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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理(含解析)
1.(xx江西,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為( )
A. π B. π
C.(6-2)π D. π
解析:選A 法一:設(shè)A(a,0),B(0,b),圓C的圓心坐標(biāo)為,2r=,由題知圓心到直線2x+y-4=0的距離d==r,即|2a+b-8|=2r,2a+b=8±2r,由(2a+b)2≤5(a2+b2),得8±2r≤2r?r≥,即圓C的面積S=π r2≥π.
法二:由題意可知以線段A
2、B為直徑的圓C過原點(diǎn)O,要使圓C的面積最小,只需圓C的半徑或直徑最?。謭AC與直線2x+y-4=0相切,所以由平面幾何知識,知圓的直徑的最小值為點(diǎn)O到直線2x+y-4=0的距離,此時(shí)2r=,得r=,圓C的面積的最小值為S=πr2=π.
答案:A
2.(xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ,5分)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是________.
解析:由題意可知M在直線y=1上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線y=1與圓x2+y2=1相切于點(diǎn)P(0,1).當(dāng)x0=0即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí),顯然圓上存在點(diǎn)N(±1,0)符合要求;當(dāng)x0≠0時(shí),過M作圓的切線,切點(diǎn)之一為點(diǎn)
3、P,此時(shí)對于圓上任意一點(diǎn)N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°.特別地,當(dāng)∠OMP=45°時(shí),有x0=±1.結(jié)合圖形可知,符合條件的x0的取值范圍為[-1,1].
答案:[-1,1]
3.(xx江蘇,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為________.
解析:因?yàn)閳A心(2,-1)到直線x+2y-3=0的距離d==,所以直線x+2y-3=0被圓截得的弦長為2=.
答案:
3.(xx重慶,5分)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC
4、為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=________.
解析:依題意,圓C的半徑是2,圓心C(1,a)到直線ax+y-2=0的距離等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.
答案:4±
4.(xx湖北,5分)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=________.
解析:由題意得,直線l1截圓所得的劣弧長為,則圓心到直線l1的距離為,即=?a2=1,同理可得b2=1,則a2+b2=2.
答案:2
5.(xx江蘇,16分)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB
5、垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.
(1)求新橋BC的長;
(2)當(dāng)OM多長時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?
解:法一:(1)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.
由條件知A(0,60),C(170,0),
直線BC的斜率kBC=
-tan∠BCO=-.
又因?yàn)锳B⊥BC,所以直線AB的斜率kAB=.
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),
則kBC==-,kAB==.
解得a=
6、80,b=120.
所以BC==150.
因此新橋BC的長是150 m.
(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m(0≤d≤60).
由條件知,直線BC的方程為y=-(x-170),
即4x+3y-680=0.
由于圓M與直線BC相切,故點(diǎn)M(0,d)到直線BC的距離是r,
即r==.
因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,
所以即
解得10≤d≤35.
故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大.
所以當(dāng)OM=10 m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.
法二:(1)如圖,延長OA,CB交于點(diǎn)F.
因?yàn)閠an∠FCO=,
所以sin∠FCO=,cos∠
7、FCO=.
因?yàn)镺A=60,OC=170,
所以O(shè)F=OCtan∠FCO=,
CF==.
從而AF=OF-OA=.
因?yàn)镺A⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.
又因?yàn)锳B⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,
從而BC=CF-BF=150.
因此新橋BC的長是150 m.
(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D,連接MD,則MD⊥BC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).
因?yàn)镺A⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.
故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.
因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,
8、
所以即
解得10≤d≤35.
故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大.
所以當(dāng)OM=10 m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.
6.(xx江西,5分)過點(diǎn)(,0)引直線l與曲線y=相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí),直線l的斜率等于( )
A. B.-
C.± D.-
解析:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系,意在考查考生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算能力.由y= 得x2+y2=1(y≥0),即該曲線表示圓心在原點(diǎn),半徑為1的半圓,如圖所示.故S△AOB=|OA|·|OB|·sin ∠AOB=sin ∠AOB.所以當(dāng)sin
9、 ∠AOB=1,即OA⊥OB時(shí),S△AOB取得最大值,此時(shí)點(diǎn)O到直線l的距離d=|OA|·sin 45°=.設(shè)此時(shí)直線l的斜率為k,則方程為y=k(x-),即kx-y-k=0,則有=,解得k=±,由圖可知直線l的傾斜角為鈍角,故取k=-.
答案:B
7.(xx山東,4分)過點(diǎn)(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的長為________.
解析:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力.最短弦為過點(diǎn)(3,1),且垂直于點(diǎn)(3,1)與圓心的連線的弦,易知弦心矩d==,所以最短弦長為2=2=2.
答案:2
8.(xx重慶,5分)已知圓C1:(x-2)
10、2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為( )
A.5-4 B.-1
C.6-2 D.
解析:本題考查與圓有關(guān)的最值問題,意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力.兩圓的圓心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C(2,-3),則(|PC1|+|PC2|)min=|CC2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4.
答案:A
9.(xx江蘇,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y
11、=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
解:本題考查直線與圓的方程,兩直線交點(diǎn)和直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生用待定系數(shù)法處理問題的能力和用代數(shù)法處理幾何性質(zhì)的能力.
(1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在.設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,
由題意,=1,解得k=0或-,
故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.
(2)因?yàn)閳A心在直
12、線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)镸A=2MO,
所以=2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.
由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),則|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,得0≤a≤.
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0,.
10.(xx天津,5分)設(shè)m,n∈R,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是(
13、 )
A.[1-,1+ ]
B.(-∞,1- ]∪[1+,+∞)
C.[2-2,2+2 ]
D.(-∞,2-2 ]∪[2+2,+∞)
解析:由題意可得=1,化簡得mn=m+n+1≤,解得m+n≤2-2或m+n≥2+2.
答案:D
11.(xx陜西,5分)已知圓C:x2+y2-4x=0,l是過點(diǎn)P(3,0)的直線,則( )
A.l與C相交 B.l與C相切
C.l與C相離 D.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能
解析:把點(diǎn)(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得32+0-4×3=-3<0,故點(diǎn)(3,0)在圓的內(nèi)部,所以過點(diǎn)(3,0)的直線l與圓C相交.
答案:A
12.(2011江西,
14、5分)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx-m)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-,) B.(-,0)∪(0,)
C.[-,] D.(-∞,-)∪(,+∞)
解析:整理曲線C1方程得,(x-1)2+y2=1,知曲線C1為以點(diǎn)C1(1,0)為圓心,以1為半徑的圓;曲線C2則表示兩條直線,即x軸與直線l:y=m(x+1),顯然x軸與圓C1有兩個(gè)交點(diǎn),知直線l與x軸相交,故有圓心C1到直線l的距離d=