2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4

2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)yAsin(x)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)yAsin(x)的圖像.2.能根據(jù)yAsin(x)的部分圖像，確定其解析式.3.了解yAsin(x)的圖像的物理意義，能指出簡諧運(yùn)動(dòng)中的振幅、周期、相位、初相.知識(shí)點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖像思考1用“五點(diǎn)法”作ysin x，x0，2時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次取哪幾個(gè)值？答案依次為0，2.思考2用“五點(diǎn)法”作yAsin(x)時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵的橫坐標(biāo)取哪幾個(gè)值？答案用“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)(xR)的簡圖，先令tx，再由t取0，2即可得到所取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，.梳理用“五點(diǎn)法”作yAsin(x) 的圖像的步驟：第一步：列表：x02xy0A0A0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn).第三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn)，形成圖像.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)yAsin(x)，A>0，>0的性質(zhì)名稱性質(zhì)定義域R值域A，A周期性T對(duì)稱性對(duì)稱中心(kZ)對(duì)稱軸x(kZ)奇偶性當(dāng)k(kZ)時(shí)是奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)是偶函數(shù)單調(diào)性通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)yAsin(x)，A0，0中參數(shù)的物理意義1.函數(shù)y2sin的振幅是2.(×)提示振幅是2.2.函數(shù)ysin的初相是.(×)提示初相是.3.函數(shù)ysin的圖像的對(duì)稱軸方程是xk，kZ.()提示令xk，kZ，解得xk，kZ，即f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程是xk，kZ.類型一用“五點(diǎn)法”畫yAsin(x)的圖像例1利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y3sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.考點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡圖題點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡圖解依次令0，2，列出下表：02xy03030描點(diǎn)，連線，如圖所示.反思與感悟(1)用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，五點(diǎn)的確定，應(yīng)先令x分別為0，2，解出x，從而確定這五點(diǎn).(2)作給定區(qū)間上yAsin(x)的圖像時(shí)，若xm，n，則應(yīng)先求出x的相應(yīng)范圍，在求出的范圍內(nèi)確定關(guān)鍵點(diǎn)，再確定x，y的值，描點(diǎn)、連線并作出函數(shù)的圖像.跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)1sin，畫出f(x)在x上的圖像.考點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡圖題點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡圖解(1)x，2x.列表如下：x2x0f(x)211112(2)描點(diǎn)，連線，如圖所示.類型二由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2如圖是函數(shù)yAsin(x)的圖像，求A，的值，并確定其函數(shù)解析式.考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式解方法一(逐一定參法)由圖像知振幅A3，又T，2.由點(diǎn)可知，×20，得，y3sin.方法二(待定系數(shù)法)由圖像知A3，又圖像過點(diǎn)和，根據(jù)五點(diǎn)作圖法原理(以上兩點(diǎn)可判為“五點(diǎn)法”中的第三點(diǎn)和第五點(diǎn))，有解得y3sin.方法三(圖像變換法)由T，點(diǎn)，A3可知，圖像是由y3sin 2x向左平移個(gè)單位長度而得到的，y3sin，即y3sin.反思與感悟若設(shè)所求解析式為yAsin(x)，則在觀察函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，.(1)由函數(shù)圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)由函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)確定T，由T，確定.(3)確定函數(shù)yAsin(x)的初相的值的兩種方法代入法：把圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入(此時(shí)A，已知)或代入圖像與x軸的交點(diǎn)求解.(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口.“五點(diǎn)”的x的值具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)為x；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)為x；“第五點(diǎn)”為x2.跟蹤訓(xùn)練2(2017·貴州貴陽一中期末考試)已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0)的部分圖像如圖所示，則 .考點(diǎn)求三角函數(shù)的解析式題點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)的圖像求解析式答案解析由圖，知，T，又T，.類型三函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知曲線yAsin(x)上最高點(diǎn)為(2，)，該最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)(6，0).(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在x6，0上的值域.考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用解(1)由題意可知A，624，T16，即16，ysin.