2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量教案 理 新人教A版考綱要求：1.了解向量的實際背景2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方

2、向相反的向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算|a|a|，當0時，a與a的方向相同；當0時，a與a的方向相反；當0時，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得ba.1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小()(2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量() ()(4)向量ab與ba是相反向量

3、()(5)若ab，bc，則ac.()(6)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上()(7)當兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2.如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與相等的向量有_ 3化簡：4已知a與b是兩個不共線的向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.答案： 典題1(1)給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號是()ABC D(2)給出下列命題：兩個具有公共

4、終點的向量，一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；a0(為實數(shù))，則必為零；，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯誤的命題的個數(shù)為()A1 B2C3 D4聽前試做(1)不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，正確ab，a，b的長度相等且方向相同，又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.故選A.(2

5、)錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點正確，因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大小錯誤，當a0時，不論為何值，a0.錯誤，當0時，ab0，此時，a與b可以是任意向量故選C.答案：(1)A(2)C(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談(4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量 (2)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若 (1，2為實數(shù))，則12的值為_ 答案：(1)A(2)

6、 答案：向量線性運算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解 典題3設(shè)兩個非零向量a和b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A、B、D三點共線(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線 (2)因為kab與akb共線，所以存在實數(shù)，使kab(akb)，即解得k1.即k1時，kab與akb共線探究1若將本例(1)中“2a8b”改為“amb”，則m為何值時，A、B、D三點共線？ 即4a(m3)b(a

7、b)，解得m7.故當m7時，A、B、D三點共線探究2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解：因為kab與akb反向共線，所以存在實數(shù)，使kab(akb)(0)，所以所以k1.又0，k，所以k1.故當k1時兩向量反向共線(1)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，當且僅當120時成立，則向量a，b不共線1已知a，b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點相同若a，tb，(ab)三向量的終點在同一直線上，則t_.解析：a

8、，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上，且a與b起點相同atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實數(shù)，使atb，解得，t，即t時，a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上答案：答案：3課堂歸納感悟提升方法技巧1向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”易錯防范1解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤一、選擇題1給出

9、下列命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若a，b都是單位向量，則ab；向量與相等；若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線則所有正確命題的序號是()A B C D解析：選A根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故錯誤；向量與互為相反向量，故錯誤；由于方向相同或相反的向量為共線向量，故與也可能平行，即A，B，C，D四點不一定共線，故錯誤2已知A、B、C三點不共線，且點O滿足則下列結(jié)論正確的是()3如圖，已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點，a，b，則() Aab B.abCab D.ab4(xx天

10、水模擬)A、B、O是平面內(nèi)不共線的三個定點，且點P關(guān)于點A的對稱點為Q，點Q關(guān)于點B的對稱點為R，則()Aab B2(ba)C2(ab) Dba 5(xx日照模擬)在ABC中，P是BC邊的中點，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若則ABC的形狀為()A等邊三角形B鈍角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等邊三角形二、填空題6(xx包頭模擬)如圖，在ABC中，AHBC交BC于H，M為AH的中點，若則_.答案：7ABC所在的平面內(nèi)有一點P，滿足則PBC與ABC的面積之比是_答案：答案：2三、解答題 A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直2在平行四邊形ABCD中，點E是AD的中點，B

11、E與AC相交于點F，若EFmABnAD (m，nR)，則的值為()A2 B C2 D.3.如圖所示，已知點G是ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且則的值為()A3 B. C2 D.解析：選B利用三角形的性質(zhì)，過重心作平行于底邊BC的直線，易得xy，則.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)S，R，Q，P分別為AP，SD，RC，QB的中點，若manb，則mn_.答案：第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示考綱要求：1.了解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及坐標表示3會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件1平面向量基本定理

12、如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則abx1y2x2y10.

13、1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，12.()(5)若兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同()(6)當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標()(7)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)答案：43已知a(2,1)，b(3,4)，則3a4b_，3a4b_.答案：(

14、6,19)(18，13)4O是坐標原點，當k_時，A，B，C三點共線答案：2或11典題1在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點若其中，R，則_.于是得即故.答案： 解得即(2dc)dc，(2cd)cd.(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決典題2(1)(xx新課標全國卷)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)(2)若向量a(1,1

15、)，b(1，1)，c(1,2)則c()Aab B.abC.ab Dab(3)(xx海淀模擬)已知向量a(1,1)，點A(3,0)，點B為直線y2x上的一個動點若a，則點B的坐標為_聽前試做(1)法一：設(shè)C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)(2)設(shè)c1a2b，則(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得1，2，所以cab.(3)設(shè)B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)答案：(1)A(2)B(3)(3，6)向量的坐標運算主要是利用加

