2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量教案 理 新人教A版

2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量教案 理 新人教A版考綱要求：1.了解向量的實(shí)際背景2理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義6了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算|a|a|，當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小()(2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量() ()(4)向量ab與ba是相反向量()(5)若ab，bc，則ac.()(6)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上()(7)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)×(3)(4)(5)×(6)×(7)2.如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與相等的向量有_ 3化簡(jiǎn)：4已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.答案： 典題1(1)給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號(hào)是()ABC D(2)給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；a0(為實(shí)數(shù))，則必為零；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4聽(tīng)前試做(1)不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同正確又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，正確ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號(hào)是.故選A.(2)錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯(cuò)誤，當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，ab0，此時(shí)，a與b可以是任意向量故選C.答案：(1)A(2)C(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談(4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量 (2)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi) 答案：(1)A(2) 答案：向量線性運(yùn)算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解 典題3設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A、B、D三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線 (2)因?yàn)閗ab與akb共線，所以存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即解得k±1.即k±1時(shí)，kab與akb共線探究1若將本例(1)中“2a8b”改為“amb”，則m為何值時(shí)，A、B、D三點(diǎn)共線？ 即4a(m3)b(ab)，解得m7.故當(dāng)m7時(shí)，A、B、D三點(diǎn)共線探究2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解：因?yàn)閗ab與akb反向共線，所以存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)(<0)，所以所以k±1.又<0，k，所以k1.故當(dāng)k1時(shí)兩向量反向共線(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時(shí)成立，則向量a，b不共線1已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同若a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則t_.解析：a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實(shí)數(shù)，使atb，解得，t，即t時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上答案：答案：3課堂歸納感悟提升方法技巧1向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”易錯(cuò)防范1解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤一、選擇題1給出下列命題：零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；若a，b都是單位向量，則ab；向量與相等；若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線則所有正確命題的序號(hào)是()A B C D解析：選A根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故錯(cuò)誤；向量與互為相反向量，故錯(cuò)誤；由于方向相同或相反的向量為共線向量，故與也可能平行，即A，B，C，D四點(diǎn)不一定共線，故錯(cuò)誤2已知A、B、C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足則下列結(jié)論正確的是()3如圖，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C、D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，a，b，則() Aab B.abCab D.ab4(xx·天水模擬)A、B、O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R，則()Aab B2(ba)C2(ab) Dba 5(xx·日照模擬)在ABC中，P是BC邊的中點(diǎn)，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若則ABC的形狀為()A等邊三角形B鈍角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等邊三角形二、填空題6(xx·包頭模擬)如圖，在ABC中，AHBC交BC于H，M為AH的中點(diǎn)，若則_.答案：7ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足則PBC與ABC的面積之比是_答案：答案：2三、解答題 A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直2在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若EFmABnAD (m，nR)，則的值為()A2 B C2 D.3.如圖所示，已知點(diǎn)G是ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且則的值為()A3 B. C2 D.解析：選B利用三角形的性質(zhì)，過(guò)重心作平行于底邊BC的直線，易得xy，則.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)S，R，Q，P分別為AP，SD，RC，QB的中點(diǎn)，若manb，則mn_.答案：第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考綱要求：1.了解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示3會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算4理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則abx1y2x2y10.1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，12.()(5)若兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同()(6)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()(7)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)×(6)(7)×答案：43已知a(2,1)，b(3,4)，則3a4b_，3a4b_.答案：(6,19)(18，13)4O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)k_時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線答案：2或11典題1在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)若其中，R，則_.于是得即故.答案： 解得即(2dc)dc，(2cd)cd.