又圖像過最高點(diǎn)(2，)，sin1，故2k，kZ，2k，kZ，由|，得，ysin.(2)6x0，x，sin1.即函數(shù)在x6，0上的值域?yàn)椋?.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0)，函數(shù)yf(x)的圖像的一條對(duì)稱軸是直線x.(1)求的值；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間及最值.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用解(1)由2xk，kZ，得x，令，得k，kZ.0，.(2)由(1)知，f(x)sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函數(shù)的遞增區(qū)間是(kZ).同理可得函數(shù)的遞減區(qū)間是(kZ)當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值1；當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值1.1.函數(shù)yAsin(x)(A>0，0<<)的圖像的一段如圖所示，它的解析式可以是()A.ysinB.ysinC.ysinD.ysin考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案A解析由圖像可得A，所以T，所以2，所以ysin(2x).將點(diǎn)的坐標(biāo)代入ysin(2x)，得sin，則sin1，所以2k(kZ)，即2k(kZ).又0<<，令k0，則.所以解析式可以是ysin.2.函數(shù)yAsin(x)k的圖像如圖，則它的振幅A與最小正周期T分別是()A.A3，T B.A3，TC.A，T D.A，T考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用答案D解析由題圖可知A×(30)，設(shè)周期為T，則T，得T.3.下列表示函數(shù)ysin在區(qū)間上的簡圖正確的是()考點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡圖題點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡圖答案A解析將ysin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再將所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度即可得到y(tǒng)sin的圖像，依據(jù)此變換過程可得到A中圖像是正確的.也可以分別令2x0，2得到五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，描點(diǎn)連線即得函數(shù)ysin的圖像.4.已知函數(shù)f(x)sin(>0)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖像()A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于直線x對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線x對(duì)稱考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案A解析2，所以f(x)sin.將x代入f(x)sin，得f 0，故選A.5.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示.(1)求f(x)的解析式；(2)寫出f(x)的遞增區(qū)間.考點(diǎn)三角函數(shù)yAsin(x)的綜合問題題點(diǎn)三角函數(shù)yAsin(x)的綜合問題解(1)易知A，T4×2(2)16，f(x)sin，將點(diǎn)(2，0)代入得sin0，令0，f(x)sin.(2)由2kx2k，kZ，解得16k6x16k2，kZ，f(x)的遞增區(qū)間為16k6，16k2，kZ.1.利用“五點(diǎn)”法作函數(shù)yAsin(x)的圖像時(shí)，要先令“x”這一個(gè)整體依次取0，2，再求出x的值，這樣才能得到確定圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，而不是先確定x的值，后求“x”的值.2.由函數(shù)yAsin(x)的部分圖像確定解析式關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，的值.(1)一般可由圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因?yàn)門，所以往往通過求得周期T來確定，可通過已知曲線與x軸的交點(diǎn)從而確定T，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T.(3)從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(也叫初始點(diǎn))作為突破口，以yAsin(x) (A>0，>0)為例，位于遞增區(qū)間上離y軸最近的那個(gè)零點(diǎn)最適合作為“五點(diǎn)”中的第一個(gè)點(diǎn).3.在研究yAsin(x)(A>0，>0)的性質(zhì)時(shí)，注意采用整體代換的思想，如函數(shù)在x2k(kZ)時(shí)取得最大值，在x2k(kZ)時(shí)取得最小值.一、選擇題1.若函數(shù)f(x)3sin(x)對(duì)任意x都有f f ，則有f 等于()A.3或0 B.3或0C.0 D.3或3考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由f f 知，x是函數(shù)的對(duì)稱軸，解得f 3或3，故選D.2.如圖所示，函數(shù)的解析式為()A.ysin B.ysinC.ycos D.ycos考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案D解析由圖知T4×，2.又當(dāng)x時(shí)，y1，經(jīng)驗(yàn)證，可得D項(xiàng)解析式符合題目要求.3.函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，為了得到g(x)sin 3x的圖像，則只要將f(x)的圖像()A.向右平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D.向左平移個(gè)單位長度考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用答案B解析由圖像知，函數(shù)f(x)的周期T4×，所以3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像過圖中最小值點(diǎn)，所以A1且sin1，又因?yàn)閨<，所以，所以f(x)sin.因?yàn)間(x)sin 3x，所以g(x)f .為了得到g(x)sin 3x的圖像，只需將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長度，故選B.4.把函數(shù)f(x)2cos(x)(>0，0<<)的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移個(gè)單位，得到一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)g(x)，則和的值分別為()A.1， B.2， C.