河南省2022年中考數(shù)學總復習 第四章 三角形微專項

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1、河南省2022年中考數(shù)學總復習 第四章 三角形微專項 突破點1倍長中線 　　倍長中線法:延長三角形一邊的中線至一點,使所延長的部分與該中線相等,并連接該點與這條邊的一個頂點,得到兩個全等的三角形.這種方法主要用于構造全等三角形或證明對應邊之間的關系. 倍長中線——常用輔助線添加方法(倍長中線等中線,等量關系一大片) 敘述 圖示 結論 基本圖形:在△ABC中,AD為BC邊上的中線. 倍長中線:延長AD到點E,使ED=AD,連接BE. ①△ACD≌△EBD; ②根據三角形三邊的關系得到: . 倍長中線的變形 作法一:M為AB上一點,連接MD并延長到點N,使ND

2、=MD,連接CN; 作法二:過點C作CN∥AB,與過點D的直線交于點N,該直線與AB交于點M. △BDM≌△CDN 如圖,在△ABC中,AD是中線,∠BAC=∠BCA,點E在BC的延長線上,CE=AB,連接AE.求證:AE=2AD. 思路分析　見到中線,試一下倍長中線的輔助線作法,得到相等的線段,再利用三角形全等和等量代換進行證明. 自主解答　 1.如圖,在△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是　　　　.? (第1題)　(第2題) 2.如圖,在△ABC中,點E,F分別在AB,AC上,點D是

3、BC邊上的中點,DE⊥DF,則BE+CF與EF的大小關系為　　　　.? 3.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,點E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于點F.求證:AF=EF. 4.如圖,在△ABC中,AD交BC于點D,點E是BC的中點, EF∥AD交CA的延長線于點F,交AB于點G,已知BG=CF,求證:AD為△ABC的角平分線. 突破點2旋轉 　　圖形的旋轉是近幾年河南中考必考的內容.運用旋轉的全等變換,證明線段相等、和差倍分關系以及角相等、和差倍分關系都是近幾年中考常見的類型. 旋轉的基本性質: ①對應點到旋轉中心的距離相等;

4、 ②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角; ③旋轉前后的圖形全等. 旋轉的基本圖形 圖形旋轉的要點 利用旋轉作輔助線的基本思路 如圖,將∠AOB旋轉至∠A'OB',則∠AOA'=∠BOB'. 1.找準旋轉中的“變”與“不變”; 2.找準旋轉前后的“對應關系”; 3.充分挖掘旋轉過程中線段之間的關系; 4.找旋轉點,得等邊、等角; 5.證全等或相似; 6.利用全等或相似得到邊、角關系. 1.以等邊三角形為背景的旋轉60°(遇60°旋轉60°); 2.以正方形為背景的旋轉90°(遇90°旋轉90°); 3.將分散的條件通過旋轉變換集中在一塊“形成合力”破解難題

5、(若條件是分散的,則試試看把圖形進行平移、旋轉、翻折). 如圖,將△AOB旋轉至△A'OB',連接AA',BB',則△AOA'∽△BOB'. 如圖,在☉O的內接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD= 60°,點C為的中點,則AC的長是　　　　 .? 思路分析　∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠ABC+∠ADC=180°,又∵點C為的中點,∴BC=CD.將△ABC繞點C旋轉至△EDC,則A,D,E三點共線,這樣就把分散的條件集中在一塊了,旋轉變換后的圖形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三線合一”的性質和銳角三角函數(shù)求出AC的值即可.(利用旋轉時,一般要滿足兩

6、個條件:①有相等的邊,②兩角之和為180°) 5.如圖,點P為等邊三角形ABC內的一點,且點P到△ABC三個頂點A,B,C的距離分別為1,,,則△ABC的面積為　　　　.? (第5題)　(第6題) 6.如圖,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,點F為CD上一點,BE+DF=EF,則∠EAF的度數(shù)為　　　　.? 7.如圖,在△ABC中,∠C=90°,點D,E,F分別在邊CA,AB,BC上,且四邊形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,則△BFE和△AED的面積之和為　　　　.? 8.如圖,OA=OD,OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC,經過點O的直線l分別交A

7、B,CD于點E,F. (1)試說明:S△OAB=S△OCD; (2)若直線l平分CD,求證:OF=AB. 9.如圖,點D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點,DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F. (1)當∠MDN繞點D轉動時,求證:DE=DF; (2)若AB=2,求四邊形DECF的面積. 10.如圖,等腰三角形ABC繞頂點B逆時針旋轉α到△A1BC1的位置,AB與A1C1相交于點D,AC與A1C1,BC1分別相交于點E,F. (1)求證:△BCF≌△BA1D; (2)當∠C=α時,