16、、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則平面向量共線的坐標表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題，且主要有以下幾個命題角度：角度一：利用向量共線求參數(shù)或點的坐標典題3(1)(xx四川高考)設(shè)向量a(2,4)與向量b(x,6)共線，則實數(shù)x()A2 B3 C4 D6(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為_聽前試做(1)ab，264x0，解得x3.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.設(shè)點D的坐標為(

17、x，y)，則(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點D的坐標為(2,4)答案：(1)B(2)(2,4)(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二：利用向量共線解決三點共線問題 (2)由題設(shè)，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E三點在一條直線上的充

18、要條件是存在實數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若a，b共線，則t可為任意實數(shù)；若a，b不共線，則有解得t.綜上，可知a，b共線時，t可為任意實數(shù)；a，b不共線時，t.答案：(1)1A、B、C三點共線AB與AC共線典題5(1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，R)，則_.(2)給定兩個長度為1的平面向量 它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上運動若其中x，yR，求xy的最大值聽前試做(1)設(shè)i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根據(jù)平面向量基本定理

19、得2，所以4. (2)以O(shè)為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1，0)，B，設(shè)AOC0，則C(cos ，sin )，由得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以當時，xy取得最大值2.答案：(1)4本題(2)的難點是選擇合適的變量表示xy，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，而破解這一難點的關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，設(shè)出C點的坐標為C(cos ，sin )，然后借助求出x，y，從而利用三角函數(shù)的知識求出xy的最大值課堂歸納感悟提升方法技巧1兩向量平行的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則ab的充要條件是ab，這與x1

20、y2x2y10在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同2三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求由三點組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進行判定3若a與b不共線且ab0，則0.易錯防范1若a，b為非零向量，當ab時，a，b的夾角為0或180，求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯；2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.一、選擇題A(4,10)B(2,5) C(4,5) D(8,10)2下列各組向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2，能作為表示它們所在平面內(nèi)

21、所有向量基底的是()A B C D解析：選B中，e1e2，即e1與e2共線，所以不能作為基底3已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角()A. B. C. D.解析：選B因為ab，所以(1sin )(1sin )10，得sin2，所以sin ，故銳角.4設(shè)向量a(x,1)，b(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是()A2 B2 C2 D0解析：選B因為a與b方向相反，所以bma，m0，則有(4，x)m(x,1)，解得m2.又m0，m2，xm2.5已知平面直角坐標系內(nèi)的兩個向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一地表示成cab(，為實數(shù))，則實數(shù)m的取值范圍是

22、()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：選D由題意知向量a，b不共線，故2m3m2，即m2.二、填空題6(xx雅安模擬)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b與c共線，則k_.解析：a2b(，3)，且a2bc，3k0，解得k1.答案：1解析：建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則(2，2)，(1,2)，(1,0)，由題意可知(2，2)(1，2)(1,0)，即解得所以3.答案：38(xx江蘇高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：3三、解答題(1)求3

23、ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量MN的坐標解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得即所求實數(shù)m的值為1，n的值為1.(3)設(shè)O為坐標原點，10已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及求：(1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由 若P在x軸上，則23t0，t；若P在y軸上，則13t0，t；若P在第二象限，則t0，n0)，

24、求mn的最大值解：以A為原點，線段AC、AB所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)ABC的腰長為2，則B(0,2)，C(2，0)，O(1,1)M，N，直線MN的方程為1，直線MN過點O(1,1)，1，即mn2，mn1，當且僅當mn1時取等號，mn的最大值為1.第三節(jié)平面向量的數(shù)量積考綱要求：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系1平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義：已知兩個非零向量a和b，作則AOB就是向量a與b的

25、夾角范圍：設(shè)是向量a與b的夾角，則0180.共線與垂直：若0，則a與b同向；若180，則a與b反向；若90，則a與b垂直(2)平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|.夾角：cos .兩非零向量ab的充要條件：ab

26、0x1x2y1y20.|ab|a|b|(當且僅當ab時等號成立)|x1x2y1y2| .3平面向量數(shù)量積的運算律(1)abba(交換律)(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)(3)(ab)cacbc(分配律)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量()(3)由ab0，可得a0或b0.()(4)兩向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20.()(5)若ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角()(6)(ab)ca(bc)()(7)abac(