， D.，考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案B解析依題意得f(x)第一次變換得到的函數(shù)解析式為m(x)2cos，則函數(shù)g(x)2cos.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的最小正周期為2，所以2，則g(x)2cos.又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，0<<，所以k(kZ)，則.5.函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的遞減區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由圖像知，周期T2×2，2，.由×2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的遞減區(qū)間為，kZ.故選D.6.已知函數(shù)f(x)Acos(x)(A>0，>0，0<<)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖像如圖所示，EFG是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為()A. B.C. D.考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且0<<，可得.由圖像及已知可得函數(shù)的最小正周期為4，得.由EFG的邊FG上的高為，可得A，所以f(x)cos，所以f(1)cos .二、填空題7.把函數(shù)y2sin的圖像向左平移m個(gè)單位長度，所得的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小正值是 .考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案解析把y2sin的圖像向左平移m個(gè)單位長度，則y2sin，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，mk，即mk，kZ.取k1，則m的最小正值為.8.已知函數(shù)ysin(x)(>0，<)的圖像如圖所示，則 .考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案解析由圖像知函數(shù)ysin(x)的周期為2，.當(dāng)x時(shí)，y有最小值1，×2k(kZ)，即2k(kZ).<，.9.已知函數(shù)f(x)Acos(x)的圖像如圖所示，f ，則f(0) .考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用答案解析由題圖可知，T，f(0)f ，注意到，也即和關(guān)于對(duì)稱，于是f(0)f f .10.關(guān)于f(x)4sin(xR)，有下列命題：由f(x1)f(x2)0可得x1x2是的整數(shù)倍；yf(x)的表達(dá)式可改寫成y4cos；yf(x)圖像關(guān)于對(duì)稱；yf(x)圖像關(guān)于x對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)為 .考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案解析對(duì)于，由f(x)0，可得2xk(kZ)，x(kZ)，x1x2是的整數(shù)倍，錯(cuò)；對(duì)于，f(x)4sin利用公式，得f(x)4cos4cos，對(duì)；對(duì)于，f(x)4sin的對(duì)稱中心滿足2xk，kZ，x，kZ.是函數(shù)yf(x)的一個(gè)對(duì)稱中心，對(duì)；對(duì)于，函數(shù)yf(x)的對(duì)稱軸滿足2xk，kZ，x，kZ，錯(cuò).三、解答題11.已知曲線yAsin(x)(A>0，>0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)，若.(1)試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式；(2)用“五點(diǎn)法”畫出(1)中函數(shù)在0，上的圖像.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的綜合問題題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的綜合問題解(1)由題意知A，T4×，2，ysin(2x).又sin1，2k，kZ，2k，kZ.又，ysin.(2)列出x，y的對(duì)應(yīng)值表：x02x2y1001描點(diǎn)，連線，如圖所示.12.已知函數(shù)f(x)2sin1(0<<，>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1)求f 的值；(2)將函數(shù)f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用解(1)f(x)為偶函數(shù)，k(kZ)，k(kZ).又0<<，f(x)2sin12cos x1.又函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，T2×，2，f(x)2cos 2x1，f 2cos11.(2)將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)f 的圖像，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f 的圖像.所以g(x)f 2cos 212cos1.當(dāng)2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)時(shí)，g(x)是減函數(shù).函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是(kZ).四、探究與拓展13.設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)等于()A.1 B. C. D.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由圖像可得A1，解得2，f(x)sin(2x).點(diǎn)相當(dāng)于ysin x中的(0，0)，令2×0，解得，滿足|<，符合題意，f(x)sin.sin1，圖中點(diǎn)B的坐標(biāo)為.又x1，x2，且f(x1)f(x2)(x1x2)，x1x2×2，f(x1x2)sin，故選D.14.已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；(3)若x時(shí)，函數(shù)h(x)2f(x)1m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用解(1)由題意，易知A3，T2×，2，由2×2k，kZ，得2k，kZ.又|<，f(x)3sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為，kZ.(3)由題意知，方程sin在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根.x，2x，sin，又方程有兩個(gè)實(shí)根，m13，7).