(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決典題2(1)(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)(2)若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)則c()Aab B.abC.ab Dab(3)(xx·海淀模擬)已知向量a(1,1)，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B為直線y2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)聽(tīng)前試做(1)法一：設(shè)C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)(2)設(shè)c1a2b，則(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得1，2，所以cab.(3)設(shè)B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)答案：(1)A(2)B(3)(3，6)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：利用向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)典題3(1)(xx·四川高考)設(shè)向量a(2,4)與向量b(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x()A2 B3 C4 D6(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)聽(tīng)前試做(1)ab，2×64x0，解得x3.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)答案：(1)B(2)(2,4)(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二：利用向量共線解決三點(diǎn)共線問(wèn)題 (2)由題設(shè)，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；若a，b不共線，則有解得t.綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)；a，b不共線時(shí)，t.答案：(1)1A、B、C三點(diǎn)共線AB與AC共線典題5(1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，R)，則_.(2)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量 它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)若其中x，yR，求xy的最大值聽(tīng)前試做(1)設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根據(jù)平面向量基本定理得2，所以4. (2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0)，B，設(shè)AOC0，則C(cos ，sin )，由得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以當(dāng)時(shí)，xy取得最大值2.答案：(1)4本題(2)的難點(diǎn)是選擇合適的變量表示xy，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，而破解這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)為C(cos ，sin )，然后借助求出x，y，從而利用三角函數(shù)的知識(shí)求出xy的最大值課堂歸納感悟提升方法技巧1兩向量平行的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則ab的充要條件是ab，這與x1y2x2y10在本質(zhì)上是沒(méi)有差異的，只是形式上不同2三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個(gè)向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定3若a與b不共線且ab0，則0.易錯(cuò)防范1若a，b為非零向量，當(dāng)ab時(shí)，a，b的夾角為0°或180°，求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)；2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.一、選擇題A(4,10)B(2,5) C(4,5) D(8,10)2下列各組向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是()A B C D解析：選B中，e1e2，即e1與e2共線，所以不能作為基底3已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角()A. B. C. D.解析：選B因?yàn)閍b，所以(1sin )×(1sin )1×0，得sin2，所以sin ±，故銳角.4設(shè)向量a(x,1)，b(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是()A2 B2 C±2 D0解析：選B因?yàn)閍與b方向相反，所以bma，m<0，則有(4，x)m(x,1)，解得m±2.又m<0，m2，xm2.5已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一地表示成cab(，為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：選D由題意知向量a，b不共線，故2m3m2，即m2.二、填空題6(xx·雅安模擬)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b與c共線，則k_.解析：a2b(，3)，且a2bc，×3k0，解得k1.答案：1解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則(2，2)，(1,2)，(1,0)，由題意可知(2，2)(1，2)(1,0)，即解得所以3.答案：38(xx·江蘇高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_(kāi)解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：3三、解答題(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo)解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得即所求實(shí)數(shù)m的值為1，n的值為1.(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，10已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及求：(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 若P在x軸上，則23t0，t；若P在y軸上，則13t0，t；若P在第二象限，則<t<.無(wú)解，四邊形OABP不能成為平行四邊形1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且AOC，2，若則()A2 B. C2 D4解析：選A因?yàn)?，AOC，所以C(，)，又所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.A. B. C. D.3在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M、N分別為CD、BC的中點(diǎn)若則_.法二：(回路法)連接MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于T，由已知易得ABAT，T，M，N三點(diǎn)共線，1.答案：4.如圖，在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)O是斜邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若 (m>0，n>0)，求mn的最大值解：以A為原點(diǎn)，線段AC、AB所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)ABC的腰長(zhǎng)為2，則B(0,2)，C(2，0)，O(1,1)M，N，直線MN的方程為1，直線MN過(guò)點(diǎn)O(1,1)，1，即mn2，mn1，當(dāng)且僅當(dāng)mn1時(shí)取等號(hào)，mn的最大值為1.第三節(jié)平面向量的數(shù)量積考綱要求：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系1平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作則AOB就是向量a與b的夾角范圍：設(shè)是向量a與b的夾角，則0°180°.共線與垂直：若0°，則a與b同向；若180°，則a與b反向；若90°，則a與b垂直(2)平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a0.幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角數(shù)量積：a·b|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|.夾角：cos .兩非零向量ab的充要條件：a·b0x1x2y1y20.