8、判斷四邊形A1BCE的形狀并說明理由. 一線三直角模型 1.[模型說明] 一線三直角是一個常見的相似模型,指的是有三個直角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形,有些地區(qū)稱“三垂直模型”,也有稱“K形圖”或“M形圖”.(一線三等角不僅可以是直角,也可以是銳角或鈍角.本專題主要研究一線三直角模型) 2.[識別方法] (1)查找圖形中已知的直角,順著這個直角的頂點尋找或者構造模型中的“一線”; (2)構造其他直角,構造的直角的頂點必須在“同一條直線”上, “這條直線”可能在已知角的外部,也可能“穿過”這個角. 3.[構造一線三直角的基本步驟] 做題過

9、程中,若出現(xiàn)一直角的頂點在一條直線上的形式,就可以構造兩側的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解決相關問題.綜合性題目往往就會把全等和相似的轉化作為出題的一種形式.本質就是找角、定線、構相似. 一線三直角的基本圖形 一般結論 一線三直角的應用 △ACD∽△BAE. 特殊地,當AB=AC時,△ACD≌△BAE. ①圖形中已經存在“一線三直角”,直接應用模型解題; ②圖形中存在“一線兩直角”,補上“一直角”構造此模型; ③圖形中只有直線上的一個直角,補上“兩直角”構造此模型; ④圖形中只有一個直角,過該直角頂點補上“一線”,再補上“兩直角”,構造此模型; ⑤對坐

10、標系中在x軸或y軸(也可以是平行于x軸或y軸的直線)上構造“一線三等角”是解決問題的關鍵. 突破點1三角形中運用一線三直角進行相關的運算 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠AEB=135°,BE=3,DE⊥BE交AB于點D,若DE=,則AE的長為　　　　.? 思路分析　觀察題圖,有兩個直角:∠DEB和∠C,有“一條線”:直線AC,過點D作AC的垂線,即可構造一線三直角模型,然后配合題中的條件用“相似+勾股”進行證明和計算. 突破點2四邊形中運用一線三直角求線段長 如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC邊的中點,將△ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內的

11、點F處,連接CF,則CF的長為　　　　.? 思路分析　題圖中的直角有很多,與CF聯(lián)系緊密且易于構造一線三直角模型的直角是∠AFE,過直角頂點F用豎直的線(作矩形ABCD的邊AD邊垂線),可構造一線三直角模型,再配合題中的條件用“相似+勾股”進行相關計算. 突破點3一線三直角在二次函數(shù)中的運用 拋物線y=x2-4x+3與坐標軸交于A,B,C三點,點P在拋物線上,PE⊥BC于點E,若PE=2CE,則點P的坐標為　　　　.? 思路分析　圖形中與點P相關的直角頂點是E,可過點E作x軸或y軸的平行線(也可以是平行于x軸或y軸的直線),構造一線三直角模型,然后利用相關知識進行計算.

12、 1.在四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為　　　　.? (第1題)　(第2題) 2.如圖,已知∠ABC=90°,AD=BC,CE=BD,AE與CD相交于點M,則∠AMD=　　　　°.? 3.如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形OAB的一個頂點在原點處,∠ABO=90°,OB=AB,已知點A(2,4),則點B的坐標為　　　　.? (第3題)　(第4題) 4.如圖,在平面直角坐標系中,點A(0,2),點B(4,0),點C在第一象限內,若△ABC為等邊三角形,則點C的坐標為　　　　.? 5.如圖,在平面

13、直角坐標系中,把矩形OABC的頂點O放在原點處,把其邊OA,OC分別放在x軸的正半軸、y軸的正半軸上,點D在OC邊上,把△BDC沿直線BD翻折,點C的對應點恰好落在x軸上的點E處,已知B(10,8),則直線BD的解析式為　　　　.? (第5題)　(第6題) 6.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則BD的長為　　　　.? 7.在四邊形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°,AB=3,AD=4,則BC的長為　　　　.? (第7題)　(第8題) 8.如圖,已知拋物線y=-x2與直線AB交于A(-2,-4),B兩點,連接AO

14、,BO,若∠AOB=90°,則點B的坐標為　　　　.? 參考答案 高分突破微專項1　全等三角形中的兩大輔助線技巧 例1　證明:如圖,延長AD至點F,使DF=DA,連接CF. 在△ABD和△FCD中, ∴△ABD≌△FCD, ∴AB=FC,∠B=∠DCF. ∵CE=AB,∠BAC=∠BCA,∠ACE=∠BAC+∠B, ∴CF=CE,∠ACE=∠BCA+∠DCF=∠ACF, 在△ACF和△ACE中, ∴△ACF≌△ACE, ∴AE=AF=2AD. 強化訓練 1.1

