2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法教學(xué)案 理 北師大版

第6章 數(shù)列全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小題或者1道解答題，分值占1012分2.考查內(nèi)容(1)高考對小題的考查一般以等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)為主(2)解答題一般以數(shù)列遞推關(guān)系為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等差、等比數(shù)列的證明，數(shù)列求和的方法等3.備考策略從2019年高考試題可以看出，高考對數(shù)列知識的考查既注重基礎(chǔ)又注重能力且難度有可能會逐步加大.第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1數(shù)列的定義按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an3數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式4數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式5an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an特別地，若a1滿足anSnSn1(n2)，則不需要分段一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個數(shù)列()(2)1,1,1,1，不能構(gòu)成一個數(shù)列()(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(4)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意nN，都有an1Sn1Sn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1已知數(shù)列，下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項(xiàng)的是()A.B.C.D.B該數(shù)列的通項(xiàng)an，結(jié)合選項(xiàng)可知B正確2在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5等于()A.B.C.D.Da212，a31，a413，a51.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an_.當(dāng)n1時(shí)，a1S12.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n21(n1)212n1，故an4根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an_.5n4由a115×14，a265×24，a3115×34，歸納an5n4. 考點(diǎn)1由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式利用觀察法求數(shù)列通項(xiàng)要抓住數(shù)列的4個特征(1)分式中分子、分母的特征(2)相鄰項(xiàng)的變化特征(3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征(4)各項(xiàng)符號特征等根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：(1)，；(2)1,7，13,19，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，每一項(xiàng)都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，相鄰的偶數(shù)故所求數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an.(2)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(1)n，觀察各項(xiàng)的絕對值，后一項(xiàng)的絕對值總比它前一項(xiàng)的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5)(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an.(4)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，易知數(shù)列9,99,999，的通項(xiàng)為10n1，故所求的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an(10n1)(1)對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kN處理，如T(2)；(2)若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，如T(3)(3)考查歸納推理，特殊到一般，由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式，答案并不唯一考點(diǎn)2由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式已知Sn求an的3個步驟(1)利用a1S1求出a1.(2)當(dāng)n2時(shí)，利用anSnSn1(n2)求出an的表達(dá)式(3)看a1是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n，則an_.(2)(2018·全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_.(3)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an_.(1)4n5(2)63(3)(1)a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)因?yàn)镾n2an1，所以當(dāng)n1時(shí)，a12a11，解得a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1，所以S663.(3)當(dāng)n1時(shí)， a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an.顯然當(dāng)n1時(shí)不滿足上式，anSn與an關(guān)系問題的求解思路要根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化(1)利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式(2)利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解提醒：利用anSnSn1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n2這一前提條件，易忽視驗(yàn)證n1致誤教師備選例題1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n1，則an_.當(dāng)n1時(shí)，a1S1314；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n1)(3n11)2·3n1.當(dāng)n1時(shí)，2×3112a1，所以an2已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n2時(shí)，有1成立，則S2 019_.當(dāng)n2時(shí)，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)·SnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以n1，故Sn，則S2 019.1.已知正項(xiàng)數(shù)列an中，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()AannBann2CanDanB，(n2)，兩式相減得n(n2)，ann2(n2)，又當(dāng)n1時(shí)，1，a11，適合式，ann2，nN.故選B.2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn_.n1因?yàn)镾n2an1，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn12an，所以anSnSn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，所以an×n2(n2)當(dāng)n1時(shí)，a11×1，所以an所以Sn2an12××n1n1.