27、a0)，則bc.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則ab_.答案：103已知|a|，|b|2，a與b的夾角為30，則|ab|_.答案：14已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，則實數(shù)x等于_答案：95已知單位向量e1，e2的夾角為60，則向量a2e1e2與b2e23e1的夾角為_答案：120典題1(1)(xx新課標全國卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a()A1B0C1 D2(2)(xx天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.動點E和F分別在線段BC和DC上，且則的最

28、小值為_聽前試做(1)法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，從而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，從而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故選C.(2)在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60，可得ADDC1.建立平面直角坐標系如圖所示，則A(0,0)，B(2,0)，C，D，2.當且僅當，即時取等號，符合題意的最小值為.答案：(1)C(2)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義1(xx成都模擬)ABC中，點M在線段AC上，點P在線段BM上，且滿足2，若2

29、，3，BAC90，則的值為()A1 BC. D 2(xx合肥聯(lián)考)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為60，則ab在a上的投影為_解析：|ab|2a2b22ab142127，|ab|，cosab，a.ab在a上的投影為|ab|cosab，a2.答案：2典題2(1)(xx重慶高考)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實數(shù)k()A B0 C3 D.聽前試做(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|

30、a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)因為2a3b(2k,6)(3,12)(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，選C.答案：(1)A(2)C探究1在本例(2)的條件下，若a與c的夾角的余弦值為，求k的值解：cosa，c，2k3，即4k2912kk29，k24k0，解得k0或k4，又2k30，k0.探究2在本例(2)的條件下，若2a3b與c的夾角為鈍角，求k的取值范圍解：2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，即k0，反之不成立；兩個向量夾角為鈍角，

31、則有ab0，反之不成立一、選擇題1已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，則ab為()A12 B8 C8 D2解析：選A|a|cosa，b4，|b|3，ab|a|b|cosa，b3412.2已知p(2，3)，q(x,6)，且pq，則|pq|的值為()A. B. C5 D13解析：選B由題意得263x0x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|.A2 B2 C4 D2解析：選DSABC|AB|AC|sinBAC41sinBAC.sinBAC，cosBAC，4已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c()A. B.C. D.解析：選D設(shè)c(x，y)，

32、則ca(x1，y2)，ab(3，1)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0，聯(lián)立，解得x，y.5.如圖，已知點P是邊長為2的正三角形ABC的邊BC上的動點，則 () A最大值為8B為定值6C最小值為2D與P的位置有關(guān)二、填空題6已知在矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則等于_答案：7(xx浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1e2.若平面向量b滿足be1be21，則|b|_.解析：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由be11，得|b|e1|cos 3

33、01，|b|.答案：8設(shè)a，b，c是單位向量，且ab0，則(ac)(bc)的最大值為_解析：法一：設(shè)向量c與ab的夾角為，則有|ab|，(ac)(bc)(ab)cc21cos ，故最大值是1.法二：a，b是單位向量，且ab0，故可設(shè)a(1,0)，b(0,1)又c是單位向量，故可設(shè)c(cos ，sin )，0,2)(ac)(bc)(1cos ，sin )(cos ，1sin )(1cos )cos sin (1sin )cos cos2sin sin21cos sin 1sin.(ac)(bc)的最大值為1.答案：1三、解答題 10已知|a|4，|b|8，a與b的夾角是120.(1)計算：|ab

34、|，|4a2b|；(2)當k為何值時，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7時，a2b與kab垂直 A6 B5C4 D33在ABC中，P0是AB的中點，且對于邊AB上任一點P，恒有則有()AABBC BACBCCABC90 DBAC904單位圓上三點A，B，C滿足則向量的夾角為_答案：120 第四節(jié)平面向量應(yīng)

35、用舉例考綱要求：1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題2會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.1向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線線平行或點共線問題，常用共線向量定理：ababa1b2a2b10(b0)(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質(zhì)：abab0a1b1a2b20.(3)平面幾何中夾角與線段長度計算：cosa，b，|AB|.2向量在解析幾何中的應(yīng)用(1)向量a(a1，a2)平行于直線l，則直線l的斜率k(a10)(2)若直線l的方程為AxByC0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(B，A)與直線l平行3平面向量在物理中的應(yīng)用(1)向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用(

36、2)向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用(3)向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應(yīng)用：WFs.1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) 答案：(1)(2)(3)(4)A鈍角三角形 B銳角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形3在平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足4，則點P的軌跡方程是_解析：由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.答案：x2y404河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為_解析：如圖所示，v1表示河水的速度，v2表示小船在靜水中的速度，v表示小船的實際速度，則|v2|2(m/s)答案：2