15、CD,又∵∠ADB=∠CDE,∴△ABD≌△ECD,∴AB=EC,在△AEC中,AC+EC>AE,且EC-AC2AD,AB-AC<2AD,∴2<2AD<8,∴1EF　如圖,延長ED至點P,使DP=DE,連接FP,CP, ∵點D是BC的中點,∴BD=CD,又∵∠EDB=∠CDP,∴△BDE≌△CDP,∴BE=CP.∵DE⊥DF,DE=DP,∴EF=FP.又∵在△CFP中,CP+CF=BE+CF>FP,∴BE+CF>EF. 3.證明:如圖,延長AD到點G,使得DG=AD,連接BG. ∵AD是BC邊上的中線, ∴DC=DB. 在

16、△ADC和△GDB中, ∴△ADC≌△GDB, ∴∠CAD=∠G,BG=AC. ∵BE=AC, ∴BE=BG, ∴∠BED=∠G, 又∵∠BED=∠AEF, ∴∠AEF=∠CAD, ∴AF=EF. 4.證明:如圖,過點C作CH∥AB,交FE的延長線于點H, 則∠B=∠ECH,∠BGE=∠H. ∵點E是BC的中點, ∴BE=CE. 在△BEG和△CEH中, ∴△BEG≌△CEH, ∴BG=CH, 又∵BG=CF, ∴CH=CF, ∴∠F=∠H. ∵EF∥AD, ∴∠F=∠CAD,∠BGE=∠BAD, 又∵∠BGE=∠H, ∴∠BAD=∠CAD,

17、 ∴AD為△ABC的角平分線. 例2　　如圖,將△ABC以點C為旋轉中心,旋轉至△EDC,則△ABC≌△EDC,∴AB=ED,AC=EC,∠ABC=∠EDC.∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠EDC+∠ADC=180°,∴A,D,E三點共線,∴AE=AD+ED=8.∵∠BAD= 60°,點C為的中點,∴∠CAE=∠BAD=30°.過點C作CF⊥AE于點F,則AF=AE=4.在Rt△ACF中,cos∠CAF=,即=,解得AC=. 強化訓練 5.　如圖,將△ABP以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°,得△ACD,過點A作AE⊥CD交CD的延長線于點

18、E,連接PD,易得△ABP≌△ACD,AP=AD,BP=CD,∠PAD=∠BAC=60°,∴△ADP為等邊三角形,∴AP=PD.在△CDP中,DP=1,CD=,PC=,∴PD2+CD2=PC2,∴△CDP是直角三角形,且∠CDP=90°,∴∠CDP+∠ADP=150°,∴∠ADE=30°.在Rt△ADE中,AE=AD=,ED=AE=,∴CE=CD+DE=+,AC2=3+,∴S△ABC=×AC2=. 6.45°　如圖,將△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG的位置,得∠EAG=90°,△ABE≌△ADG,∴BE=DG,AE=AG,又∵BE+DF=EF,∴FG=EF,∴△AEF≌△AGF,

19、∴∠EAF=∠GAF,∴∠EAF=∠EAG=45°. 7.4.51　方法一:如圖(1),將△BEF繞點E逆時針旋轉90°到△GED的位置,易得EG⊥AE,△BEF≌△GED,∴GE=BE=2.2,∴S△BFE+S△AED=S△AEG=AE·EG=×2.2×4.1=4.51.方法二:如圖(2),將△AED繞點E順時針旋轉90°到△GEF的位置,則EG⊥AE,△AED≌△GEF,∴GE=AE=4.1,∴S△BFE+S△AED=S△GBE=BE·EG=×2.2×4.1=4.51. 圖(1)　圖(2) 8.(1)證明:∵OA=OD, ∴可將△AOB以點O為旋轉中心旋轉至△DOG的位置,如圖

20、所示,則△AOB≌△DOG, ∴S△OAB=S△ODG,∠AOB=∠DOG,OB=OG. ∵OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC, ∴∠COD+∠AOB=∠COD+∠DOG=180°,OC=OG, ∴C,O,G三點共線,OD為△CDG中CG邊上的中線, ∴S△ODG=S△OCD, ∴S△OAB=S△OCD. (2)證明:∵直線l平分CD, ∴CF=DF. 由(1)可知,OC=OG, ∴OF為△CDG的中位線, ∴OF=DG, 由旋轉性質可得DG=AB, ∴OF=AB. 9.(1)證明:連接DC, ∵點D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點, ∴CD⊥AB,CD