|a·b|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2| ·.3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a(交換律)(2)a·b(a·b)a·(b)(結(jié)合律)(3)(ab)·ca·cb·c(分配律)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)由a·b0，可得a0或b0.()(4)兩向量ab的充要條件：a·b0x1x2y1y20.()(5)若a·b0，則a和b的夾角為銳角；若a·b0，則a和b的夾角為鈍角()(6)(a·b)·ca·(b·c)()(7)a·ba·c(a0)，則bc.()答案：(1)(2)(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×2已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120°，則a·b_.答案：103已知|a|，|b|2，a與b的夾角為30°，則|ab|_.答案：14已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，則實(shí)數(shù)x等于_答案：95已知單位向量e1，e2的夾角為60°，則向量a2e1e2與b2e23e1的夾角為_(kāi)答案：120°典題1(1)(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)·a()A1B0C1 D2(2)(xx·天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且則的最小值為_(kāi)聽(tīng)前試做(1)法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，a·b3，從而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2ab)·a(1,0)·(1，1)1，故選C.(2)在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60°，可得ADDC1.建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0)，B(2,0)，C，D，·2.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，符合題意的最小值為.答案：(1)C(2)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義1(xx·成都模擬)ABC中，點(diǎn)M在線段AC上，點(diǎn)P在線段BM上，且滿足2，若2，3，BAC90°，則的值為()A1 BC. D 2(xx·合肥聯(lián)考)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為60°，則ab在a上的投影為_(kāi)解析：|ab|2a2b22a·b142×1×2×7，|ab|，cosab，a.ab在a上的投影為|ab|·cosab，a×2.答案：2典題2(1)(xx·重慶高考)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0 C3 D.聽(tīng)前試做(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|·|b|·cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20.cos .又0，.(2)因?yàn)?a3b(2k,6)(3,12)(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)·c2(2k3)60，解得k3，選C.答案：(1)A(2)C探究1在本例(2)的條件下，若a與c的夾角的余弦值為，求k的值解：cosa，c，2k3，即4k2912kk29，k24k0，解得k0或k4，又2k3>0，k0.探究2在本例(2)的條件下，若2a3b與c的夾角為鈍角，求k的取值范圍解：2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)·c<0，即(2k3，6)·(2,1)<0，4k66<0，即k<3.又若(2a3b)c，則2k312，即k.當(dāng)k時(shí)，2a3b(12，6)6c，即2a3b與c反向綜上，k的取值范圍為.(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，cos (夾角公式)，aba·b0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問(wèn)題(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角典題3(1)(xx·衡水模擬)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，那么|4ab|()A2 B6 C2 D12(2)在平面直角坐標(biāo)系中，O 為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D 滿足的取值范圍是_聽(tīng)前試做(1)|4ab|216a2b28a·b16×148×1×2×cos12.|4ab|2. (1，)距離的最大值，其最大值為圓(x3)2y21的圓心到點(diǎn)(1，)的距離加上圓的半徑，即11，最小值為11，故取值范圍為1，1答案：(1)C(2)1，1求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永脇a|.(2)若向量a，b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應(yīng)用公式|a|2a2a·a，或|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在ABC中， D為BC中點(diǎn)，則等于()A2B4 C6 D8課堂歸納感悟提升方法技巧1計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算3利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧易錯(cuò)防范1數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·ba·c(a0)不能得出bc，兩邊不能約去一個(gè)向量2兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立一、選擇題1已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為()A12 B8 C8 D2解析：選A|a|cosa，b4，|b|3，a·b|a|·|b|·cosa，b3×412.2已知p(2，3)，q(x,6)，且pq，則|pq|的值為()A. B. C5 D13解析：選B由題意得2×63x0x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|.A2 B2 C±4 D±2解析：選DSABC|AB|·|AC|·sinBAC×4×1×sinBAC.sinBAC，cosBAC±，4已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c()A. B.C. D.解析：選D設(shè)c(x，y)，則ca(x1，y2)，ab(3，1)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)·(3，1)3xy0，聯(lián)立，解得x，y.5.如圖，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則 () A最大值為8B為定值6C最小值為2D與P的位置有關(guān)二、填空題6已知在矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則等于_答案：7(xx·浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若平面向量b滿足b·e1b·e21，則|b|_.解析：e1·e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260°.又b·e1b·e210，b，e1b，e230°.由b·e11，得|b|e1|cos 30°1，|b|.答案：8設(shè)a，b，c是單位向量，且a·b0，則(ac)·(bc)的最大值為_(kāi)解析：法一：設(shè)向量c與ab的夾角為，則有|ab|，(ac)·(bc)(ab)·cc21cos ，故最大值是1.法二：a，b是單位向量，且a·b0，故可設(shè)a(1,0)，b(0,1)又c是單位向量，故可設(shè)c(cos ，sin )，0,2)(ac)·(bc)(1cos ，sin )·(cos ，1sin )(1cos )cos sin (1sin )cos cos2sin sin21cos sin 1sin.(ac)·(bc)的最大值為1.答案：1三、解答題 10已知|a|4，|b|8，a與b的夾角是120°.(1)計(jì)算：|ab|，|4a2b|；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a2b)(kab)解：由已知得，a·b4×8×16.(1)|ab|2a22a·bb2162×(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216a·b4b216×1616×(16)4×64768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)·(kab)0，ka2(2k1)a·b2b20，即16k16(2k1)2×640.k7.