37、 m/s ()A內(nèi)心B外心C重心D垂心聽前試做由原等式，得即根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應(yīng)向量的2倍，所以點P的軌跡必過ABC的重心答案：C 向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標法：把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關(guān)點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決(2)基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進行求解已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則的最小值為_解析：以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的

38、平面直角坐標系，設(shè)DCa，DPb，則D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，b)，(2，b)，(1，ab)，則25(3a4b)2.由點P是腰DC上的動點，知0ba，因此當ba時，的最小值為25.的最小值為5.答案：5典題2已知點P(0，3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程 ，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)所以動點M的軌跡方程為yx2(x0)向量在解析幾何中的作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標之間的關(guān)系，從

39、而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解決垂直、平行問題特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法如圖所示，直線x2與雙曲線C：y21的漸近線交于E1，E2兩點記e1，e2，任取雙曲線C上的點P，若ae1be2(a，bR)，則ab的值為()A.B1C.D.解析：選A由題意易知E1(2,1)，E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(2a2b，ab)，又點P在雙曲線上，(ab)21，整理可得4ab1，ab.向量的共線與垂直和向量的數(shù)量積之間的關(guān)系以其獨特的表現(xiàn)形式成為高考命

40、題的亮點，它常與三角函數(shù)相結(jié)合，在知識的交匯點處命題，以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，且主要有以下幾個命題角度：角度一：向量與三角恒等變換的結(jié)合典題3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.且ab(0,1)，則_，_.聽前試做因為ab(0,1)，所以由此得，cos cos()由0，得0，又0，所以，.答案：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)向量間的關(guān)系把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的條件求值，然后利用三角函數(shù)的相關(guān)公式求解角度二：向量與三角函數(shù)的結(jié)合典題4設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種運算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量m，n.點P在yc

41、os x的圖象上運動，點Q在yf(x)的圖象上運動，且滿足 (其中O為坐標原點)，則yf(x)在區(qū)間上的最大值是()A4B2C2D2 (x0，y0)x0，4y0，即xx0，y4y0，即x02x，y0y，所以ycos，即y4cos.因為點Q在yf(x)的圖象上運動，所以f(x)4cos，當x時，02x，所以當2x0時，f(x)取得最大值4.答案：A解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡三角函數(shù)關(guān)系式，然后研究三角函數(shù)的性質(zhì)角度三：向量與解三角形的結(jié)合典題5已知函數(shù)f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函數(shù)yf(x)的單

42、調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，求邊長b和c的值聽前試做(1)f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k，k(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1，又2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2.解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的坐標運

43、算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題課堂歸納感悟提升方法技巧1用向量解決問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用一般是先畫出向量示意圖，把問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決2牢記以下4個結(jié)論 易錯防范1注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價2注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系3利用向量解決解析幾何中的平行與垂直，可有效解決因斜率不存在使問題漏解的情況一、選擇題1在ABC中，“ABC為直角三角形”是“0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件解析：選B若ABC為直角三角形，角B不一定為直角，即不一定等于0；若0，則AB

44、BC，故角B為直角，即ABC為直角三角形，故“ABC為直角三角形”是“0”的必要不充分條件2已知點M(3,0)，N(3,0)動點P(x，y)滿足0，則點P的軌跡的曲線類型為()A雙曲線B拋物線C圓 D橢圓3已知非零向量a，b，滿足ab，則函數(shù)f(x)(axb)2(xR)是()A既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B非奇非偶函數(shù)C偶函數(shù)D奇函數(shù)解析：選C因為ab，所以ab0，所以f(x)(axb)2|a|2x22abx|b|2|a|2x2|b|2，所以函數(shù)f(x)(axb)2為偶函數(shù)A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰非等邊三角形解析：選C由知，角A的平分線與BC垂直，知，cos A，A60.A

45、BC為等邊三角形5在ABC中，滿足則角C的大小為()A.B.C.D.二、填空題6在ABC中，若則邊AB的長等于_答案：27已知|a|2|b|，|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是_解析：由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos ，又0，.答案：8設(shè)向量a(2cos ，2sin )，b(cos ，sin )，其中0，若以向量ab與a2b為鄰邊所作的平行四邊形是菱形，則cos()_.解析：由題意知，|ab|a2b|，所以a22abb2a24ab4b2，所以2abb2，即4cos ()1，所以cos().答案：三、解答題9已知在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2SABC.(1)求角B的大??；(2)若b