21、=DA,CD平分∠BCA, ∴∠ECD=∠DCA=45°. ∵DM⊥DN, ∴∠EDN=90°, 又∠CDA=90°, ∴∠CDE=∠FDA. 在△CDE和△ADF中, ∴△CDE≌△ADF, ∴DE=DF. (2)∵△CDE≌△ADF, ∴S△CDE=S△ADF, ∴==CD·AD=. 10.(1)證明:∵△ABC是等腰三角形, ∴AB=BC,∠A=∠C. ∵將等腰三角形ABC繞頂點B逆時針旋轉α到△A1BC1的位置, ∴A1B=AB=BC,∠A1=∠A=∠C,∠A1BD=∠CBC1. 在△BCF與△BA1D中, ∴△BCF≌△BA1D. (2)當

22、∠C=α時,四邊形A1BCE是菱形. 理由:由題易得∠A1=∠A. 又∵∠ADE=∠A1DB, ∴∠AED=∠A1BD=α, ∴∠DEC=180°-α. ∵∠C=α, ∴∠A1=α, ∴∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α, ∴∠A1=∠C,∠A1BC=∠A1EC, ∴四邊形A1BCE是平行四邊形, 又∵A1B=BC, ∴四邊形A1BCE是菱形. 高分突破微專項2　一線三直角模型 例1　3　如圖,過點D作DF⊥AC于點F.∵∠AEB=135°,∴∠CEB=45°,∴△CEB是等腰直角三角形.又∵BE=3,∴BC=CE=3.根據一線三直角模型,可

23、得△EFD∽△BCE,∴∠FED=∠FDE=45°.又DE=,∴EF=DF=1.易證△AFD∽△ACB,∴=.設AF=a,則=,解得a=2,∴AE=AF+EF=2+1=3. 例2　　如圖,過點F作AD的垂線,交AD于點M,交BC于點N,則∠FMA=∠ENF=90°.∵BC=6,點E為BC邊的中點,∴BE=BC=3.由折疊的性質可知,EF=BE=3,AF=AB=4,∠AFE=∠B=90°.根據一線三直角模型,可得△AMF∽△FNE,∴===.設EN=3x,FM=4x,則FN=4-4x,AM=3x+3,∴=,解得x=,∴NC=EC-EN=3-3x,∴FC=5-5x=5-5×=. 例3　

24、(,)　方法一:如圖(1),過點E作EF⊥y軸,交y軸于點F,過點P作PG⊥EF,交FE的延長線于點G.當y=0時,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.當x=0時,y=3,∴點C的坐標是(0,3).∴OC=3,∴OB=OC,∴△BOC為等腰直角三角形.又∵EF∥OB,∴△EFC是等腰直角三角形.∵∠CFE=∠EGP=∠CEP=90°,∴根據一線三直角模型,可得△CEF∽△EPG.∵PE=2CE,∴===.設點E的橫坐標為m,易得EG=PG=2m,∴點P的坐標為(3m,3+m).把點P的坐標代入y=x2-4x+3中,解得m1=,m2=0

25、(不符合題意,舍去),∴點P的坐標為(,).方法二:如圖(2),當y=0時,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.當x=0時,y=3,∴點C的坐標是(0,3).∴OC=3,∴OB=OC,∴△BOC為等腰直角三角形.過點B作BF⊥BC,交CP的延長線于點F,過點F作FH⊥x軸于點H,∵PE⊥BC,∴EP∥BF,∴△CEP∽△CBF.∵PE=2CE,==.由一線三直角模型可得△BOC∽△FHB,∴BH=FH=2AB=6,∴點F的坐標為(9,6).易求出直線CF的解析式為y=x+3.令x2-4x+3=x+3,解得x1=0(舍去),x2=,把x

26、=代入到y(tǒng)=x+3,得點P的坐標為(,). 圖(1)　圖(2) 強化訓練 1.10　如圖,過點D作DE⊥AC,交AC于點E.∵∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,∴根據一線三直角模型,可得△ABC≌△DAE,∴AE=BC,AC=DE.設BC=AE=a,則CE=3a.在Rt△CDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(負值已舍去),∴DE=AC=4a=4,∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC·AC+AC·DE=×1×4+×4×4=10. 2.45　如圖,過點A作AN⊥AB,且AN=BD,連接DN,CN.∵AD=BC,∴△DAN≌△

