2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教學(xué)案 文 北師大版

第6章 數(shù)列全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2道小題或1道解答題，分值占1012分.2.考查內(nèi)容高考對(duì)小題的考查一般以等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算、性質(zhì)及數(shù)列的遞推公式等為主解答題一般考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差、等比數(shù)列的判定及計(jì)算、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、公式法求和.3.備考策略(1)熟練掌握以下內(nèi)容及方法根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法；等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；等差、等比數(shù)列的性質(zhì)；等差、等比數(shù)列的判定方法；數(shù)列求和方法：分組轉(zhuǎn)化法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和.(2)重視分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用.第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第93頁)1數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)(2)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和通項(xiàng)公式法2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限單調(diào)性遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1anc(常數(shù))擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式4數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法5an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an1數(shù)列an是遞增數(shù)列an1an恒成立2數(shù)列an是遞減數(shù)列an1an恒成立一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)()(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(3)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意nN*，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫出數(shù)列an的任何一項(xiàng)()答案(1)×(2)(3)(4)二、教材改編1數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan±Ban(1)n·Can(1)n1DanB由a11，代入檢驗(yàn)可知選B.2在數(shù)列an中，已知a1，an11，則a3()A3B.C5D.Da215，a311.3把3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)則第6個(gè)三角形數(shù)是()A27B28 C29D30B由題圖可知，第6個(gè)三角形數(shù)是123456728.4已知數(shù)列an中，a11，a22，以后各項(xiàng)由anan1an2(n2)給出，則a5_.8a3a2a13，a4a3a25，a5a4a38.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第94頁)考點(diǎn)1由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式解答具體策略：相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律；各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律和其絕對(duì)值的變化規(guī)律；分式中分子、分母的變化規(guī)律，分子與分母之間的關(guān)系；合理拆項(xiàng)；結(jié)構(gòu)不同的項(xiàng)，化異為同根據(jù)下面各數(shù)列前n項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)，；(2)，2，8，；(3)5,55,555,5555，；(4)1,3,1,3，；(5)，；(6)1,1，2,2，3,3，.解(1)數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(1)n1表示每一項(xiàng)絕對(duì)值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an(1)n1.(2)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an.(3)將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，易知數(shù)列9,99,999，的通項(xiàng)為10n1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1)(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是1，偶數(shù)項(xiàng)是3，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an2(1)n.(5)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，相鄰的偶數(shù)故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an.(6)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為1，2，3，可用表示，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，可用表示因此an(1)記住常見數(shù)列的通項(xiàng)公式，有些數(shù)列可用常見數(shù)列表示，如T(3)(2)對(duì)于奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)不能用同一表達(dá)式表示的數(shù)列，可用分段函數(shù)表示，如T(6)考點(diǎn)2由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1S1，求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)注意檢驗(yàn)n1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2的表達(dá)式合并(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(2)(2018·全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_.(3)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an_.(1)(2)63(3)(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S13×122×112；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2)由Sn2an1得S12a11，即a12a11，解得a11.又Sn12an11(n2)，所以an2an2an1，即an2an1.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以S612663.(3)當(dāng)n1時(shí)，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an(n2)顯然當(dāng)n1時(shí)不滿足上式，ananSnSn1只適用于n2的情形，易忽略求a1，造成錯(cuò)解，如T(1)，T(3)1.(2019·鄭州模擬)已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且log2(Sn1)n1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_an由log2(Sn1)n1得Sn12n1，即Sn2n11.當(dāng)n1時(shí)，a1S121113.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n11)(2n1)2n，顯然a13不滿足上式，所以an2已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意nN*，均有2Snaan，則an_.n由2Snaan得2Sn1aan1，2anaaanan1，即aaanan1，又an0，anan11，又2S1aa1，解得a11，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列an1(n1)×1n.考點(diǎn)3由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法(1)形如an1anf(n)，可用累加法求an.(2)形如an1anf(n)，可用累乘法求an.(3)形如an1AanB(A0且A1)，可構(gòu)造等比數(shù)列求an.(4)形如an1，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列求解形如an1anf(n)，求an在數(shù)列an中，a12，an1an3n2(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(3n1)(3n4)852，ann2.求解時(shí)，易錯(cuò)誤地認(rèn)為an(anan1)(an1an2)(a2a1)造成錯(cuò)解形如an1anf(n)，求an已知數(shù)列an滿足a14，an1an，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由an1an得，(n2)，an······a1······4××2×1×4，即an.求解時(shí)易錯(cuò)誤地認(rèn)為an·····，造成錯(cuò)解形如an1AanB(A0且A1)，求an已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故數(shù)列an1是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，an12·3n1，因此an2·3n11.an1AanB可轉(zhuǎn)化為an1kA(ank)的形式，其中k可用待定系數(shù)法求出1.(2019·泰安模擬)已知數(shù)列an滿足a12，an1an2n11，則an_.2n1n由an1an2n11得an1an2n11，anan12n21(n2)，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n22n321(n1)2n12n1n，即an2n1n.2已知數(shù)列an滿足a11，an12nan，則an_.2an12nan，2n，2n1(n2)，an····a12n1·2n2··2·12123(n1)2，即an2.3已知數(shù)列an滿足a11，an12an3，則an_.2n13由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故數(shù)列an3是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，an34·2n12n1，an2n13.考點(diǎn)4數(shù)列的周期性先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值(1)數(shù)列an滿足an1a1，則數(shù)列的第2 020項(xiàng)為_(2)在數(shù)列an中，a10，an1，則S2 020_.(1)(2)0(1)因?yàn)閍1，故a22a11，a32a2，a42a3，a52a41，a62a51，a72a6，故數(shù)列an是周期數(shù)列且周期為4，故a2 020a505×4a4.(2)a10，an1，a2，a3，a40，即數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，且a1a2a30，則S2 020S3×6731a10.求解時(shí)，易算錯(cuò)數(shù)列的周期，可計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，直至找到和a1相同的項(xiàng)ak，則數(shù)列的周期為k1.教師備選例題已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 020()A1B.C1D2B由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 020a3×6731a1.1.已知數(shù)列an滿足a11，an1a2an1(nN*)，則a2 020_.0a11，an1a2an1(an1)2，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知數(shù)列an是以2為周期的周期數(shù)列，a2 020a20.2(2019·青島模擬)已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 020項(xiàng)之和S2 020_.2 010由題意知a12 008，a22 009，a31，a42 008，a52 009，a61，a72 008，a82 009，因此數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且a1a2a60，S2 020S6×3364336×0a1a2a3a42 010.- 9 -