即k7時(shí)，a2b與kab垂直 A6 B5C4 D33在ABC中，P0是AB的中點(diǎn)，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則有()AABBC BACBCCABC90° DBAC90°4單位圓上三點(diǎn)A，B，C滿足則向量的夾角為_(kāi)答案：120° 第四節(jié)平面向量應(yīng)用舉例考綱要求：1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題2會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.1向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線線平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，常用共線向量定理：ababa1b2a2b10(b0)(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：aba·b0a1b1a2b20.(3)平面幾何中夾角與線段長(zhǎng)度計(jì)算：cosa，b，|AB|.2向量在解析幾何中的應(yīng)用(1)向量a(a1，a2)平行于直線l，則直線l的斜率k(a10)(2)若直線l的方程為AxByC0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(B，A)與直線l平行3平面向量在物理中的應(yīng)用(1)向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用(2)向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用(3)向量的數(shù)量積在合力做功問(wèn)題中的應(yīng)用：WF·s.1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”) 答案：(1)(2)×(3)(4)×A鈍角三角形 B銳角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足4，則點(diǎn)P的軌跡方程是_解析：由4，得(x，y)·(1,2)4，即x2y4.答案：x2y404河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為_(kāi)解析：如圖所示，v1表示河水的速度，v2表示小船在靜水中的速度，v表示小船的實(shí)際速度，則|v2|2(m/s)答案：2 m/s ()A內(nèi)心B外心C重心D垂心聽(tīng)前試做由原等式，得即根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)ABC的重心答案：C 向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)解析：以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPb，則D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，b)，(2，b)，(1，ab)，則25(3a4b)2.由點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，知0ba，因此當(dāng)ba時(shí)，的最小值為25.的最小值為5.答案：5典題2已知點(diǎn)P(0，3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿足當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 ，把a(bǔ)代入，得3y0，整理得yx2(x0)所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為yx2(x0)向量在解析幾何中的作用(1)載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題(2)工具作用：利用aba·b0；abab(b0)，可解決垂直、平行問(wèn)題特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較可行的方法如圖所示，直線x2與雙曲線C：y21的漸近線交于E1，E2兩點(diǎn)記e1，e2，任取雙曲線C上的點(diǎn)P，若ae1be2(a，bR)，則ab的值為()A.B1C.D.解析：選A由題意易知E1(2,1)，E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(2a2b，ab)，又點(diǎn)P在雙曲線上，(ab)21，整理可得4ab1，ab.向量的共線與垂直和向量的數(shù)量積之間的關(guān)系以其獨(dú)特的表現(xiàn)形式成為高考命題的亮點(diǎn)，它常與三角函數(shù)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：向量與三角恒等變換的結(jié)合典題3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.且ab(0,1)，則_，_.聽(tīng)前試做因?yàn)閍b(0,1)，所以由此得，cos cos()由0<<，得0<<，又0<<，故.代入sin sin 1，得sin sin .又>，所以，.答案：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)向量間的關(guān)系把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的條件求值，然后利用三角函數(shù)的相關(guān)公式求解角度二：向量與三角函數(shù)的結(jié)合典題4設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種運(yùn)算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量m，n.點(diǎn)P在ycos x的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在yf(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足 (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則yf(x)在區(qū)間上的最大值是()A4B2C2D2 (x0，y0)x0，4y0，即xx0，y4y0，即x02x，y0y，所以ycos，即y4cos.因?yàn)辄c(diǎn)Q在yf(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以f(x)4cos，當(dāng)x時(shí)，02x，所以當(dāng)2x0時(shí)，f(x)取得最大值4.答案：A解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)關(guān)系式，然后研究三角函數(shù)的性質(zhì)角度三：向量與解三角形的結(jié)合典題5已知函數(shù)f(x)a·b，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，求邊長(zhǎng)b和c的值聽(tīng)前試做(1)f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k，k(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1，又<2A<，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問(wèn)題課堂歸納感悟提升方法技巧1用向量解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用一般是先畫(huà)出向量示意圖，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題解決2牢記以下4個(gè)結(jié)論 易錯(cuò)防范1注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià)2注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系3利用向量解決解析幾何中的平行與垂直，可有效解決因斜率不存在使問(wèn)題漏解的情況一、選擇題1在ABC中，“ABC為直角三角形”是“0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件解析：選B若ABC為直角三角形，角B不一定為直角，即不一定等于0；若0，則ABBC，故角B為直角，即ABC為直角三角形，故“ABC為直角三角形”是“0”的必要不充分條件2已知點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足0，則點(diǎn)P的軌跡的曲線類型為()A雙曲線B拋物線C圓 D橢圓3已知非零向量a，b，滿足ab，則函數(shù)f(x)(axb)2(xR)是()A既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B非奇非偶函數(shù)C偶函數(shù)D奇函數(shù)解析：選C因?yàn)閍b，所以a·b0，所以f(x)(axb)2|a|2x22a·bx|b|2|a|2x2|b|2，所以函數(shù)f(x)(axb)2為偶函數(shù)A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰非等邊三角形解析：選C由知，角A的平分線與BC垂直，知，cos A，A60°.ABC為等邊三角形5在ABC中，滿足則角C的大小為()A.B.C.D.二、填空題6在ABC中，若則邊AB的長(zhǎng)等于_答案：27已知|a|2|b|，|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是_解析：由已知可得|a|24a·b0，即4|b|24×2|b|2cos 0，cos ，又0，.答案：8設(shè)向量a(2cos ，2sin )，b(cos ，sin )，其中0<<<，若以向量ab與a2b為鄰邊所作的平行四邊形是菱形，則cos()_.解析：由題意知，|ab|a2b|，所以a22a·bb2a24a·b4b2，所以2a·bb2，即4cos ()1，所以cos().答案：三、解答題9已知在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2SABC.(1)求角B的大小；(2)若b