27、CBD,∴∠AND=∠CDB,DN=DC.又∵∠AND+∠NDA=90°,∴∠CDB+∠NDA=90°,∴∠NDC=90°,∴△CDN是等腰直角三角形,∴∠NCD=45°.∵AN=DB,CE=BD,∴AN=CE.又∵AN∥CE,∴四邊形ANCE是平行四邊形,∴CN∥AE,∴∠AMD=∠NCD=45°. 3.(3,1)　如圖,過點B作x軸的垂線,垂足為F,過點A作y軸的垂線,垂足為E,兩線交于點D,則∠ADB=∠BFO=90°.∵∠ABO=90°,AB=OB,∴根據一線三直角模型,可得△ABD≌△BOF,∴AD=BF,BD=OF.設AD=BF=a,BD=OF=b.∵A(2,4),∴AE=2,D

28、F=4,∴解得a=1,b=3.∴OF=3,BF=1,故點B的坐標為(3,1). 4.(5,3)　如圖,過點C作CD⊥AB于點D,過點D作y軸的垂線,垂足為E,過點C作CF⊥ED,交ED的延長線于點F.∵點A(0,2),點B(4,0),∴OA=2,OB=4.∵△ABC為等邊三角形,∴CD=AD.易知DE為△AOB的中位線,∴DE=OB=2,AE=OA=.根據一線三直角模型,可得△ADE∽△DCF,∴===,解得DF=3,CF=2,∴EF=DE+DF=5,CF+OE=3,∴點C的坐標為(5,3). 5.y=x+3　在矩形OABC中,∵B(10,8),∴OC=AB=8,OA=BC=10.

29、由折疊的性質可知DE=CD,BE=BC=10.在Rt△ABE中,AE==6,∴OE=OA-AE=10-6=4.根據一線三直角模型可知,△DOE∽△EAB,∴=,即=,解得OD=3,∴點D的坐標為(0,3).設直線BD的解析式為y=ax+3,將B(10,8)代入,解得a=,故直線BD的解析式為y=x+3. 6.　如圖,過點C作CF⊥AD于點F,過點B作BE⊥AD,交DA的延長線于點E.在Rt△CDF中,∵∠ADC=45°,∴CD=DF=CF,∴CF=DF=,AF=AD-DF=4-.∵∠CFA=∠CAB=∠AEB=90°,AC=AB,∴根據一線三直角模型,可得△ACF≌△BAE,∴AE=CF=,

30、BE=AF=4-,∴DE=AD+AE=4+.在Rt△BDE中,BD==. 7.2+　方法一:如圖(1),過點D作DE⊥AC于點E,過點E作AB的平行線,分別交BC,AD于點G,H,則四邊形ABGH是矩形.∵∠ACD=45°,∴△DCE為等腰直角三角形,∴DE=CE.∵∠DHE=∠EGC=∠DEC=90°,∴根據一線三直角模型,可得△DEH≌△ECG,∴EH=CG,DH=EG.設DH=EG=m, 則CG=EH=3-m,AH=4-m,BC=CG+AH=7-2m.易知△CEG∽△CAB,∴=,即=,解得m1=(不合題意,舍去),m2=,∴BC=7-2m=2+.方法二:如圖(2),過點A作AE⊥

31、AC與CD的延長線交于點E,過點E作EF⊥AB,交BA的延長線于點F.∵∠ACD=45°,則△ACE為等腰直角三角形,∴AC=AE.∵∠EAC=∠EFA=∠ABC=90°,∴根據一線三直角模型,可得△AEF≌△CAB.∴AF=BC,EF=BA=3.設AF=BC=a,過點E作EH⊥BC于點H,則四邊形EFBH為矩形,∴EH=BF=a+3,CH=BC-BH=BC-EF=a-3,DG=AD-AG=4-EF=1.∵∠ABC=∠BAD=90°,∴DG∥CH,∴△EGD∽△EHC,∴=,即=,解得a1=2+,a2=2-(不合題意,舍去).故BC的長為2+. 圖(1)　圖(2) 8.(1,-)　如圖,分別過A,B兩點作AD⊥x軸于點D,BC⊥x軸于點C.∵∠ADO=∠OCB=∠AOB=90°,∴根據一線三直角模型,可得△AOD∽△OBC,∴=.∵A(-2,-4),∴OD=2,AD=4,∴==,∴OC=2BC.設BC=a,則OC=2a,∴點B的坐標為(2a,-a),代入y=-x2,得-a=-×(2a)2,解得a1=,a2=0(不符合題意,舍去),故點B的坐標為(1,-).