×cos﹣1×2×cos（）﹣2×1×cos（）+2×2×cos =﹣2（cosθ+sinθ+c

13、osθ﹣sinθ）=﹣2cosθ， 由于0≤θ≤，則≤cosθ≤1， 則≤﹣2cosθ≤． 故選：A． 【思路點撥】設∠BAD=θ，（0≤θ≤），則∠CAE=θ，則=（﹣）?（﹣），將其展開，運用向量的數(shù)量積的定義，再由兩角和差的余弦公式，化簡得到﹣2cosθ，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍． 第Ⅱ卷 二．填空題（本大題5個小題，每題5分，共25分，請把答案填在答題卡上） 【題文】11．等比數(shù)列的前項和為，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為____________。 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì) D3 【答案解析】解析：解：∵等比數(shù)列{an}的前n項和為

14、Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列， ∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2）， 解． 故答案為 【思路點撥】先根據(jù)等差中項可知4S2=S1+3S3，利用等比賽數(shù)列的求和公式用a1和q分別表示出S1，S2和S3，代入即可求得q． 【題文】12．已知函數(shù)則滿足不等式的取值范圍是 。 【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；其他不等式的解法 B1,E8 【答案解析】 解析：解：由題意，可得 故答案為： 【思路點撥】由題意f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，而x＜0時，f（x）=1，故滿足不等

15、式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需滿足，解出x即可． 【題文】13．已知直線l過點，且與曲線相切，則直線的方程為 。 【知識點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 B11 【答案解析】x﹣y﹣1=0解析：解：∵f（x）=xlnx， ∴函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=1+lnx， 設切點坐標為（x0，x0lnx0）， ∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）處的切線方程為y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0）， ∵切線l過點（0，﹣1）， ∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（﹣x0）， 解得x0=1， ∴直線l的方程為：y=x﹣1． 即直線

16、方程為x﹣y﹣1=0， 故答案為：x﹣y﹣1=0． 【思路點撥】設出切點坐標，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式求出切線方程，代入點（0，﹣1），解方程即可得到結(jié)論． 【題文】14．設的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N=240， 則N = 。 【知識點】二項式系數(shù)的性質(zhì) J3 【答案解析】4 解析：解：各項系數(shù)之和為M=4n，二項式系數(shù)之和為N=2n，M﹣N=240=4n﹣2n，∴n=4． 故答案為：4． 【思路點撥】由于各項系數(shù)之和為M=4n，二項式系數(shù)之和為N=2n，M﹣N=240=4n﹣2n，解方

17、程求得 n 的值 【題文】15．已知函數(shù)的定義域為[]，部分對應值如下表： 0 4 5 1 2 2 1 的導函數(shù)的圖象如圖所示，下列關于的 命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)在[0,2]上是減 函數(shù)；③如果當時，的最大值是2，那么的 最大值是4；④當時，函數(shù)有4個零點； ⑤函數(shù)的零點個數(shù)可能為0，1，2，3，4。其中正確命題的序號是_____________（寫出所有正確命題的序號）。 【知識點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的周期性；函數(shù)的零點；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 B9,B11 【答案解析】②⑤ 解析：解：由導函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關

18、系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖： 由圖得：①為假命題．函數(shù)f（x）不能斷定為是周期函數(shù)． ②為真命題，因為在[0，2]上導函數(shù)為負，故原函數(shù)遞減； ③為假命題，當t=5時，也滿足x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2； ④為假命題，當a離1非常接近時，對于第二個圖，y=f（x）﹣a有2個零點，也可以是3個零點． ⑤為真命題，動直線y=a與y=f（x）圖象交點個數(shù)可以為0、1、2、3、4個，故函數(shù)y=f（x）﹣a的零點個數(shù)可能為0、1、2、3、4個． 綜上得：真命題只有②⑤． 故答案為：②⑤ 【思路點撥】先由導函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借

19、助與圖象和導函數(shù)的圖象，對五個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案 三．解答題：（本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。） 【題文】16．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，。 （1）求數(shù)列、的通項公式； （2）設數(shù)列中，，求數(shù)列的前n項和Sn。 【知識點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì) D2,D4 【答案解析】(1) (2) Sn=（n﹣1）?2n+1+2解析：解：（1）在等差數(shù)列{an}中， 由a1=1，a3=3，得， ∴an=1+1×（n﹣1）=n． 在等比數(shù)列}{bn}中， 由b2=4，b5=

20、32，得，q=2． ∴； （2）cn=an?bn=n?2n． 則Sn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n ①， ②， ①﹣②得：=． ∴Sn=（n﹣1）?2n+1+2． 【思路點撥】1）直接由已知求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得答案； （2）把數(shù)列{an}、{bn}的通項公式代入cn=an?bn，然后利用錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和Sn 【題文】17．（12分）已知向量。 （1）求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間； （2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函

21、數(shù)的圖象，在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為，若，求的值。 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換 F3,C4 【答案解析】(1) =π，[kπ，kπ]，k∈z(2) a=解析：解：（1）∵向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，﹣sinx）．f（x）=?=COS2x﹣sin2x=sin（2x+）， ∴函數(shù)的周期為=π， ∵2kπ+≤2x+2kπ，k∈z，∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z， 所以函數(shù)的周期為=π，[kπ，kπ]，k∈z （2）∵將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來

22、的2倍，縱坐標不變， ∴g（x）=cosx，∵f（）=0，g（B）=，b=2，∴sin（A+）=0，COSB=， ∵在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c， ∴A=，B=∵，b=2∴得：，即a=， 【思路點撥】（1）向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，﹣sinx）．f（x）=?=COS2x﹣sin2x=sin（2x+），運用三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)求解． （2）利用函數(shù)圖象平移求出g（x）解析式，代入利用已知條件求解 【題文】18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7