考點(diǎn)3由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式累加法形如an1anf(n)，求an利用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 f(n1) f(n2) f(1)a1求解設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_an由題意得a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.a11，an(n2)當(dāng)n1時(shí)也滿足此式，an.應(yīng)注意題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為“anan1n”時(shí)，其前提條件為“n2”，易忽視驗(yàn)證“n1”致誤在數(shù)列an中，a13，an1an，則通項(xiàng)公式an_.4原遞推公式可化為an1an，則a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐項(xiàng)相加得ana11，故an4，經(jīng)驗(yàn)證a1，a2也符合累乘法形如f(n)，求an 利用an······a1求解在數(shù)列an中，a11，anan1(n2，nN)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_ananan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)個式子相乘得，ana1····.當(dāng)n1時(shí)，a11，符合上式，an.反復(fù)構(gòu)造“”是解答此類問題的關(guān)鍵已知數(shù)列an滿足a11，an12nan，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解an12nan，2n，2n1(n2)，an····a12n1·2n2··2·12123(n1)2.又a11適合上式，故an2.待定系數(shù)法形如an1AanB(A0且A1，B0)，求an求此類數(shù)列的通項(xiàng)公式，通常采用待定系數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為(an1x)A(anx)，先求出x，再借助等比數(shù)列anx 求解(2019·青島模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an13an2(nN)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_an2·3n11an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an12·3n1，an2·3n11.構(gòu)造“an113(an1)”是解答本題的關(guān)鍵(2019·葫蘆島二模)九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝據(jù)明代楊慎丹鉛總錄記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”在某種玩法中，用an表示解下n(n9，nN)個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，an滿足a11，且an，則解下4個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()A7B10C12D22A依題意a42a312(2a22)122(2a11)217.故選A.取倒數(shù)法形如an1(A，B，C為常數(shù))，求an將原式變形為·.若AC，則是等差數(shù)列，且公差為，可直接用公式求通項(xiàng)；若AC，則采用待定系數(shù)法，構(gòu)造新數(shù)列求解已知數(shù)列an中，a12，an1(nN)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.an1，a12，an0，即，又a12，則，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列(n1)×.an.求解本題的關(guān)鍵是對等式取倒數(shù)變形后，發(fā)現(xiàn)成等差數(shù)列(2019·張家界模擬)若數(shù)列an中，a11，an1，則這個數(shù)列的第10項(xiàng)a10()A28B29CDCan1，兩邊取倒數(shù)得3，又 a11所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以1(n1)×33n2，即an，所以a10，故選C.考點(diǎn)4數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的周期性及應(yīng)用解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值(2019·包頭模擬)在數(shù)列an中，a10，an1，則S2 020_.0a10，an1，a2，a3，a40，即數(shù)列an的取值具有周期性，周期為3，且a1a2a30，則S2 020S3×6731a10.解答本題的關(guān)鍵是正確求出數(shù)列的前3項(xiàng)后，發(fā)現(xiàn)數(shù)列an是周期數(shù)列已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 020()A1BC1D2B由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 020a3×6731a1.數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用1.判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法(1)作差(或商)法；(2)目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去2求數(shù)列中最大(小)項(xiàng)的2種方法(1)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷；(2)利用不等式組(或)求出n的值，進(jìn)而求得an的最值3求含整數(shù)n的代數(shù)式的最值問題，一般采用作差(作商)研究單調(diào)性，特別是在大題中最有效(1)一題多解已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為annn，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)為()A.B.C.D.(2)若ann2kn4且對于nN，都有an1an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_(1)A(2) (3，)(1)法一：(作差比較法)an1an(n1)n1nn·n，當(dāng)n<2時(shí)，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n2時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n>2時(shí)，an1an<0，即an1<an.所以a1<a2a3，a3>a4>a5>>an，所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a2或a3，且a2a32×2.故選A.法二：(作商比較法)，令>1，解得n<2；令1，解得n2；令<1，解得n>2.又an>0，故a1<a2a3，a3>a4>a5>>an，所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a2或a3，且a2a32×2.故選A.(2)由an1an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又通項(xiàng)公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN，k3.由于數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)圖像是離散型的點(diǎn)，故其單調(diào)性不同于函數(shù)的單調(diào)性，本例(2)在求解時(shí)常因誤用二次函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)致求錯實(shí)數(shù)k的取值范圍1.已知an，那么數(shù)列an是()A遞減數(shù)列B遞增數(shù)列C常數(shù)列D擺動數(shù)列Ban1，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，nN，易知an是遞增數(shù)列2數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(n1)·n，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第_項(xiàng)9或10an1an(n2)n1(n1)nn×，當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an，該數(shù)列中有最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)12