23、，△DCE是邊長為6的正三角形。 （1）求證：平面DEC⊥平面BDE； （2）求二面角C—BE—D的余弦值。 【知識點】平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 G5,G11 【答案解析】（1）略 （2）解析：解（1）證明：因為四邊形ABCD為直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，所以BD=， 又因為BC=7，CD=6，所以根據(jù)勾股定理可得BD⊥CD， 因為BE=7，DE=6，同理可得BD⊥DE． 因為DE∩CD=D，DE?平面DEC，CD?平面DEC， 所以BD⊥平面DEC． 因為BD?平面BDE， 所以平面DEC⊥平面BDE； （2）解

24、：在△CBE中，BC=7，CE=6，BE=7，∴S△CBE==6， 在△BED中，BD=，DE=6，BE=7，∴S△BED==3， ∴二面角C﹣BE﹣D的余弦值為= 【思路點撥】（1）根據(jù)勾股定理證明BD⊥CD，BD⊥DE，可得BD⊥平面DEC，利用平面與平面垂直的判定定理，即可證明平面DEC⊥平面BDE； （2）求出S△CBE、S△BED，即可求二面角C﹣BE﹣D的余弦值 【題文】19．某班共有24人參加同時開設的數(shù)學興趣小組和物理興趣小組，其中參加數(shù)學興趣小組的有6名女生，10名男生；參加物理興趣小組的有3名女生，5名男生，現(xiàn)采用分層抽樣方法從兩組中抽取3人。 （1）求抽

25、取的3人中恰有一名女生來自數(shù)學興趣小組的概率； （2）記X表示抽取3人中男生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望。 【知識點】離散型隨機變量及其分布列；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機變量的期望與方差 K6 【答案解析】(1) P（A）=． (2) ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P EX==． 解析：解：（1）設事件A表示“抽取的3人中恰有一名女生來自數(shù)學興趣小組”， P（A）=． （2）由題意，知X=0，1，2，3， 現(xiàn)采用分層抽樣方法從兩組中抽取3人， 則從甲組中抽取2人，從乙組抽取1人， P（X=0）==， P（

26、X=1）==， P（X=2）=+=， P（X=3）==， ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P EX==． 【思路點撥】1）利用古典概型概率公式能求出抽取的3人中恰有一名女生來自數(shù)學興趣小組的概率． （2）由題意，知X=0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX． 【題文】20．（13分）已知數(shù)列滿足，前n項和為Sn，Sn=。 （1）求證：是等比數(shù)列； （2）記，當時是否存在正整數(shù)n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由。 【知識點】數(shù)列遞推式 D1 【答案解析】（1）略 （2）存在

27、m=4，滿足題意 解析：解（1）證明：∵， ∴Sn﹣1=（1+an﹣1）． 兩式相減得， 故{an}是等比數(shù)列． （2）解：， ∵lna＜0，∴， 若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)， ， 當，即時，b2k+2＜b2k， 又b4＞b2，k≥2時b4＞b6＞b8＞… ∴存在m=4，滿足題意． 【思路點撥】（1）由已知推導出，由此能證明{an}是等比數(shù)列． （2）由，得若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)，，由此能求出存在m=4，滿足題意． 【題文】21．（14分）設函數(shù)，其中。 （1）若，求在[1,4]上的最值； （2）若在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值

28、，求實數(shù)的取值范圍； （3）求證：不等式恒成立。 【知識點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 B12 【答案解析】(1) f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，在[2，4]上為增函數(shù)． ∴f（x）min=f（2）=2﹣6ln2，f（1）=0，f（4）=12﹣6ln4＞0． ∴f（x）max=f（4）=12﹣6ln4=12（1﹣ln2）； (2)0＜a＜(3)略 解析：解：（1）當a=﹣6時，f（x）=x2﹣x﹣6lnx（x＞0）， =， 令（舍）， 當1≤x＜2時，f′（x）0． ∴f（x）在[1， 2]上為減函數(shù)，在[2，4]上為增函數(shù)． ∴f（x）

29、min=f（2）=2﹣6ln2，f（1）=0，f（4）=12﹣6ln4＞0． ∴f（x）max=f（4）=12﹣6ln4=12（1﹣ln2）； （2）f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值， 即f′（x）=0在（0，+∞）有兩不等根， 即2x2﹣x+a=0在（0，+∞）有兩不等實根， 令g（x）=2x2﹣x+a，則，解得0＜a＜； （3）令函數(shù)h（x）=x3﹣f（x）=x3﹣x2+ln（x+1） 則h′（x）=3x2﹣2x+=， ∴當x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0 ∴函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增， 又h（0）=0， ∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）

30、=0 即x2＜x3+ln（x+1）恒成立． 取x=∈（0，+∞），則有l(wèi)n（+1）＞恒成立． 即不等式ln＞（n∈N*）恒成立 【思路點撥】1）當a=﹣6時，由f′（x）=0得x=2，可判斷出當x∈[1，2）時，f（x）單調(diào)遞減；當x∈（2，4]時， f（x）單調(diào)遞增，從而得到f（x）在[1，4]上的最值． （2）要使f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，即f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個不同的交點，即使f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不等實根，即2x2﹣x+a=0在（0，+∞）有兩不等實根，可以利用一元二次函數(shù)根的分布，即可求a的范圍． （3）先構造函數(shù)h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令x=，即可證得結(jié)論．